一元二次方程的几何解法

1、一元二次方程的几何解法上传: 程峰     更新时间：2012-5-23 23:15:08一元二次方程的几何解法江西省彭泽县杨梓中学（332713）程峰 cfpk0808                       课标北师大版九年级（上）第52页读一读中以方程x +2x-35=0为例介绍了两种几何解法，该解法从“形”上体现了配

2、方法的本质。方法一，（三国时期数学家赵爽的解法）由x +2x-35=0得x(x+2)=35,如图1，构造边长为（x+x+2)的正方形，则其面积为（x+x+2) ，又有图1知大正方形是由四个长与宽分别为x+2和x的矩形及一个边长为2的小正方形组成，所以大正方形的面积又等于4（x+2)x+2 =4×35+4=144,（x+x+2) =144,x表示边长，x=5.说明：赵爽的解法是把x +2x=x(x+2)看作是矩形的面积，然后用四个这样的矩形和一个边长为2的正方形组成一个边长为（x+x+2)的正方形，再由面积关系求出x。. &#

3、160;                 图1                                 

4、;   图2      例1，用赵爽的解法解方程x -2x-35=0解析：原方程变为x（x-2)=35，如图2，构造边长为（x+x-2)的正方形，则其面积为（x+x-2) ，另一方面，大正方形面积等于4s +s =4x(x-2)+2 =4×35+4=144,（x+x-2) =144,x=7.   例2，用赵爽的解法解方程3x +8x-3=0(教材例题）   解析：原方程变为x + x-1

5、=0,即x(x+ )=1.如图3，构造边长为(x+x+ )的正方形，其面积为(x+x+ ) ，另一方面，大正方形面积等于4s +s =4x(x+ )+( ) =4×1+ = ,即(x+x+ ) =，x= .                 图3    

6、;   归纳：形如ax +bx+c=0(a,b,c,为常数，a0,且b -4ac0)的一元二次方程用赵爽的解法的步骤主要是：      1，先把原方程化为x + x=- ,即x(x+ )=- ,      2,构造边长为（x+x+ )的正方形，      3，s =（x+x+ ) ，   

7、   4，s =4s +s =4(- )+( ) = 5,由方程（x+x+ ） = ，  解出x. 原方程x +2x-35=0的第二种几何解法（即公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔花拉子米的解法）      解：如图4，先构造边长为x的正方形，然后补上两个长宽分别是x和1的矩形，再补上一个边长为1的正方形，这样就组成了一个大正方形，其面积是（x+1） ,另一方面大正方形的面积=x +

8、2x1+1=35+1=36,（x+1） =36,x=5      说明：花拉子米的解法是把x 看作是一个正方形的面积，把2x看作是2个长与宽分别是x和1的矩形面积，这样再补上一个边长为1的正方形就组成一个新的正方形，其边长为x+1,再由面积关系求出x.                       &

9、#160;          图4                                       

10、0;    图5       例3，用花拉子米的解法解方程x -2x-35=0       解析：原方程变为x -2x=35，如图5，构造边长为x的正方形，在其内部减去两个长，宽分别是x和1的矩形，由于多减去一个边长为1的正方形，把其补上，便得到一个边长为x-1的新正方形，其面积为（x-1) ,另一方面新正方形面积=x -2x+1=35+1=36,x=7.    &#

11、160;  例4，用花拉子米的解法解方程3x +8x-3=0       解析：原方程变为x + x=1，如图6，先构造一个边长为的正方形，然后补上长，宽分别是x和 的矩形，再补上一个边长 为的正方形，便组成了一个边长为(x+ )的新正方形，其面积为(x+ ) ，另一方面，新正方形面积又等于x +2·x· +( ) =1+ = ,(x+ ) =&#

12、160;,x= .                        图6         归纳 ；利用花拉子米的解法解方程ax +bx+c=0(a,b,c,为常数，a0,且b -4ac0)的一般步骤是：     

13、   1，把原方程化为x + x=- ,        2，先构造边长为x的正方形，当 >0时，在其外部补上两个长，宽分别是x和 的矩形，（当 <0时，在其内部割去两个长，宽分别是x和 的矩形），再补上一个边长为 的正方形，边构成一个新的正方形，其面积为（x+ ) ，另一方面，新正方形面积又等于x +2· ·x+( ) =- 

14、+( ) = ,        3，由（x+ ) = ，  解出x.        小结：1，用几何（图形）解法解一元二次方程，由于x表示图形的边长，因此，只能得到原方程的正根。若原方程有两个负根，则不能用几何解法。      2，赵爽的解法与花拉子米的解法表面上构造的图像不同，但本质上是一样的（都是构造正方形）比较,两式，可知赵爽解法构造的正方形恰好可由花拉子米解法构造的4个正方形拼成。       3，应当说，花拉子米的解法更直观地体现了配方法的几何意义。我们