第二章 运动的守恒量和守恒定律 1(三)

1、由质点系的动能定理：由质点系的动能定理： 内外AAtEtEkk)()(0 在一般情况下，可以将内力所作的功分为在一般情况下，可以将内力所作的功分为保守力作的功保守力作的功 A保内保内 和非保守力作的功和非保守力作的功 A非保内非保内 两两部分部分 非保内保内内AAA由势能定义知：由势能定义知：)()(0tVtVA保内于是：于是：非保内外AAtVtEtVtEkk)()()()(00用用 E 表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。表示体系动能与势能之和，称为体系的机械能。)()()(tVtEtEk非保内外AAtEtE)()(0则有：则有：该式表示：外力的功和非保守内力的功之和等于该式表示：外力

2、的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是体系机械能的增量，这就是质点系的功能定理或质点系的功能定理或功能原理功能原理。 2-5 2-5 质点系的功能原理质点系的功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律与动能定理比较，运用功能原理时由于保守力所做与动能定理比较，运用功能原理时由于保守力所做的功已为系统势能的变化所代替，因此不必再计算保的功已为系统势能的变化所代替，因此不必再计算保守内力的功。守内力的功。外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能外力的功和非保守内力的功之和等于体系机械能的增量，这就是的增量，这就是质点系的功能定理或功能原理质点系的功能定理或功能原理。 若若 ，体系机械能

3、增加；，体系机械能增加； 0非保内外AA若若 ，体系机械能减少；，体系机械能减少； 0非保内外AA若若 ，体系机械能保持不变。，体系机械能保持不变。 0非保内外AA非保内外AAtEtE)()(0重要特例：重要特例： 0外A这有如下几种情况：这有如下几种情况： 1. 孤立体系，体系不受外力作用。孤立体系，体系不受外力作用。 2. 外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧外力的作用点没有位移。如弹簧振子的固定端对弹簧所施的外力。所施的外力。3. 各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支各外力与其相应作用点的位移互相垂直。如固定支承物的支承力。承物的支承力。此时，体系的机械能的变化仅由非保

4、守内力作的功确定，此时，体系的机械能的变化仅由非保守内力作的功确定，因而有：因而有： 1. 若若 ，体系机械能增加；（如炸弹爆炸），体系机械能增加；（如炸弹爆炸） 2. 若若 ，体系机械能减少；（如摩擦力，称，体系机械能减少；（如摩擦力，称为耗散力）为耗散力） 3. 若若 ，体系机械能守恒。，体系机械能守恒。 0非保内A0非保内A0非保内A4. 只受重力作用是，可以把重力当做保守内力。只受重力作用是，可以把重力当做保守内力。例例2-10 一汽车的速度一汽车的速度v0=36 km/h，驶至一斜率为，驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车的斜坡时，关闭油门。设车与路面

5、间的摩擦阻力为车重重G的的0.05倍，问汽车能冲上斜坡多远？倍，问汽车能冲上斜坡多远？解法一：解法一：取汽车为研究对象。取汽车为研究对象。受力分析如图所示。受力分析如图所示。解：解： 设汽车能冲上斜坡的距离设汽车能冲上斜坡的距离为为s，此时汽车的末速度，此时汽车的末速度为为0。根据。根据动能定理动能定理：20210m vG ssFsi nfGFFcosNf1cos,tansin)t an(gvs220m85)()si nf021020m vG ssF（解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，运用解法二：取汽车和地球这一系统为研究对象，运用系统的系统的功能原理功能原理：以下同以下同解法一。解法一

6、。 物体受力：重力的作用、摩擦力和正压力物体受力：重力的作用、摩擦力和正压力 。用用功能原理功能原理进行计算，把物体和进行计算，把物体和地球作为系统。地球作为系统。例例2-11 如图所示，一质量如图所示，一质量m=2 kg的物体从静止开始，的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从沿四分之一的圆周从A滑到滑到B，已知圆的半径，已知圆的半径R=4 m，设，设物体在物体在B处的速度处的速度v=6 m/s，求在下滑过程中，摩擦力所，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。作的功。解：解：摩擦力和正压力都是变力。摩擦力和正压力都是变力。正压力不做功。正压力不做功。J)(4 .4248 . 9262212122mgR

7、mvEEAAB三、机械能守恒定律三、机械能守恒定律p0k0pk0EEEEE0, 0ideAA若若 由质点系的功能原理：由质点系的功能原理： EEEAApkide则则 如果一个系统内如果一个系统内只有保守力做功只有保守力做功，非保守内力与一切外力做的功都为零非保守内力与一切外力做的功都为零，则系统内各物，则系统内各物体的动能和势能可以互相转化，但机械能的总值保持体的动能和势能可以互相转化，但机械能的总值保持不变。不变。机械能守恒定律：机械能守恒定律：功是能量传递或转换的一种量度！功是能量传递或转换的一种量度！即：即：能量只能传递或转换，而不能创生。能量只能传递或转换，而不能创生。四、能量守恒定律

8、四、能量守恒定律内力的功的作用：内力的功的作用：保守内力作功：相应势能和保守内力作功：相应势能和间转换；间转换；非保守内力作功：系统机械能与非保守内力作功：系统机械能与能量能量间转换。间转换。外力的功外力的功的作用的作用：系统机械能与：系统机械能与能量的转换。能量的转换。机械能守恒定律是能量守恒定律在机械运动中的体现。机械能守恒定律是能量守恒定律在机械运动中的体现。能量守恒定律：能量守恒定律：一个一个孤立系统孤立系统经历任何变化时，该系统经历任何变化时，该系统所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为所有能量的总和是不变的，能量只能从一种形式变化为另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一

9、个物体。另外一种形式，或从系统内一个物体传给另一个物体。例题例题2-12 有一轻弹簧，一端系在铅直放置的圆环的顶点有一轻弹簧，一端系在铅直放置的圆环的顶点P, P, 另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小球的小球, , 小球穿过圆环并在圆小球穿过圆环并在圆环上运动环上运动( (不计摩擦不计摩擦) )。开始小球静止于点。开始小球静止于点A, A, 弹簧处于弹簧处于自然状态自然状态, ,其长度为圆环半径其长度为圆环半径R；当小球运动到圆环的底；当小球运动到圆环的底端点端点B B时时, ,小球对圆环没有压力，求弹簧的弹性系数。小球对圆环没有压力，求弹簧的弹性系数。30oPBRABA只有保守内力做功

10、只有保守内力做功系统系统机械能守恒机械能守恒ABEE 0pE取图中点取图中点 为重力势能零点为重力势能零点B解：解：以弹簧、圆环、小球和地球为以弹簧、圆环、小球和地球为一系统，一系统，2BkR mgmRv所以所以Rmgk2即即2211(2sin30 )22BmkRmgRv30oPBRA0pE因为，当小球运动到因为，当小球运动到B B点时点时, ,小球对圆环没有压力小球对圆环没有压力例例2-13 起重机用钢丝绳吊运一质量为起重机用钢丝绳吊运一质量为m 的物体，以速度的物体，以速度v0 做匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体做匀速下降，如图所示。当起重机突然刹车时，物体因惯性进行下降，问使

11、钢丝绳再有多少微小的伸长？因惯性进行下降，问使钢丝绳再有多少微小的伸长？(设钢丝绳的劲度系数为设钢丝绳的劲度系数为k，钢丝绳的重力忽略不计。，钢丝绳的重力忽略不计。) 这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？研究物体、地球和钢丝绳所组成的系统。研究物体、地球和钢丝绳所组成的系统。系统的机械能守恒。系统的机械能守恒。解：解： 首先讨论起重机突然停止的瞬首先讨论起重机突然停止的瞬时位置处的机械能，时位置处的机械能，201k21mvE201p21kxE弹弹mghE重1p 设物体因惯性继续下降的微小距离为设物体因惯性继续下降的微小距离为h，并以，并以

12、这最低位置作为重力势能的零点，则有这最低位置作为重力势能的零点，则有 设这时钢丝绳的伸长量为设这时钢丝绳的伸长量为x0，则有则有 再讨论物体下降到最低位置时的机械能：再讨论物体下降到最低位置时的机械能：202p)(21hxkE弹弹02kE02p重重E机械能守恒：机械能守恒：202020)(212121hxkmghkxmv物体做匀速运动时，钢丝物体做匀速运动时，钢丝绳的伸长量绳的伸长量x0满足满足 0kxmg 0vkmh 最低位置时相应的伸长量最低位置时相应的伸长量x=x0+h是钢丝绳的最大伸是钢丝绳的最大伸长量，所以钢丝绳所受的最大拉力长量，所以钢丝绳所受的最大拉力 000vkmm gvkmk

13、m gkhxkFF)()(m,Tm,T引入质点引入质点对参考点对参考点O的角动量的角动量：)( vmrprL大小：大小： sinrmvL 方向：右手螺旋定则确定方向：右手螺旋定则确定一、角动量（动量矩）一、角动量（动量矩）,0iipvmp 由于动量由于动量 不能描述转动问题。不能描述转动问题。rmvLii22-7 2-7 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律 smkg/.2)( vmrprL特例：特例：做圆周运动时，由于做圆周运动时，由于 ，质点对圆心的，质点对圆心的角动量大小为角动量大小为 ，vrrmvL 大小不变，方向不变。大小不变，方向不变。 质点对圆心质点对圆心O的

14、角动量为常量。的角动量为常量。FrM定义定义合力合力 对参考点对参考点O的力矩的力矩：F二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律)(ddddprttLtprptrddddd,drvtddddLprttLrp上式又写为上式又写为 ddLMtd()drpvmvt0ddvrmtrmarFMFrtprtLdddd角动量守恒定律角动量守恒定律：如果作用在质点上的外力对某给如果作用在质点上的外力对某给定点的力矩为零，则质点对该点的角动量在运动过定点的力矩为零，则质点对该点的角动量在运动过程中保持不变。程中保持不变。00ddLLtL ，0M若若则则(常矢量常矢量)由由1122rvrv1122rmvrmv表明小球

15、对圆心的角动量保持不变。表明小球对圆心的角动量保持不变。实验：实验：质量为质量为m的小球系在的小球系在轻绳的一端，绳穿过一竖轻绳的一端，绳穿过一竖直的管子，一手握管，另直的管子，一手握管，另一手执绳。一手执绳。实验发现：实验发现： 则则解释：解释：作用在小球上的作用在小球上的有心力有心力对对力心力心的力矩为零，的力矩为零，故小球的角动量守恒。故小球的角动量守恒。行星绕太阳的运动：行星绕太阳的运动：常量pd常矢量 pr 作用在行星上的万有引力（有心力）对太阳（力作用在行星上的万有引力（有心力）对太阳（力心）的力矩为零，因此，行星在运动过程中，对太阳心）的力矩为零，因此，行星在运动过程中，对太阳的

16、角动量保持不变。的角动量保持不变。 在有心力场中，关于力心的角动量守恒。在有心力场中，关于力心的角动量守恒。vRmrvm2002sinRr40RmGmvmrmGmvm21220212022121解：解：例例2-14 发射宇宙飞船去考察一质量发射宇宙飞船去考察一质量m1半径半径 R 的行星，的行星，当飞船静止于距行星中心当飞船静止于距行星中心 4R 处时，以速度处时，以速度 发射一发射一质量为质量为 m2 (m2远小于飞船质量远小于飞船质量)的仪器的仪器, 要使仪器恰好要使仪器恰好掠着行星的表面着陆，掠着行星的表面着陆， 角应是多少角应是多少? 着陆滑行初速度着陆滑行初速度 v 多大多大?0v

17、有心力场中，有心力场中， 运用运用角动量守恒角动量守恒和和(m1 , m2 )系统系统机械能守恒机械能守恒定律：定律：2120123141/)(si nRvG m212010231/)(RvG mvvvRmrvm2002sinRr40RmGmvmrmGmvm21220212022121例例2-15 当质子以初速当质子以初速v0 通过质量较大的原子核时，原通过质量较大的原子核时，原子核可看作不动，质子受到原子核斥力的作用引起了子核可看作不动，质子受到原子核斥力的作用引起了散射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示。求质散射，它运行的轨迹将是一双曲线，如图所示。求质子和原子核最接近的距离子和原子核最接近的距离rs。解：解：原子核看作不动，取原子核所在处为坐标原点原子核看作不动，取原子核所在处为坐标原点O。设原子核带电荷量为设原子核带电荷量为Ze，质子（电量，质子（电量e）受到原）受到原子核的静电斥力子核的静电斥力 ，此力始终通过，此力始终通过O点。点。22rZek故质子对故质子对O点的点的角动量守恒角动量守恒，即，即ss0rmvbmv式中式中b 是质子在无限远处的初速度是质子在无限远处的初速度v0 的方向线与原子的方向线与原子核间的垂直距离，核间的垂直距