多元复合函数的求导法则

1、解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学一元复合函数：一元复合函数：( ),( )yf uux求导法则：求导法则：ddddddyyuxuxd( )d( ) ( )dyf uu f uxx 微分法则：微分法则：解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学zvutdddddd.zzuzvtutvt1. 中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形t证证),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理

2、系高等数学高等数学,21vuvvzuuzz 01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 d,duutt d,dvvtt zvutt解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学0dddlim.dddtzzzuzvttutvt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. .如如.ddddddddzzuzvzwtutvtwt uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为ddzt解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学若定理中若定理中 在点在点说明说明: 例如例如: :( , )zf u v,

3、ut vt易知易知: :0 000 0( , ),( , )uzfu 但复合函数但复合函数( , )zf t t 12ddzt ddddzuzvutvt010100 000 0( , )( , )vzfv 偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t222220,u vuvuv ,0022vu则定理结论则定理结论不一定成立不一定成立. .( , )( , )f u vu v解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学( , )zf u v 222220,u vuvuv ,0022vu0 000 0( , ),( , )uzfu 0 000 0( , )(

4、 , )vzfv 220uv22232222222()(2 )2()()zuv uvu vuuvuuvuv4220021limlim(2)2uuv uv uzuuu (0,0)zu 偏导数不连续偏导数不连续解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 2. 中间变量均为多元函数的情形中间变量均为多元函数的情形解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学uvxzy链式法则链式法则如图示如图示 xz uzxu v

5、z,xv yz uzyu vz.yv 解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学zwvuyx 类似地，设类似地，设u= (x, y)、v= (x, y)、w= (x, y)都在点都在点(x, y)具有对具有对x和和y的偏导数，函数的偏导数，函数z=f(u, v, w)在对应点在对应点(u, v, w)具有连续偏导数具有连续偏导数, ,则复合函数则复合函数z=f (x, y), (x, y), (x, y)在点在点(x, y)的两个偏导的两个偏导数存在数存在, 且可用下列公式计算：且可用下列公式计算：,zzuzvzwxu xvxwx .zzuzvzwyuyvywy 解放

6、军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学3. 中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 定理定理3 若若u= (x, ,y)在点在点(x, ,y)可导可导，v= (y)在点在点y可可导，函数导，函数z=f(u, ,v)在对应点在对应点(u, ,v)具有连续偏导，具有连续偏导，则复合函数则复合函数z=f (x, ,y), , (y)在点在点(x, ,y)可导，且可导，且 ,zzuxu x d.dzzuzvyuyvy 解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,

7、),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw两者的区别两者的区别区别类似区别类似“分段用乘分段用乘, ,分叉用加分叉用加, ,单路全导单路全导, ,叉路偏导叉路偏导”解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学zvuyxyx解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu=( sin +cos )ueyvv yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu= sin( + )+cos( + ),xyeyxyxy=( sin +cos )uexvv= sin

8、( + )+cos( + ).xyexxyxy解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学例例2.2222( , , ),sin ,xyzuf x y zezxy,uuxy求求解解: :ux 2222xyzxe 224222212sin(sin)xyxyxxy ezyxyxuuy 2222xyzye 224242sin(sincos)xyxyyxyy efx fzzx2222xyzze fy fzzy2222xyzze 2sinxy 2cosxy 解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学例例3. 设设 ,sintvuz.ddtzztvuttt

9、zddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全导数求全导数,teu ,costv 解解: :tusintcos注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到, ,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号. .解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学为简便起见为简便起见 , , 引入记号引入记号2112,ffffuu v ),(1zyxzyxf例例4. 设设 f 具有二阶连续偏导数具

10、有二阶连续偏导数, ,(,),wf xyz xyz求求2,.wwxx z解解: :令令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学(当 在二、三象限时, )xyarctan二阶偏导数连续二阶偏导数连续, ,求下列表达式在求下列表达式在( , )uf x y 22222212( ) ()() , ( )uuuuxyxy解解: :已知已知cos,sinxr

11、yruryxyx极坐标极坐标系下的形式系下的形式xrruxu(1), , 则则22,arctanyrxyxrxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxyxu2ryururusincos例例5.5.设设解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学uy urry cossinuurruy 222221()()()()uuuuxyrru yr r 2u xr uryxyx1222,1( )xyxryxyryxy 解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学 已知rsin) (rurusincos)(xux 222( )ux ruruxusincos

12、uryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学22yu2222uuxy 21r 22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得同理可得22ur 2221ur 1urr 22()uurrrr 22222222coscossin2sinrurruru解放军理工大学理学院数理系解放

13、军理工大学理学院数理系高等数学高等数学设函数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为：的全微分为：yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, , )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, , 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学 )cos( )sin(yx

14、yxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1. 1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyxsin()cos()x yzeyxyxyx sin()cos()x yzexxyxyy 所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy例例 6.6.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学 思考题思考题,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy

15、1. 已知已知求求.),(22xyyxf解解: :由由1),(2xxf两边对两边对x 求导求导, , 得得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点在点)1 , 1(处可微处可微, , 且且设函数设函数,3) 1 , 1 (yf解解: :由题设由题设23)32( (2001考研考研)2.解放军理工大学理学院数理系解放军理工