第7章--非线性系统分析--练习与解答

1、X-2-1-1,"01人312X-600.3850-0.38506X112010211当x(0).1时，系统发散;x(0):：-1XX平面上任意分布。第七章非线性控制系统分析习题与解答7-1设一阶非线性系统的微分方程为X_-XX3试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。解令x=0得32-XX=x(x-1)=x(x-1)(X1)=0系统平衡状态Xe=0,-1,1其中：xe=0:稳定的平衡状态;xe=1,1:不稳定平衡状态。计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。可见：当x(0)|£1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态;时，x(t);x(0)1时，X(t

2、)：。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。(1)x+x+x=0捲=%+x2=2x1+x2解(1)系统方程为xxx=0(x0)11:xx-x=0(x:0)令x=x=0，得平衡点:系统特征方程及特征根：S1,22ss-1=0,S1,2f(x,x)二-X-1 .3j-2 2=-1.618,0.618dxx=x-dx（稳定的焦点）（鞍点）dxxdxxxx-八1-丄-八1-丄(x0)II:(x<0)计算列表P-m-3-1-1/301/313oox>0：a=_1_1沖-1-2/302-m-4-2-4/3-1xvO:沖-

3、1-4/3-2-4oo20-2/3-1（2）由式:式代入:得平衡点:图解7-2(a)系统相平面图（石-xj=2x（石-xjxiXiXe-2x-x<|=0=0由式得特征方程及特征根为s2_2s_i=0画相轨迹，由式XiXi计算列表2.4i4（鞍点）-0.414-dxi-n-,=XiXi-=2XiXidxXi国辭72丄)a22.53oo11.520=1/(a-2)oo210-1-2oo用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。7-3已知系统运动方程为xsinX=0，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。解求平衡点，令x=x=0得sinx=0平衡点xe=k：（k=0,_1,

4、士2,）。将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。设F（x）二xsinx=0-Fl:Fl.°x：x=0-xxe：Xxe(k=0,-2,一4；)(k二1,-3,_5,)仲心点）（鞍点）xCOSXeX=03x+Ax=0xe=k兀<x-Ax=0Xe=也特征方程及特征根：2k为偶数时s*1=01,2k为奇数时s2-1=0人,2=±1用等倾斜线法作相平面dxxsinx=x：sinx=0dx1xsinxaa-2-1-1/2-1/401/41/212-1/a1/2124oo-4-2-1-1/2作出系统相平面图如图解7-3所示。图解¥77-4若非线性系统的微分方程为2

5、x(3x-0.5)xxx=0(2)xxxx=0试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。解(1)由原方程得ansssOsOsOx=f(x,x)=-(3x-0.5)x-xx=-3x0.5x-xx令Xr=X<|=0得xx2=x(x1)二0解出奇点兀=0,-1在奇点处线性化处理。汗(X,x)f(x,x):x:xx=0x=0x=0x=0=(T2x)xJx+(6x+0.5)x&mx=x+0.5x即x-0.5xx=0特征方程及特征根Sl,20.50.52-42=(不稳定的焦点)即即2x0得即c(t)得S1,2X_xx=(-1-2x)x(_6x0.5)x=x0.5xXX=_Jxxz0图解7

6、-4(1)（2）由原方程x_0.5x_x=0（鞍点）-0.7180.50.524f1.218概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示:X=f(x,x)-XX-X令x=x=0得奇点xe=0,在奇点处线性化所示。C(s)12M(s)s特征根=(-X-叭JX-XS7-36非线性系疣.fX=.XX=X£x汗X7-5非线性系统的结构图如图7-36所示。出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解由结构图，线性部分传递函数为c(t)二m(t)X=x=0xx=0特征根s1,2=±j。奇点Xe=0（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)系统开始是静

7、止的，输入信号r(t)=41(t)，试写由非线性环节有0e乞2m(t)=勺e(t)-2ea2He(t)+2x-2III由综合点得c(t)=r(t)-e(t)=4-e(t)将、代入得0e兰2Ie(t)=2-e(t)e=2II2-e(t)ec2III.：e(t)=0e二c(常数)11:ee-2=0令ee一0得奇点e0=2特征方程及特征根s2+1=0,s,2=±j（中心点）III:ee2=0令e-e-0得奇点老-2特征方程及特征根s2+1=0,S,2=±j（中心点）.：e(t)=0e二c(常数)11:ee-2=0令ee一0得奇点e0=2特征方程及特征根s2+1=0,s,2=

8、77;j（中心点）III:ee2=0令e-e-0得奇点老-2特征方程及特征根s2+1=0,S,2=±j（中心点）开关线方程为e(t)二2绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。图黑“7-6图7-37所示为一带有库仑摩擦的二阶系统，试用相平面法讨论库仑摩擦对系统单位阶跃响应的影响。©7-37有库仓庠擦的二阶系皱解由系统结构图有C(s)_51E(s)s0.5s1_2s(0.5s1_2)C(s)=5E(s)III0.5c+3c=5eca00.5c，-c=5ede。因为c二r-e=1-e代入式有"e+6e+10e=0ec0Ie-2e+i0e=0e&

9、gt;0ii特征方程与特征根(稳定的焦点)(不稳定的焦点)(稳定的焦点)(不稳定的焦点)I:s2+6s+10=0岂2=-3士jII:s2-2s10=0%=1一j3依题意c(0)=0,c(0)=0可得e(0)=1-c(0)=1e(0)=c(0)=0以(1,0)为起点概略作出系统相轨迹。可见系统阶跃响应过程是振荡收敛的。7-7已知具有理想继电器的非线性系统如图7-38所示。图7-38具有理想继电器的非线性系统试用相平面法分析:(1)Td=0时系统的运动;(2)(3)Tj=2时系统的运动特点。Td=0.5时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用;依结构图，线性部分微分方程为非线性部分方程

10、为-1eTde0eTde：0开关线方程:-1eeTd由综合口:、代入并整理得概略作出相平面图如图解e=*”-1e+Tde、+1e+Tje>0I<0IIde在i区：e=e一=1de解出：'2e=-2e(e>0)（抛物线）同理在II区可得：'2-e=2e(e£0)（抛物线）开关线方程分别为Td=0时,e=0;Td=0.5时,e=-2e；Td=2时，e=-0.5e.7-7所示。T严020-5=2图解由相平面图可见：力口入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。7-8具有饱和非线性特性的控制系统如图7-39所示，试用相平

11、面法分析系统的阶跃响应。解非线性特性的数学表达式为'e|e|vaIy=丿Me>aH-MecaHI线性部分的微分方程式为Tc+c=Ky考虑到r-c=e,上式又可以写成TeeKy=Trr输入信号为阶跃函数，在t0时有，O，因此有TeeKy=Trr输入信号为阶跃函数，在t0时有，O，因此有TeeKy=0根据已知的非线性特性，系统可分为三个线性区域。I区：系统的微分方程为TeeKe=0按前面确定奇点的方法，可知系统在该区有一个奇点(eca)0,o),奇点的类型为稳定焦点。图解7-8(a)为1区的相轨迹，它们是一簇趋向于原点的螺旋线。n区：系统的微分方程为TeeKM=0(ea)设一般情况下

12、，初始条件为e(0)=e0,e(0)=e0。则上式的解为e(t)二e0(e0KM)T-(e0KM)TeT-KMt对上式求一次导数，得e(t)=(e0KM)e"-KM故当初始条件e'0-KM时，相轨迹方程为e'=-KM。当e'0=-KM时，相轨迹方程为e=e°G-e)TKMTIneKMKM由此可作出该区的相轨迹，如图解7-8(b)所示，相轨迹渐进于直线e-KM。川区：此时系统的微分方程为Tee-KM=0(e：-a)将n区相轨迹方程中的KM改变符号，即得川区的相轨迹方程e=KMG=KM)“.e+KMe=仓+(e0e)TKMTIn(e0鼻KM)e0十KM该

13、区的相轨迹如图解7-8(b)所示。将以上各区的相轨迹连接起来，便是系统的整个相平面图，如图解7-8(c)所示。假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入作用时，相轨迹的起始点应为e(0)=R,e(0)=0。此时的系统的相平面图如图解7-8(d)所示。由图可知，系统在阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。动态过程具有衰减振荡性质，最大超调量可从图中量得。(a)图解7-8非线性系统的相平面图7-9试推导非线性特性y=x3的描述函数。y(t)=A3sin,t12兀Bi12兀Bi344A3二Asintd-t二：1(1co2t)2dtA3至(12cos2，tcos22t)d-ASin2tF兀一22c

14、os4tdtA3二厂23A3Bi2BiAi3AN(A)-j-A47-10三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为(1)(1)G(s)s(0.1s1)G(s)2s(s1)G(s)=215s1)s(s1)(0.1s1)试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高?解线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统(2)的描述函数法分析结果的准确程度较高。7-11将图7-40所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。图7-40非线性系统结构图解(a)将系统结构图等效变

15、换为图解7-11(a)的形式。G(s)=G(s)1Hds)(b)将系统结构图等效变换为图解7-11(b)的形式。G(s)K(s)G(s)1Gds)7-12判断题7-41图中各系统是否稳定；-1N(A)与G(j)两曲线交点是否为自振点。ImIriw.l/ATr4)Imrhi题7-41图自振分析解(a)不是是(b) 是a、c点是，b点不是(c) 是a点不是，b点是(d) a点不是，b点是系统不稳定(e) 系统不稳定系统稳定7-13已知非线性系统的结构图如图7-42所示图7-427-13题图图7-427-13题图图中非线性环节的描述函数为N(A)二(A0)试用描述函数法确定:(1)使该非线性系统稳定

16、、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K值范围;(2)判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。-1_-(A2)N(A)一A6-1-1-1_1N(0)一3，N(：J-dN(A)-4门20dA(A2)2N(A)单调降，1N(A)也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线-1N(A)和G(j)曲线如图解7-13所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。求使lmG(jJ=0的值:可得出K值与系统特性之间的关系:.G(jJ-90-2arctg“180arctg丫=45,G(j)02/3200稳定、自振.不稳定屮(2)(2)由图解7-13可见，当1.N(A)和G(j)相交

17、时，系统一定会自振。由自振条件A+6-K(A十6)K彳1N(A)G(j-A222(A2)解出7-14(1)(2)(A6)K=2A4A6K-4A2-K=1具有滞环继电特性的非线性控制系统如图7-43(a)所示，其中M=1,h=1。当T=0.5时，分析系统的稳定性，若存在自振，确定自振参数;讨论T对自振的影响。KJihh-R畛十I)图7-43非线性系统结构图及自振分析解具有滞环继电特性的描述函数为代入代入1N(A)N(A)¥J丐7a，A>hA2有其负倒描述函数-1N(A)曲线如题7-43(b)所示，G(j)曲线位于第三象限，两曲线必然有交点，且该点为自振点。G(s)=5(Ts1)5

18、5TG(j)2-j-0coG(j)二根据虚部相等，有.5T.二20T自振角频率随T增大而增大，当T=0.5时，=3.18。根据实部相等，有(20T(20T71解出非线性输入端振幅为400T4当T=0.5时，A=1.18。自振振幅随T增大而减小。7-15非线性系统如图7-44所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性,并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。S744弗磯性廉折G(j)10-10.102j2j(jT)-1(-1)-二A1AN(A)-410.2r:A令G(j)与-1N(A)的实部、虚部分别相等得10(21)0.2二4=0.157两式联立求解得=3.91,A=0.806。由图7-44，r(t)=0时，有c(t)二一e(t)=x(t)，所以c(t)的振幅为.竺06=0.161。557-167-16用描述函数