2.1罗必塔法则ppt课件

1、 3.6 LHospital 法则2021/11/18一、洛必达法则一、洛必达法则1 1 （ 型）型）00满满足足有有定定义义在在区区间间设设, 0)(,),(,00 xgxxgf , 0)()(lim0 xfixx; 0)(lim0 xgxx; 0)(,),(,)(00 xgxxgfii且且可可导导在在区区间间 ).(,)()(lim)(0有限或无穷大有限或无穷大axgxfiiixx .)()(lim)()(lim00axgxfxgxfxxxx 则则有有)(0为为例例以以 xx证明：证明：,0)()(:00 xgxf补充定义补充定义., ),(000连续连续在在xxgfxxx :中中值值定定

2、理理由由Cauchy.)()()()()()(limlimlim000axgxfgfxgxfxxxxx 使使得得 ),(0 xx .)()()()()()()()( gfagxgafxfxgxf 因因此此时时而而当当 , ,00 xxx 说明说明:.,00也也成成立立 xxxxxx例例1.1.212sinlimcos1lim020 xxxxxx613cos1limsinlimsinlim20300 yyyyyxxxxyyyxx11lim111lim1arctan2lim2222 xxxxxxxxx 注意注意: 各种方法综合使用各种方法综合使用( (提出常用因子提出常用因子, , 等价代换等价代

3、换, ,变量替换变量替换) ) 可多次连续使用可多次连续使用例例2.2.220220132lim)1(132limxxeeeexeexxxxxxxx 2728lim234lim2020 xxxxxxeexee二、洛必达法则二、洛必达法则2 2 （ 型）型） :),(,00内内满满足足在在设设 xxgf,)(lim)(0 xgixx, 0)(,),(,)(00 xgxxgfii且且可可导导在在 . )()()(lim)(0有限或无穷有限或无穷lxgxfiiixx )(0为为例例以以 xxlxgxfxgxfxxxx )()(lim)()(lim00则则证明：证明：有有限限设设lxgxfxx )()

4、(lim0:),(,0,01001时时当当 xxx,)()( lxgxf),(),(100 xxcx对对.)()()()()()( lgfcgxgcfxfl.)()( lxgxfl使得使得必存在必存在 , ),(cx lcgxgxgxgcfxgxfcgxgcfxfl)()()()()()()()()()()( lxgxfxx)()(suplim:0有有l ,任任意意性性由由 lxgxfxx)()(inflim:0同同理理l ,任任意意性性由由 lxgxfxx )()(lim0有有令令固定固定,0 xxc说明说明:(1) (1) 并未要求并未要求: : )(lim0 xfxx xxxxxx,)2

5、(00可推广到可推广到)(!)()(lim)3(0否否则则要要用用其其它它方方法法要要存存在在或或为为无无穷穷大大注注意意xgxfxx !,1cos1limsinlim不能用洛必达不能用洛必达不存在不存在xxxxxx 1sin1lim xxx例例3.3. xxxlnlim)1(01lim1lim1 xxxxx.)0(ln,xxxexxx 时时mmexexxxxx 1limlim)2(1设设xmxexm )1()1(lim. 0)1()1(lim mxxxem0limlimlim)3()ln1(ln xxxxxxxxxxeeexe型型00,1 ,0 ,0 例例4 4解解.lim2xxex 求求)

6、0( xexx2lim 原原式式2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型的类型 . .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或三、其它不定型三、其它不定型例例5 5解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 型型 . 2步骤步骤:步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例6 6解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原

7、式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 例例7 7解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例8 8解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex )ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式再次强调再次强调:,00)1( 仅用于仅用于?,)()(lim)2(0如如何何处处理理不不存存在在xgxfxx (3) (3) 及时化简，

8、及时化简， (4) (4) 多次使用多次使用. .四、其它用法四、其它用法以以HeineHeine定理为媒介定理为媒介, ,计算数列极限计算数列极限. .例例9.9.nnn100lim100 解：解：01001lim)100(ln!100100ln100100lim100lim10099100 xxxxxxxx0100lim100 nnn原式原式例例10.10., 4)0(,0)(lim,02 fxxfCfx且且设设)1()(1lim10 xxxxf求求解：解：,0)(lim)(lim,0)(lim000 xxfxxfxxfxxx知知由由, 0)0( f. 0)0()(lim0 fxxfx)(

9、1(ln1010lim)(1limxxfxxxxexxf . 22)(lim2)(lim)(lim)(1lnlim00200 xfxxfxxfxxxfxxxx2e 原式原式例例12.12.)0( ,)()(lim,),( xfxxfafx若若可导可导在在.)(lim xfx求求证证证明：证明：11)()(lim)(lim xxfxxfxxxxfxx )()(limxfxxfx例例11.11.,)(10nnnxaxaaxPn 次次多多项项式式求求).()(nnxxoxPe 使使解：解：)()(nnxxoxPe nkxxPeknxx, 2 , 1 , 0,0)(lim0 100)(,0000 aa

10、exPeknx取取1)(lim)(lim,100 xPexxPeknxxnxx 取取11 axxPexxPeknxxnxx2)(lim)(lim,2020 取取! 212 a., 2 , 1 , 0,!1nkkak ,1)0(10aPen . 02)(lim0 xPenxx)(! 212nnxxonxxxe 例例13.13.axaxx求求是是等等价价无无穷穷小小与与时时设设,1cos1)1( ,lim2120 解：解：xxaxaxaxaxxaxxxxsin1limsin122lim1cos1)1(lim20202120 , 1 a. 1 a例例14.14.)1(lim323xxxxx 11111lim332 xxxxxttttttx11lim33201 311)321()1(31li