2.1第三节幂级数mijishuppt课件

1、1. 函函数数项项级级数数 函函数数项项级级数数: :如如果果级级数数 1)(nnxu= =)()()(21xuxuxun 的的各各项项都都是是定定义义在在某某个个区区间间上上的的函函数数，则则称称为为函函数数项项级级数数, , )(xun称称为为一一般般项项. . 收收敛敛点点与与收收敛敛域域： 当当 x在在区区间间I I中中取取某某个个特特定定值值 0 x时时, ,级级数数1)(nnxu就就是是一一个个数数项项级级数数. .如如果果这这个个数数项项级级数数收收敛敛，则则称称 0 x为为级级数数的的一一个个收收敛敛点点；如如果果发发散散，则则称称 0 x为为这这个个级级数数的的发发散散点点.

2、 .一一个个级级数数的的收收敛敛点点的的全全体体称称为为它它的的收收敛敛域域. . 一、一、 幂级数的概念幂级数的概念第三节 幂级数和函数： 对于收敛域内的任意一个数和函数： 对于收敛域内的任意一个数 x, ,函数项级函数项级数成为一个收敛域内的数项级数数成为一个收敛域内的数项级数, ,因此有一个确定的和因此有一个确定的和 S. .这样，在收敛域上这样，在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是 x的函数的函数)(xS, ,通常称通常称)(xS为函数项级数的和函数为函数项级数的和函数, ,即即 )(xS= = )()()(21xuxuxun. . 其中其中x是收敛域内的任意一点是收敛域内

3、的任意一点. . 将函数项级数的前将函数项级数的前 n项和记作项和记作)(xSn则在收敛则在收敛域上有域上有)()(limxSxSnn. . 形如形如 00()nnaxx 2010200()()()nnaa xxaxxaxx 的函数项级数的函数项级数, ,称为称为0 xx的幂级数的幂级数, , 其中常数其中常数0a, ,21naaa称为幂级数的系数称为幂级数的系数. . 当当0 x=0=0 时，上式变为时，上式变为 nnnxa0nnxaxaxaa2210 称为称为x的幂级数的幂级数, ,如果作变换如果作变换0 xxy , ,则级数则级数就就变为变为. .因此因此, ,下面只讨论形如的幂级数下面

4、只讨论形如的幂级数. . 2 2. . 幂幂级级数数的的概概念念 （1 1） 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径 由于由于级数级数各项可能符号不同，将级数各项可能符号不同，将级数的各项取的各项取绝对值绝对值, ,则得到正项级数则得到正项级数 nnnnnxaxaxaaxa22100 , , 设设当当n n充充分分大大时时, , na0 0, ,且且 aannn1lim , 则则 .limlimlim1111xxaaxaxauunnnnnnnnnnn 于于是是, ,由由比比值值判判别别法法，可可知知： 当当0 0 时，若时，若x1,1,即即 1xR，则级数收敛；，则级数收敛；若若 1x，即，即1xR

5、，则级数发散，则级数发散. . 这这个个结结果果表表明明，只只要要0 ，就就会会有有一一个个对对称称开开区区间间),(RR在在这这个个区区间间内内幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛， 在在这这个个区区间间外外幂幂级级数数发发散散，Rx时时，级级数数可可能能收收敛敛可可能能发发散散. .称称1R为为幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径. . 当当 = =0 0 时时，01x，级级数数对对一一切切 x都都绝绝对对收收敛敛，这这时时规规定定收收敛敛半半径径R. . 如如果果幂幂级级数数仅仅在在0 x一一点点处处收收敛敛， 则则规规定定收收敛敛半半径径0R，由由此此可可得得 定理定理 1 1 如果以上幂级数如果

6、以上幂级数的系数满足的系数满足 aannn1lim， 则则 当当 0时时，R1； 当当0时时， R=+； 当当，0R. . （2 2）幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间 若若幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径为为R，则则),(RR称称为为幂幂级级数数的的收收敛敛区区间间，幂幂级级数数在在收收敛敛区区间间内内绝绝对对收收敛敛. .我我们们把把收收敛敛区区间间的的端端点点Rx代代入入级级数数中中，判判定定数数项项级级数数的的敛敛散散性性后后，就就可可得得到到幂幂级级数数的的收收敛敛域域. . 例例 1 1 求求幂幂级级数数0!nnnx的的收收敛敛半半径径与与收收敛敛域域 . . 解解 因因为为 011

7、lim)!1(!limlim1nnnaannnnn , , 所所以以所所给给幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径R 收收敛敛域域为为（，）. . 例例 2 2 求求幂幂级级数数1nnnx的的收收敛敛半半径径与与收收敛敛域域. . 解解 因因为为 1111lim1limlim1nnnaannnnn , , 所以所给幂级数的收敛半径所以所给幂级数的收敛半径1R. . 当当1x时，级数为调和级数时，级数为调和级数01nn发散发散. . 当当1x时，级数为交错级数时，级数为交错级数0) 1(nnn，收敛，收敛. . 所以该级数的收敛域为所以该级数的收敛域为) 1 , 1； 例例 3 3 求求幂幂级级数数1

8、nnnxn的的收收敛敛半半径径. . 解解 因为因为 ) 1()11 (lim) 1(limlim11nnnnaannnnnnnn， 所所以以所所给给幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径0R. . 解解 所给幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数的所给幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数的标准形式，因此不能直接应用定理标准形式，因此不能直接应用定理 1 1，这时可以根据比，这时可以根据比值法求其收敛半径值法求其收敛半径. . 2212121122lim22limlimxxxxuunnnnnnnnn , 当当122x，即即 22x时时，所所给给级级数数绝绝对对收收敛敛； 当当, 122x即即 22x时时，

9、所所给给级级数数发发散散. . 因因此此所所给给幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径 R= = 22. . 例例 4 4 求幂级数求幂级数0122nnnx的收敛半径的收敛半径. . 性质性质 1 1 幂级数的和函数在收敛区间内连续幂级数的和函数在收敛区间内连续. .即即若若)(0 xfxannn，则，则)(xf在收敛区间内连续在收敛区间内连续. . 110220( ),(,),( ),(,),nnnnnna xf x xR Rb xg x xR R 若 记记),min(21RRR ，则在，则在),(RR内有如下运算法则：内有如下运算法则： 二、二、 幂级数的性质幂级数的性质加法加法运算运算 000

10、)()()(nnnnnnnnnnxgxfxbaxbxa , , 乘乘法法运运算算 00nnnnnnxbxa nnnnxbababaxbababaxbababa)()()(01102021120011000 )()(xgxf 微微分分运运算算 0010)()(nnnnnnnnnxSxnaxaxa, , 且且收收敛敛半半径径仍仍为为 R. . 积积分分运运算算 1000000dd( )d1xxxnnnnnnnnnaa xxa xxxS xxn 且且收收敛敛半半径径仍仍为为 R. . 设设0)(nnnxSxa，收收敛敛半半径径为为 R，则则),(RR内内有有 如如下下运运算算法法则则： 例例 5 5

11、 求求级级数数0) 1(nnnx ，02nnx，011nnnx，011) 1(nnnnx，01212nnnx，01nnnx的的和和函函数数. . 解解 对对于于级级数数021nnnxxxx， 当当1x时时，看看成成公公比比为为 x的的收收敛敛等等比比级级数数，则则得得 011nnxx，) 1 , 1(x, , 因为收敛区间是关于原点对称的区间因为收敛区间是关于原点对称的区间, ,所以所以x也在收敛区间内也在收敛区间内, ,用用- -x 代换级数中的代换级数中的 x, , 显然显然 011) 1(nnnxx, ,) 1 , 1(x, , 上上面面两两个个级级数数相相加加可可得得022122nnx

12、x，) 1 , 1(x，即即 02211nnxx，) 1 , 1(x, , 利利用用解解析析运运算算可可得得 01,11ln11nnxxn) 1 , 1(x, 01)1ln(11) 1(nnnxxn, 1 , 1(x, 01211ln21121nnxxxn, ) 1 , 1(x, 设设 01)(nnnxxS，) 1 , 1(x, , 两两端端积积分分 xnnnnxxxdxxS0101111)(，) 1 , 1(x, , 两两端端求求导导 021)1 (1)(nnxnxxS ，) 1 , 1(x . . 例例 6 6 求求012121) 1(nnnxn的的和和函函数数. . 解解 设设 012121) 1()(nnnxnxS, , 两端求导得两端求导得 0022211)() 1()(nnnnnxxxxS ，) 1 , 1(x, , 两端积分得两端积分得 201( )darctan1xS xxxx ， 即即 012arctan121) 1(nnnxxn ，) 1 , 1(x, 当当1x时时, ,012121) 1(nnn收收敛敛; ; 当当1x时时, , 012121) 1(nnn收敛收敛, ,所以所以 012arctan121) 1(nnnxxn, , 1 , 1x. . 例例 7 7 求求