固体物理chapter3

1、 晶体内原子在平衡位置附近微小振动，温晶体内原子在平衡位置附近微小振动，温度增加，振动剧烈，近似为弹簧的振动。度增加，振动剧烈，近似为弹簧的振动。3.1 一维单原子晶格的振动一维单原子晶格的振动一、物理模型一、物理模型 质量为质量为 m 的原子，在平衡位置附近作简谐的原子，在平衡位置附近作简谐振动；只考虑最近邻作用振动；只考虑最近邻作用; 原子间近似于弹簧原子间近似于弹簧连接，弹簧弹性系数为连接，弹簧弹性系数为。平衡位置平衡位置)(22drUd 选选n=0原子的平衡位置为原点原子的平衡位置为原点 oaun-1unun+1t 时刻时刻 t 时刻，第时刻，第n-1、n、n+1原子离开平衡位置原子离

2、开平衡位置的位移为的位移为un-1、un、un+1，由虎克定律，由虎克定律 F = -uox n=0 n-1 n n+1 n+2第第 n 个原子受到个原子受到 第第 n+1 个原子的作用力个原子的作用力 11 nnnuuF 11 nnnuuF 第第 n 个原子受到个原子受到 第第 n-1 个原子的个原子的作用力作用力Fn+1Fn-1第第n个个第第 n 个原子的运动方程个原子的运动方程11 nnnFFF牛顿第二定律牛顿第二定律Fma第第 n 个原子的运动方程个原子的运动方程如果晶体由如果晶体由 N 个原子组成，可建立个原子组成，可建立N个方程组个方程组 nnnnuuudtudm21122 l运动

3、方程的解为类波解：运动方程的解为类波解： tqnainAeu 所有原子以相同频率所有原子以相同频率 和振幅和振幅 A 作简谐振动，作简谐振动，但初相位不同，相邻原子相位差为但初相位不同，相邻原子相位差为 q a1 1、色散关系、色散关系把试探解代入第把试探解代入第 n 个原子的运动方程得：个原子的运动方程得： 色散关系为色散关系为2sin422qam q 关系图关系图2sin4qam .aa2a3aa2.qa3第一布里渊区内第一布里渊区内 q = 0 = 0 q = max = aqa a当 q 在在 0 ，由由 0 m ，m为截止频率为截止频率 当当q q ，则产生周期性重复。，则产生周期性

4、重复。aa m4为了使为了使 是是q q 的单值函数，将的单值函数，将q q 限制在第一布里渊区限制在第一布里渊区Nnnuu有有 以上运动方程适合于体内的原子，而没以上运动方程适合于体内的原子，而没有考虑边界原子有考虑边界原子波恩波恩卡曼周期性边界条件卡曼周期性边界条件：假设原子组：假设原子组成无限长的原子成无限长的原子 链，首尾相连。链，首尾相连。(Born-Karman).12Nnn+11cos,1qNaeiqNa)i q n N ati qnatAeAemNaq 2 0Na 2q 2,1,0 m波矢波矢q 的取值是分离的、均匀分布，的取值是分离的、均匀分布，相邻相邻q的的“距离距离”Na

5、 2（非常小，因为（非常小，因为N很大）很大）42pavm22sinqaqaqvqamqamp 242sin4 长声学长声学 波近似为经典弹性波，波近似为经典弹性波，具有线性色散关系具有线性色散关系 ，晶体，晶体可以看成连续介质。可以看成连续介质。a a mq长声学波波速：长声学波波速：qvp格波：晶体中所有原子以相同的频率和振幅格波：晶体中所有原子以相同的频率和振幅 在平衡位置附近作简谐振动，原子的在平衡位置附近作简谐振动，原子的 运动状态在晶体中以波的形式转播运动状态在晶体中以波的形式转播， 这种简谐波称为格波。这种简谐波称为格波。 格波数：一组格波数：一组( i，qi )对应一对应一个个

6、格波，一维单格波，一维单原子晶格有原子晶格有N个格波。个格波。 mq一维单原子晶格有一维单原子晶格有一支一支格波格波包含包含N个个格波格波q1q2（N=初初 基元胞数基元胞数=原子数）原子数）相邻相邻 q 点距离点距离Na 2第一布区内，第一布区内，波矢波矢 q 可取值数可取值数NNaa 22N个原子组成的一维单原子链个原子组成的一维单原子链第一布区第一布区aqa a oNa 2a l一、一维双原子链晶格的振动一、一维双原子链晶格的振动adm mABOXnana+d(n-1)a(n-1)a+d1 12 2(n+1)a第n号u (n-1) BunAunBu (n+1) At 时刻时刻平衡位置一维

7、复式晶格有一维复式晶格有 N 个初基元胞个初基元胞，每个初基元胞内，每个初基元胞内有一个有一个A 类原子和一个类原子和一个B 类原子，质量均为类原子，质量均为m 。1 、物理模型：原子间近似于弹簧连接，弹性物理模型：原子间近似于弹簧连接，弹性 系数系数2 1；原子做简谐振动；原子做简谐振动； 只考虑最近邻作用。只考虑最近邻作用。 2、运动方程运动方程t 时刻时刻 第第 n号号 A原子离开平衡位置的位移原子离开平衡位置的位移unA建立坐标系，建立坐标系，n=0号原子的平衡位置设为号原子的平衡位置设为 原点原点O 第第 n号号 B原子离开平衡位置的位移原子离开平衡位置的位移unB 第第n-1号号

8、B原子离开平衡位置的位移原子离开平衡位置的位移u (n-1) B 第第n+1号号 A原子离开平衡位置的位移原子离开平衡位置的位移u (n+1) Al第第 n号号A原子原子,由虎克定律由虎克定律F（ n-1)B FnBnABnnABnnBnAnBuuFuuF11)1(2n号号A原子的运动方程原子的运动方程BnnAnBnAnAuuuuudtdm)1(1222 nA nB (n-1)B( n+1)A2 1 3、试探解、试探解 同理，同理，n号号B类原子的运动方程为类原子的运动方程为F nA F（n+1)AnAnBAnnBnBuuuuudtdm2)1(122tdnaqinBtqnainAeAueAu)

9、(2)(14、色散关系及其讨论、色散关系及其讨论把把unA、unB代入以上两个运动方程代入以上两个运动方程 关于关于A1A2的两个方程的两个方程 A1、A2非零解，系数行列非零解，系数行列式为式为0 色散关系色散关系(q) 0)()(2122121212 meeeemiqdiqaiqdiqa 0022121212211212 AmAeeAeeAmiqdiqaiqdiqa 21212221212cos21qammA 声学支声学支 21212221212cos21qammo 光学支光学支 21212221212cos21qamm 4、色散关系及其讨论、色散关系及其讨论A Oqoaa- m212 当

10、当 q=0 A = 0 o =当当 q = a mA12 mo22 21212221212cos21qamm 利用波恩利用波恩卡曼边界条件，波矢卡曼边界条件，波矢q的取值的取值 m = 0 , 1 , 2 , mNaq 2 波矢的可取值数波矢的可取值数 = 初基元胞数初基元胞数 N格波支数格波支数（一个初基元胞内）（一个初基元胞内） = 2支支（一支一支o、一支、一支A）晶体格波总（个）数晶体格波总（个）数 = 2 N（1）长声学波）长声学波 q 0, cos qa2)(211qa 21)1(021xxx amvqvqamA21212100212121)(2)(2长声学长声学 波具有线性色波具

11、有线性色散关系散关系 ，与，与经典弹性波一样。经典弹性波一样。2122212221212)21(21 aqmmA qvA0 q 0 时，时， O与与 q 基本无关。基本无关。21222121212221222121222)21 (21maqmaqmmo mo212 21)1(021xxx q = 0 时有时有 光学支光学支 声学支声学支1212AAAA 元胞内元胞内A、B原子反向运动原子反向运动元胞内元胞内A、B原子同向运动原子同向运动112, 0, 01212212121212AAAAmqeemAAOAiqdiqa声学支光学支分别代入上式得q = 0 时有时有 长光学支长光学支长声学支长声学

12、支1212AAAA 元胞内元胞内A、B原子反向运动原子反向运动元胞内元胞内A、B原子同向运动原子同向运动长光学波长光学波长声学波长声学波lq cos qa -1a 12212,1mmAomA12 mo22 声学支光学支存在频率间隙存在频率间隙21121222 mm 可作带通滤波器可作带通滤波器 ）讨讨论论其其长长波波极极限限。（；）讨讨论论色色散散关关系系，作作图图）第第一一布布区区的的范范围围；（求求：（如如图图，其其色色散散关关系系为为例例：一一维维双双原原子子链链结结构构321sin41121222 qamMMmMmmM aaMm原子间力常数均为原子间力常数均为aaMm初基元胞aqaia

13、bi aa22,2) 1 (第一布区范围：空间点阵空间点阵mMmMmMMmmMmMMmMmmMaqMmmMMmmMq221411,2201100)2(221222122光学支声学支光学支声学支A Oqoa2 a2 线性色散关系线性色散关系qvaqmMqamMqamMMmMmmMxxxqamMMmMmmMqaqaq0222222121222222411211, 0411sin, 0)3( 基本无关。与，同理：qMmmMMmmMqamMMmMmmM 0 q2224112221、关于波矢、关于波矢q（1）一维）一维 mNaq 2 m = 0 , 1 , 2 ,.一个一个 m 值对应一个值对应一个q

14、点，波矢取分离值，均匀分布相邻点，波矢取分离值，均匀分布相邻 q 点点 “距离距离”为为q 空间中波矢空间中波矢q 的密度的密度 =第一布里渊内第一布里渊内 q 点的取值数点的取值数=Na2NNaa 22 2NabNmq oNa 2qa a 基矢基矢a1、a2、a3方向的初基元胞数为方向的初基元胞数为N1、N2、N3，晶体总的初基元胞数为晶体总的初基元胞数为N = N1 N2 N3，每个初基元胞内有每个初基元胞内有n个原子。个原子。ijjiba 2 333222111bNmbNmbNmq m1、m2 、m3 = 0 , 1 , 2 , 一组（一组（m1、m2、m3）确定一个波矢）确定一个波矢

15、q点，点，波矢波矢 q 分离值、均匀分布。分离值、均匀分布。a1a2a3qxqyqz一个一个 q 点占点占“体积体积”为平行六面体体积为平行六面体体积NNNNbbbNbNbNb*321321332211第一布里渊区内可取的第一布里渊区内可取的 q 点数点数 =NN *在波矢空间中在波矢空间中q点的密度为点的密度为333*222NNNV一维二维三维 q 的取值bNmq 333222111bNmbNmbNmq 222111bNmbNmq 一个一个q点占的体积点占的体积Na 2qa a qxqyqyqzLNa 22 S22 V32 q点的密度点的密度 32 V 22 S 2L2、波矢、波矢q的取值数

16、、格波支数、总格波数的取值数、格波支数、总格波数三维晶体有三维晶体有N个初基元胞，每个初基元胞个初基元胞，每个初基元胞内有内有s个原子（一个基元）个原子（一个基元）波矢取值数（格波数）波矢取值数（格波数） = 初基元胞数初基元胞数 N格波支数格波支数 = 一个初基元胞内的自由度数一个初基元胞内的自由度数 3s总格波数总格波数 = 晶体总自由度数晶体总自由度数 3sN横波横波( T )：振动方向与传播方向：振动方向与传播方向( q 的方向的方向)垂直。垂直。纵波纵波( L )：振动方向与传播方向平行。：振动方向与传播方向平行。支声学波支声学波支光学波支光学波 ) 1(33s21) 1(2) 1(

17、ssLATALOTO3s支格波支格波金刚石晶格振动沿金刚石晶格振动沿110方方向传播的格波向传播的格波TALALOTOq110100110111Si 晶体的色散关系晶体的色散关系oo oqqq dg格波数格波数 ( 1 )普适公式普适公式qy 3(2ninndiniddS dqqgddS dqqqdS dqVgddS dq第 支格波，间，体积元内 点数 格波数）内 点数点密度dS +d dqnqxqz等频面等频面支支格格波波，格格波波态态密密度度晶晶体体有有 s3 331( )(2 )siqdsVgq（理论公式） 3322dinqniqVgddSdqdddqq dqdqidSVgq 第 支格波

18、 密度态（2）布喇菲格子中格波态密度布喇菲格子中格波态密度 22LNaq 点的密度点的密度一维单原子链一维单原子链)(a dqdLg 状状态态密密度度 dqLdgd 22 内内格格波波数数33332222( )4232NaLqgddLqdqVq dq点的密度球壳内的格波数点的密度 球壳体积三维布喇菲晶格)(b dqdqVg222 状状态态密密度度 dqdLgdqLdgLNaqgqam态密度点的密度解：或模密度）求态密度，散关系为例：一维单原子链的色2222(2sin4 21222122212222sin122cos2,2sin2sin4 mmmmmaLddqLgdqadqqaadqqaadqa

19、qam dqdqVgdqqVqdVqdVqgqvp22223332234)2()2( 状态密度状态密度球壳体积球壳体积点的密度点的密度球壳内的格波数球壳内的格波数点的密度点的密度求态密度求态密度，色散关系为色散关系为例：三维布喇菲晶格，例：三维布喇菲晶格， 2322322223221,ppppvVgvVdqdqVgvddqqv所以总的态密度为：一个纵波考虑有两个独立横波和l一、晶格振动量子化一、晶格振动量子化l简谐近似简谐近似 ：l三维晶体三维晶体sN个个原子振动能原子振动能=3sN 个量子谐个量子谐振子能量振子能量l一个量子谐振子能量为一个量子谐振子能量为 21nEn晶体振动的总能量为晶体振

20、动的总能量为isNiinE 3121 二、声子二、声子1、声子及其特点：声子及其特点：* 固体谐振子的量子，一个声子能量固体谐振子的量子，一个声子能量 ， 准动量为准动量为 * 准粒子，可以产生和湮灭准粒子，可以产生和湮灭* 玻色子，遵从（变形）玻色子，遵从（变形） 玻色分布，玻色分布，* 与其它粒子相互作用时遵从能量守恒和准动量守恒与其它粒子相互作用时遵从能量守恒和准动量守恒q11 kTpeF BBkTBffFFAef由由平平均均值值公公式式满满足足经经典典分分布布看看成成经经典典粒粒子子子子，略略近近似似认认为为是是近近独独立立粒粒之之间间互互作作用用很很弱弱，可可忽忽色色分分布布。由由于

21、于声声子子声声子子是是玻玻色色子子，遵遵从从玻玻、平平均均声声子子数数/,2 1/201/202/121ln2111212nkTBnnkTBnnkTkTneE fEfedkTedTne格波的平均能量 11 kTpeFTn 平平均均声声子子数数频率为频率为的格波在温度为的格波在温度为T时，具有的时，具有的1222212121212cosqamm 例：一维双原子链，色散关系如下：例：一维双原子链，色散关系如下：计算频率为计算频率为 和和 的光学波声子数；频率为的光学波声子数；频率为 声声学波声子数。学波声子数。解：由色散关系得：解：由色散关系得：maxominomaxA12max20,oqm12m

22、axmin22,AOqamm maxminmaxmin122maxmax12()221111,1111111ooooAAkTkTkTkTmmkTkTmnneeeenee分别对应的声子数为分别对应的声子数为： 在温度在温度T时，只有时，只有 的格波被激发的格波被激发 的格波被冻结的格波被冻结 kTkT2kTo.60.16nkT kT2 3kT0.053kT对应的格波 11 kTpeFTn 平平均均声声子子数数平均声子数可平均声子数可定量定量反映格波被激发的程度反映格波被激发的程度kT1、声子与其它粒子的互作用、声子与其它粒子的互作用 遵从准动量守恒和能量守恒遵从准动量守恒和能量守恒l准动量守恒：

23、准动量守恒：123123hhqqqGqqqGl准动量守恒准动量守恒l能量守恒能量守恒qkkkkqkkq发射声子发射声子 吸收声子吸收声子 2、光子与声子的非弹性散射、光子与声子的非弹性散射布里渊区散射布里渊区散射：光子与声学波声子的互作用光子与声学波声子的互作用。拉曼散射：光子与光学波声子的互作用。拉曼散射：光子与光学波声子的互作用。222,0hkkqKaaa时，利用中子谱仪测利用中子谱仪测色散曲线色散曲线光波光波=c0qqoA该点处，光学波与光波该点处，光学波与光波发生共振，产生强吸收。发生共振，产生强吸收。特点：两支特点：两支TA重合，两支重合，两支TO重合（简并）重合（简并） 长声学波的

24、横波和纵波波速不同长声学波的横波和纵波波速不同 长光学波的横波和纵波波速相同长光学波的横波和纵波波速相同Si的色散曲线的色散曲线特点：特点：q 0，纵光学波和横光学波频率不同，纵光学波和横光学波频率不同，LO和和TO 之差越大，离子性越强，通过（之差越大，离子性越强，通过（2LO- 2TO）估算有）估算有 效电荷量。效电荷量。GaAs的色散曲线的色散曲线Kohn异常：色散曲线扭折出，金属中的电子之间异常：色散曲线扭折出，金属中的电子之间 有强耦合。有强耦合。Pb的色散曲线的色散曲线l 3.4 晶体的比热晶体的比热l晶体的总能量晶体的总能量l晶体的热容晶体的热容vevlVeVIVVccTUTUT

25、Uc elUUU 一、经典理论一、经典理论经典能量均分定理，每个谐振子的平均能量经典能量均分定理，每个谐振子的平均能量为为 kBT ，能量为，能量为摩尔热容为摩尔热容为TksNUB3 RkNsNkTUcBBVv3330杜隆杜隆伯替定律：热容与温度无关伯替定律：热容与温度无关等效等效经典力学遇到五大灾难之一经典力学遇到五大灾难之一固体比热问题固体比热问题经典理论经典理论 ，比热与比热与T无关无关无法解释低温比热问题！无法解释低温比热问题！333bTcRcRTUcvvvvCvT3R实验实验经典经典l频率频率 的一个格波的一个格波 个频率个频率 的声子的运动的声子的运动 l 一个频率频率 的谐振子的

26、谐振子l1、爱因斯坦模型爱因斯坦模型：假设晶体中每个原子以相：假设晶体中每个原子以相 l 同频率同频率 作独立的简谐振动。作独立的简谐振动。 晶体有晶体有 3sN 个简谐子，每个简谐子能量个简谐子，每个简谐子能量l晶体总能量为晶体总能量为3131kTUsN nsNen对应对应等效于等效于热容为热容为定义：爱因斯坦温度为定义：爱因斯坦温度为BEk 2213 TkTkBVVEBBeekTksNTUC 2213 TTEBVEEEeeTksNC 113 kTesNU高温高温 T E TeETE 1与经典的杜隆与经典的杜隆伯替定律一致伯替定律一致BBEBEEEBVEkNsNkTsNkTTTksNC022

27、331313223 TTEBVEEEeeTsNkc ETTEEee 1l低温低温 T TEBVEEeTsNkc 23TVEEeTc 2TcvVEcVDcCV实验实验CV经典经典2213 TTEBVEEEeeTksNC 金刚石金刚石2、德拜模型德拜模型：假设晶体是各向同性的连续介：假设晶体是各向同性的连续介质，其色散关系为质，其色散关系为 ；格波频率；格波频率 0 ；设晶体的初基元胞数设晶体的初基元胞数 N ，元胞内原子数，元胞内原子数 s =1。 qvpD PdUFgd总晶格振动能量：总晶格振动能量：定容热容：定容热容：01()( )1mBvVk TUCgdTTe202()( )(1)mBBk

28、 TvBBk TeCkgdk Te教材（教材（3-68）2223202222320434233203()2(1)3()2(1)32(1)DBBDDk TVDBk TBpxxBBBxpxxBxpeVCkdk Tvek Tk TVek xxdxveVkeTxdxve令,DDDDDxkTxkTT定义=为德拜温度k德拜德拜 T3 定律定律：低温时晶体的比热与：低温时晶体的比热与T3成正比。成正比。低温低温 T D43423320443233332(1)34215xBVDxpBpVkeCTxdxveVkTvbT44204(1)15xDxexxdxe 2、德拜模型德拜模型：假设晶体是各向同性的连续介：假设

29、晶体是各向同性的连续介质，其色散关系为质，其色散关系为 ；格波频率；格波频率 0 ；设晶体的初基元胞数设晶体的初基元胞数 N ，元胞内原子数，元胞内原子数 s =1。 qvpD PdUFgd总晶格振动能量：总晶格振动能量：定容热容：定容热容：01()( )1mBvVk TUCgdTTe202()( )(1)mBBk TvBBk TeCkgdk Te教材（教材（3-68）2223202222320434233203()2(1)3()2(1)32(1)DBBDDk TVDBk TBpxxBBBxpxxBxpeVCkdk Tvek Tk TVek xxdxveVkeTxdxve令,DDDDDxkTx

30、kTT定义=为德拜温度k德拜德拜 T3 定律定律：低温时晶体的比热与：低温时晶体的比热与T3成正比。成正比。低温低温 T 4342332043423320432233044333323323332332(1)3123231()2322DDDxxBVDxpxBpxBpBBDVDDppBBDpVkeCTxdxveVkxTxdxvxVkTx dxvVkVkCTxTvvk TVkv NdvVNdgDDp323302320 与杜隆与杜隆伯替定律一致，与温度无关。伯替定律一致，与温度无关。晶体内总格波数晶体内总格波数pDvVN3126 NkkvVNvVcppVD3623232 （以下求（以下求CVD中的中的D）例：二维布喇菲晶格，应用德拜模型计算低温时晶体热容例：二维布喇菲晶格，应用德拜模型计算低温时晶体热容 与与T 2222( )()(2 )2( )211( )222ppppppSSgddqqdqSdqgqddqv qdvSSgv vvSgv考虑有两支声学波，所以总的态密度为：,DDDDDxkTxkTT定义=为德拜温度k2220223203233320323332032022()(1)2()(1)2(1)2(1)(1)DBBDDk TVDBk TBpxxBBBxpxxBxpDDDBxBVDxpxxVDesCkdk Tvek Tk TSek xxdxveSkeTx