向量数量积的定义

1、一一.复习：复习：向量加法法则向量加法法则 平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则abba ba abo方向指向被减向量同起点，连终点，AaBbba 向量减法法则向量减法法则向量共线判定定理向量共线判定定理非零向量非零向量a（a00）与向量）与向量b共线，当且共线，当且仅当有唯一一个实数仅当有唯一一个实数，使，使b=a. . 推论推论1：ACABCB 三三点点共共线线、A三点共线三点共线、则则且且三点不共线，若三点不共线，若、已知已知BA, 1,OPBAOPnmOBnOAm 推论推论2：1221x yx yab/),(),(2211yxbyxa 设设坐标形式：坐标形式：已知两个非零向

2、量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，则，则AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角。OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直， 记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，

3、它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a| |b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a| |b| cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量。一个数量。OAB|b|cos abB1ba等于等于a的长度的长度|a方向上的投影在ab与与cos|b的乘积。的乘积。O投影| cosabab Oa b |cosbab 在在 上上的的投投影影：|

4、cos0b Oa b |cos0b a b |cos0b |cosaba 在在 上上的的投投影影：|cosabba 数数量量积积等等于于与与投投影影的的乘乘积积。 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？ab=|a| |b| cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。0)2(baba|;|) 3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa |或或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| | |

5、| | c co os sa ab ba ab b bbaaba cos)1(方向上的投影方向上的投影在在二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：cbcacbabababaabba )(3()()()(2()1( bacbcacbacba (2) ;)(1(注：注： 则 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的数量分别是OM、MN、 ON, 证明运算律证明运算律(3) babababababa, 2)3( ;,43)2(;,/)1( ;

6、2, 11求求求求求求：已知：已知例例 （1）求）求BC8,CA7,C60 ,BC CA. 变式变式. .在在ABCABC中，中，方向上的投影方向上的投影在在求求CBCA)2(ba23)3( 求求互相垂直？互相垂直？与与为何值时，为何值时，当当不共线，不共线，与与且且：已知：已知例例bkabkakbaba , 4, 63的最小值的最小值）求）求能垂直？（能垂直？（与与且且：已知：已知例例babakbkabakba 2)1(0,3, 14最小？最小？时，时，取何值取何值，问，问夹角为夹角为与与练习题：练习题：btatbaba 0120, 1例例5 5：设向量：设向量a，b，c满足满足a+ +b+

7、 +c= =0，( (a- -b)c，ab，若，若| |a|=1|=1，则，则| |a| |2 2+|+|b| |2 2+|+|c| |2 2的值是的值是. .【典例典例】(2013(2013天津高考天津高考) )在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AD=1,BAD=,AD=1,BAD=6060,E,E为为CDCD的中点的中点. .若若 , , 则则ABAB的长为的长为_._.1 BEAC【类题试解类题试解如图，如图，ABCABC中，中，ACB=90ACB=90且且AC=BC=4AC=BC=4，点，点M M满足满足 =( )=( )A.2 B.3 A.2 B.3 C.4 C.4 D.

8、6 D.6CBCM,3 则则MABMMB MACA32CB61CMM32ABC，求求满满足足，平平面面内内一一点点的的边边长长为为若若等等边边外心内心重心垂心的是则，所在平面上的一点，且是设D C B AABCOOBOAOAOCOCOBABCO一般等边直角等腰的形状则，中，若在D C B AABCABBCCAABCABCABC.ABC, 02的的形形状状判判断断若若 ABBCAB的形状，则，中，已知在ABC21ACACABAB0BCACACABABABCACABADACAB求，于的外心，是设, 1, 3DBCODABCO0)2(baba|;|) 3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(bababbaaba cos)1(方向上的投影方向上的投影在在OAB abB1| | | | | c co os sa ab ba ab b 2.2.向量数量积与实数积运算律的比较向量数量积与实数积运算律的比较实数实数a a，b b，c c向量向量a，b，ca a00，a ab b=0=0b b=0