杆的强度稳定计算

1、第三章第三章 杆件的强度、杆件的强度、刚度和稳定计算刚度和稳定计算3.1 轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的概念在工程中以在工程中以拉伸或压缩拉伸或压缩为主要变形为主要变形的杆件，的杆件，称为：称为：拉、压杆拉、压杆 若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合的变形，称为线重合的变形，称为轴向拉伸或轴向压缩。轴向拉伸或轴向压缩。3.2 轴向拉轴向拉(压压)杆的内力与轴力图杆的内力与轴力图3.2.1 拉压杆的内力拉压杆的内力 唯一内力分量为唯一内力分量为轴力轴力其作用线垂直于横截其作用线垂直于横截面沿杆轴线并通过形心。面沿杆轴线并通过形心。0 xFN

2、FF通常规定：轴力通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负使杆件受拉为正，受压为负。 3.2.2 轴力图轴力图 用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为称为轴力图轴力图。 作轴力图时应作轴力图时应注意注意以下几点：以下几点： 1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。代表点

3、数值。 2、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。例题例题3.1 一等直杆及受力情况如图（一等直杆及受力情况如图（a）所示，）所示，试作杆的轴力图。如何调整外力，使杆上轴力分试作杆的轴力图。如何调整外力，使杆上轴力分布得比较合理。布得比较合理。解：解：1）求）求AB段轴力段轴力11截面： N15 kNF 22截面： 7.1 7.1 扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念扭转的概念 轴轴是以扭转变形为主要变形的直杆作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的

4、变形，称扭转变形扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角扭转角， 用 表示7.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图7.2.1 扭矩扭矩平衡条件平衡条件0 xM eTM内力偶矩内力偶矩T称为称为扭矩扭矩 扭矩的单位：扭矩的单位：N mkN m或扭矩的正负号规定为：扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负逆时针转向为正，顺时针转向为负 扭扭 矩矩 图图常用与轴线平行的常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果

5、之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，轴上方，负值扭矩画在负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为轴下方。这种图形称为扭矩图扭矩图。3.1 工程中梁弯曲的概念工程中梁弯曲的概念梁平面弯曲的概念梁平面弯曲的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。 当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为后梁的轴线所在平面与外力作

6、用面重合的弯曲称为平面弯曲平面弯曲。 梁的荷载：梁的荷载： （1）集中荷载即作用在梁上的横向力）集中荷载即作用在梁上的横向力（2）集中力偶即作用在通过梁的轴线的平面内的）集中力偶即作用在通过梁的轴线的平面内的外力偶。外力偶。（3）分布荷载即沿全长或一段连续分布的横向力）分布荷载即沿全长或一段连续分布的横向力3.2 梁的内力梁的内力剪力和弯矩剪力和弯矩3.2.1梁的梁的剪力和弯矩剪力和弯矩梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法来确定。现分析距A端为x处横截面m-m上的内力。如果取左段为研究对象，则右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替。存在两个内力分量：内力FQ与截面相切，称为剪力，

7、内力偶矩M称为弯矩， 9.2.2剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定即微段有即微段有左端向上而右端向下左端向上而右端向下的相对错动时，的相对错动时，横截面上的剪力横截面上的剪力FQ为为正号正号，反之为负号。，反之为负号。当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时，当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时，横截面上的横截面上的弯矩为正号弯矩为正号，反之为负号。，反之为负号。 3.2.3计算指定截面上的剪力和弯矩计算指定截面上的剪力和弯矩例题例题31 外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各截面的剪力和弯矩。解：解：1.根据

8、平衡条件求约束反力根据平衡条件求约束反力5144AyByFFFF ，2.求截面1-1的内力111110:,0:202yQQFFFFFMFlMMFl 得得3.求截面2-2的内力22222510:0440:202yAyQQAyFFFFFFFFFFMFlMMFl 得得4.求截面求截面33的内力的内力333330:0430:20242yQByQByeByFFFFFFFMMMF lMFllFl 得得5.求截面求截面44的内力的内力444440 :0410 :2022yQByQByByByFFFFFFMMFlMF lFl 得得比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧截面剪力发生了突变，突变值等该集

9、中力的值。 比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。 梁的内力计算的两个规律：梁的内力计算的两个规律： （1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方向投影的代数和。即：QyiFF若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”，或“左上，右下剪力为正”。相反为负。 （2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心O的力矩的代数和。即：0()iMMF 若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上

10、部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正” 或“左顺，右逆弯矩正” ，相反为负。例题例题3.2 一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面、截面B左和截面左和截面B右上的剪力和弯矩。右上的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求出约束力反力4B yFk N2A yFk N2.求指定截面上的剪力和弯矩截面C：根据截面左侧梁上的外力得：222284QCyAycOAyeFFFkNMMFmMkNmkN mkN m 截面B左、B右：取右侧梁计算，得：242222422224ByQBBQBBFFFkNkNkNMFmkNmkN mFFkNM

11、FmkNmkN m 左左右右在集中力作用截面处，应分左、右截面计算剪力；在集中力偶作用截面处，也应分左、右截面计算弯矩。9.3 梁的内力图梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图3.3.1 剪力方程和弯矩方程在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数， FQ=FQ (x) M=M(x)梁的剪力方程梁的剪力方程梁的弯矩方程3.3.2剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示制表示FQ (x)和和M(x)的图线。这种图线分别称为

12、的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称剪力图和弯矩图，简称FQ图和图和M图。绘图时一图。绘图时一般规定正号的剪力画在般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力轴的上侧，负号的剪力画在画在x轴的下侧；正弯矩画在轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画轴下侧，负弯矩画在在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 例题例题3.33.3 图所示，悬臂梁受集中力图所示，悬臂梁受集中力F F作用，试作作用，试作此梁的剪力图和弯矩图此梁的剪力图和弯矩图解：1.列剪力方程和弯矩方程( )QFxF (0 xl ) ( )M xFx (0 xl) 2.2.作剪力图和弯矩图作剪力图

13、和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：maxmaxQFFMFl例题例题3.43.4 简支梁受均布荷载作用，如图示，简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力由对称关系，可得：12AyByFFql最大剪力发生在梁端，其值为最大剪力发生在梁端，其值为FQ,max=12ql2.列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程1( )2QAyFxFqxqlqx22111( )9222AyM xF xxqlxqx3.作剪应力图和弯矩图作剪应力图和弯矩图最大弯矩发生在跨中，它的数值为最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax218ql例题例题3.53.5 简支梁受集中作

14、用如图示，作此梁的简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1.1.求约束反力求约束反力,AyByFbFaFFll2.列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程( )QAyFbFxFl （0 xa） ( )AyFbM xF xl (0 xa) AC段：CB段：( )QAyFbFaFxFFFll (axl) ( )()()AyFaM xF xF xalxl (0 xl) 3.3.作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图例题例题3.6 简支梁受集中力偶作用，如图示，试简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力,eeAyByMM

15、FFll2.2.列剪应力方程和弯矩列剪应力方程和弯矩方程方程AB段：( )eQMFxl（0 xl）CB段：( )QAyFbFaFxFFFll (axl) ( )()()AyFaM xF xF xalxl (0 xl) 3.3.作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图CB段：( )eAYeMM xF xMexMl (axl)AC段：( )AyMeM xFxxl (0 xa)3.绘出剪力图和弯矩图绘出剪力图和弯矩图 3.4.1 分布荷载集度与剪力、分布荷载集度与剪力、 弯矩弯矩 (q与与FQ、M)之间的微分关系之间的微分关系3.4 弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系微段的

16、平衡，得( )( )QdFxq xdx0:( )( )( )( )0yQQQFFxq x dxFxdFx()0:()()()()()02OiQMFMxd MxMxd xFxd xqxd x( )( )QdM xFxdx22( )( )d M xq xdx剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；荷载集度； 弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。 二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向，二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向， 若若q(x)0,弯矩为上凸曲线，弯矩为上凸曲线，弯矩图的凹凸方向与弯矩图的凹凸方向与q(

17、x)指向一致指向一致. 9.4.2 常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系1.剪力图与荷载的关系剪力图与荷载的关系(1)在均布荷载作用的区段，当在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时，坐标自左向右取时， 若若q(x)方向向下，则方向向下，则FQ图为下斜直线；图为下斜直线； 若若q(x)方向向上，方向向上，FQ图为上斜直线。图为上斜直线。(2)无荷载作用区段，即无荷载作用区段，即q(x)=0， FQ图为平行图为平行x轴的直线。轴的直线。(3)在集中力作用处，在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外图有突变，突变方向与外 力一致，且突变的数值等于该集中力

18、的大小。力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图图 是连续无变化。是连续无变化。2.弯矩图与荷载的关系弯矩图与荷载的关系(1)在均布荷载作用的区段，在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。图为抛物线。(2)当当q(x)朝下时，朝下时，22( )( )0d M xq xdxM图为上凹下凸。图为上凹下凸。当当q(x)朝上时，朝上时，22( )( )0d M xq xdxM图为上凸下凹。图为上凸下凹。(3) 在集中力作用处，在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力图发生转折。如果集中力向下，则向下，则M图向下转折；反之，则向

19、上转折。图向下转折；反之，则向上转折。(4) 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。该截面上的剪力。(2) 当当FQ图为斜直线时，对应梁段的图为斜直线时，对应梁段的M图为二次图为二次抛物线。当抛物线。当FQ图为平行于图为平行于x轴的直线时，轴的直线时，M图为斜直线。图为斜直线。3. 弯矩图与剪力图的关系弯矩图与剪

20、力图的关系(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。解：解： 1. 1. 求约束反力求约束反力例题例题3.7 简支梁如图所示，简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。15,15AyByFkN FkN2. 画画FQ图图各控制点处的各控制点处的FQ值如下：值如下：FQA右=FQC左=15kN FQC右=FQD=15 kN 10kN=5kN FQD=5kN F QB左=15kN3. 画M图MA = 0, MC =15kN2m=30 kN.m MD = 15kN4m10kN2m=40kN.m M-D右= 15kN4m5kN4m2m=20 kN.mMB=031535/3222.5EMkNmkN mmmkN m例题例题3.8 一外伸梁如图示。试用荷载集度