线性代数第一章第一节

1、线线 性性 代代 数数 办公室：办公室： 理学院理学院 A 座座 2-3 E-mail : 孟得新孟得新 一次方程（线性）：一次方程（线性）： 古埃及时期古埃及时期二次方程的求根公式：二次方程的求根公式： 古巴比伦时期古巴比伦时期求根公式：可以通过方程系数的求根公式：可以通过方程系数的+ +，- -，x x，/ /以及开根号等运算的组合表示方程的根，成为根以及开根号等运算的组合表示方程的根，成为根式解或者代数解。式解或者代数解。三次方程的求根公式：中世纪文艺复兴（意大利）三次方程的求根公式：中世纪文艺复兴（意大利） 费罗-费奥 塔塔利亚-卡当-费拉里-四次方程四次方程 五次以及五次以上方程的可

2、解性：五次以及五次以上方程的可解性： Lagrange Lagrange：猜想不可求解；：猜想不可求解； Able Able（1802-18291802-1829）：证明了不可解性；）：证明了不可解性；伽罗瓦（伽罗瓦（1811-18321811-1832）：给出了高次方程什）：给出了高次方程什么情况下可解的充要条件么情况下可解的充要条件. .11112211211222221122,nnnnmmmnnma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb m个方程的个方程的n元线性方元线性方程组的一般形式程组的一般形式数乘数乘加法加法线性运算线性运算 行列式是根据求解方程个数和未知量个数相行列

3、式是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组（同的线性方程组（n n个方程组成的个方程组成的n n元线性方程组）元线性方程组）的需要而定义的的需要而定义的. . nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111第一章第一章 行行 列列 式式 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 对对 换换 行列式的性质行列式的性质 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 克拉默法则克拉默法则 ,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）1.1 1.1 二阶与

4、三阶行列式二阶与三阶行列式 一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入 1、求解二阶线性方程组、求解二阶线性方程组 方法：用消元法分别消去方法：用消元法分别消去 和和 .1x2x :a221,a a xa a xb a1122112222122 :a122,a a xa a xb a12211122222121.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 ;a aa axb aa b112212211122122（）;a aa axa bb a11221221211 2121（）,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）两式相减两式相减 , 消去消去 , 得得2x

5、类似地类似地 , 消去消去 , 得得1x我们可以将之排成一个数表我们可以将之排成一个数表b aa bxa aa a122122111221221，.a bb axa aa a11 21212112212213（ ）分母由方程组的四个系数确定分母由方程组的四个系数确定 ： 方程组的解为方程组的解为a aa a112212210当当时时,1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式 11122122.aaaa,.a xa xba xa xb11112212112222（1）（2）1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式2、定义、定义 1.1 由四个数排成二行二列的数表由四个数排成二行二

6、列的数表11221221a aa a表达表达式式称为数表称为数表(4) 所确定的所确定的 二阶行列式二阶行列式 , 并记并记为为11122122aaaa（4）11122122aaaa（5）主对角线主对角线副对角线副对角线a a1122.a a12213、 对角线法则对角线法则即即.aaDa aa aaa11121122122121221.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式a11a12a22a211.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式4、 用二阶行列式解二元线性方程组用二阶行列式解二元线性方程组,.11112212112222a xa xba xa xb( ).， b aa

7、bxa aa aa bb axa aa a12212211122122111 21212112212216解为解为1121112112222122,baaaDxbaaaD 1111112222122122.abaaDxabaaD 则则1121222,baDba 1112212.abDab 11122122,aaDaa 记记系数行列式系数行列式1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式例例1.112123212 ,21 .xxxx 求解方程求解方程组组解解:3221D 因为因为() 3470 , D11221114 , D 23122121, 所以所以,DxD11142,7DxD22213

8、.7 ,112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a（8）(8)式称为数表式称为数表 (7) 所确定的所确定的三阶行列式三阶行列式 . .1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式二、三阶行列式二、三阶行列式1、定义、定义 1.2 设有设有 9 个数排成个数排成 3 行行 3 列的数表列的数表aaaaaaaaa111213212223313233记记111213212223313233aaaaaaaaa（7）aaaaaaaaa111213212223313233a a a112233.a a a112

9、332对角线法则对角线法则说明说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式a a a132132a a a122331a a a132231a a a122133 三阶行列式三阶行列式包括包括 3! 项项, , 每一项都是位于不同每一项都是位于不同行行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, , 其中三项为正其中三项为正, , 三三项为负项为负. .1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式解：解： 按对角线法则，有按对角线法则，有14 . 1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式124221.342D 例例 1.2计算三阶行列式计算三阶

10、行列式1 1 42 ( 2) ( 2)( 4)2 ( 3) 46324824 D 12( 2) 2 1 ( 3) ( 4) ( 2)4 .xx211123049例例 1.3解：解： 方程左端方程左端Dxxxx2234189212,xx2561.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式xx2560由由解得解得x 2或者或者x 3 3. .求解方程求解方程,baaDbaabaa1121312222333233记记,;a xa xa xba xa xa xba xa xa xb1111221331211222233231132233330 , 3、利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求

11、解三元线性方程组,abaDabaaba1111322122331333.aabDaabaab1112132122231323aaaDaaaaaa111213212223313233若若则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :,11DxD,22DxD33.DxD 例例 1.4,fx ,.fff1023328解：解： 设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,f xaxbxc2由题意得由题意得 ,fabc10 ,fabc2423,fabc393281.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式求一个二次多项式求一个二次多项式 使得使得 2231.fxxx0 ,423 ,9328;ab

12、cabcabc 得到一个关于未知数得到一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组, , ,a b c又又200 ,D 12340,60,20.DDD 得得,aDD12,bDD 23cDD31故所求多项式为：故所求多项式为：1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式我们已知二阶、三阶行列式，那么，我们已知二阶、三阶行列式，那么，有有 n 阶行列式吗？若有，是什么样子？阶行列式吗？若有，是什么样子？1.1 1.1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式问题：问题：全排列及其逆序数全排列及其逆序数1、定义、定义 2.1nP(1)n(2)n3 2 1 !.n 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆

13、序数把把 n 个不同的元素排成一个序列，叫做这个不同的元素排成一个序列，叫做这 n 个元素的个元素的全排列全排列（或（或排列排列）. 元素的所有排列的个数，通常用元素的所有排列的个数，通常用 表示表示.nPn 个不同的个不同的n 例例 2.1 排列排列 32514 中的逆序中的逆序. . 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序 , , n 个不同的个不同的自然数，规定自然数，规定由小到大由小到大为为标准次序标准次序.2、排列的逆序数、排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数定义定义 2.2 在一个排列在一

14、个排列 中中, 12tsni iiii 则称这两个元素组成一个则称这两个元素组成一个逆序逆序.若若 的顺的顺,tsii序与标准次序不同序与标准次序不同 ,排在排在 i 前面且比前面且比 i 大的数的个大的数的个数称为数称为 i 的逆序数的逆序数 , 一个排列中所有逆序的总数称为此一个排列中所有逆序的总数称为此排排列的逆序数列的逆序数. .例例 2.2 排列排列 32514 的逆序数的逆序数. . 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5 . 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数定义定义 2.3记为记为 ( ).t i排

15、列的逆序数等于排列中每排列的逆序数等于排列中每个元素的逆序数之和个元素的逆序数之和.计算排列逆序数的方法：计算排列逆序数的方法：逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列; ;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列. .3、排列的奇偶性、排列的奇偶性 算出排列中每个元素的逆序数算出排列中每个元素的逆序数; ; 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 每个元素的逆序数之总和即为所求排列每个元素的逆序数之总和即为所求排列 的逆序数的逆序数. . 例例 2.3 计算下列排列的逆序数计算下列排列的逆序数 , , 并讨论奇偶性并讨论奇偶性 . . 1217 98

16、6 354解：解：2 1 7 9 8 6 3 5 4544310010t 18, 54 4310010 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数故为偶排列故为偶排列 . 2123 21n nn 解：解：21 12 .n n t 2n 12321n nn 1n2n 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 1n 当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列. .34 , 24 kkn 22122212331kkkkkk 123k3210k-1 321 21 2 22 3 231kkkkkk 解：解： 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数

17、0112211tkkk 于是于是 0112211tkkk 2 1112kkk 2,k 于是排列的逆序数为于是排列的逆序数为当当 为偶数时，为偶数时，k故故当当 为奇数时，为奇数时，k 1.2 1.2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数排列为偶排列，排列为偶排列，排列为奇排列排列为奇排列.一、概念的引入一、概念的引入aaaDaaaaaa111213212223313233a a aa a aa a a112233122331132132a a aa a aa a a13 22 3111 23 3212 21 33说明说明（1）三阶行列式共有三阶行列式共有 6 项，即项，即 3! 项项（2）每项都是

18、位于）每项都是位于不同行不同列不同行不同列的三个元素的的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三 个元素的个元素的列标排列列标排列 1.3 n 1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 333231232221131211aaaaaaaaaD 332112322311312213aaaaaaaaa 123111213212223123313233pppaaaaaaaaaaaa02322113312312332211aaaaaaaaa 2311 123(,)( 1)t ppp123p p p二、二、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定

19、义定义 3.1 1.3 n 1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 由由 n2n个数组成的个数组成的阶行列式阶行列式等于所有等于所有n取自不同行不同列的取自不同行不同列的个元素的乘积个元素的乘积的代数和的代数和nnntp ppppnpp ppaaa121212121其中其中np pp12为自然数为自然数1, 2,., n的一个的一个排列，排列， 12.ntp pp为该排列的逆序数为该排列的逆序数.记为记为det(),ija简记为简记为ija其中数其中数为为D的的( , )i j元元 .111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 121212121nnntp ppppnpp pp

20、aaa 1.3 n 1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 说明说明 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的定义的; ; 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆 . .aa 1.3 n 1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积 ; ;nn 阶行列式是阶行列式是 项乘积的代数和项乘积的代数和 ; ;n!n 的符号为的符号为1212np

21、pnpaaa nt p pp 12(.)1;例例 3.1计算对角行列式计算对角行列式.0001002003004000展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 123412341,tppppaaaa 解：解：所以所以 只能等于只能等于 , , 1p4同理可得同理可得2343,2,1.ppp 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为 142332411.ta a a a 1.3 n 1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 14 ,p 若若110 ,pa 则则. 24n 21 .12121nnn ;21n n 21例例 3.2 证明证明对角行列式对角行列式 . . 1.3 n 1.3 n

22、 阶行列式的定义阶行列式的定义 12n 12112,111t n nnnna aa 12121.n nn 证明：证明：第一式是显然的第一式是显然的, ,下面证第二式下面证第二式. .若记若记,1,i n iia 则依行列式定义可知则依行列式定义可知12,11nnnaaa 1.3 n 1.3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义 3213,2,1,npnpp 所以可能不为零的项只有所以可能不为零的项只有1122.nna aa例例 3.3 计算计算上三角行列式上三角行列式 ,.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa111211122212111000000观察观察,nnpa观察观察11,nnpa 进而进而;npn 则则11,npn 则则设展开式中设展开式中 有可能不为零有可能不为零 .解：解： 121