第一章第二课时直线与平面垂直

1、1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3直线与平面的位置关系理解教材新知把握热点考向应用创新演练第一章立体几何初步知识点一考点一考点二知识点二第二课时直线与平面垂直知识点三考点三知识点四知识点五 请你做一做：将书打开直立在桌面上，观察书脊请你做一做：将书打开直立在桌面上，观察书脊和各页与桌面的交线的位置关系和各页与桌面的交线的位置关系 问题问题1：书脊和各页与桌面的交线是什么位置关系？：书脊和各页与桌面的交线是什么位置关系？ 提示：提示：垂直垂直 问题问题2：若一直线垂直于某一平面内的无数条直线，：若一直线垂直于某一平面内的无数条直线，此直线和平面垂直吗？此直线和平面垂直吗？ 提示：提示：不一

2、定不一定 直线和平面垂直的概念直线和平面垂直的概念 1线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的线面垂直定义：如果一条直线与一个平面内的 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，直直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面垂面，垂线和平面的交，垂线和平面的交点叫做点叫做 2结论：过一点有且只有一条直线与已知平面结论：过一点有且只有一条直线与已知平面 ，过一点过一点 平面与已知直线垂直平面与已知直线垂直.任意任意一条一条垂足垂足垂直垂直有且只有一个有且只有一个 要测量某墙角直与不直，只需将要测量某墙角直与不直，只需将弯尺一

3、边与墙角对齐，将另一边旋转，弯尺一边与墙角对齐，将另一边旋转，看是否与地面平齐，若平齐，说明墙角直，否则墙角看是否与地面平齐，若平齐，说明墙角直，否则墙角不直不直 问题问题1：用弯尺测量墙角直不直的原理是什么？：用弯尺测量墙角直不直的原理是什么？ 提示：提示：直线与平面垂直的定义直线与平面垂直的定义 问题问题2：直线垂直于平面的条件是什么？：直线垂直于平面的条件是什么？ 提示：提示：必须垂直于平面内的所有直线必须垂直于平面内的所有直线 直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的文字语言：一条直线与一个平面内的 都都垂直，则该直线与此平面垂直垂直，则该直线

4、与此平面垂直两条相交直线两条相交直线lmlnmnAm，n 当你在马路上散步时，会惊奇当你在马路上散步时，会惊奇地发觉身旁的树木、电线杆等物体，地发觉身旁的树木、电线杆等物体，它们之间的空间位置关系是相互平行的它们之间的空间位置关系是相互平行的 问题问题1：若将树木电线杆抽象成直线，它们与地面：若将树木电线杆抽象成直线，它们与地面所在平面有何位置关系？所在平面有何位置关系？ 提示：提示：垂直垂直 问题问题2：你能由上述问题得出垂直于同一平面的：你能由上述问题得出垂直于同一平面的直线平行吗？直线平行吗？ 提示：提示：可以可以 直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理 文字表述：如果两条直线

5、垂直于文字表述：如果两条直线垂直于 平面，那平面，那么这两条直线平行么这两条直线平行 符号表示：若符号表示：若a，b，则，则ab.同一个同一个 1点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和这个点和 间的距离，叫做这个点到这个平面的距间的距离，叫做这个点到这个平面的距离离 2直线和平面的距离：一条直线和一个平面直线和平面的距离：一条直线和一个平面 ，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离这个平面的距离.垂足垂足平行平行 1相关概念相关概念 平面的斜线：指与一平面相交，但平

6、面的斜线：指与一平面相交，但 的直线的直线 斜足：斜线与平面的交点斜足：斜线与平面的交点 斜线段：斜线上一点与斜足间的线段斜线段：斜线上一点与斜足间的线段 正投影：过平面外一点正投影：过平面外一点P向平面向平面引斜线和垂线，过引斜线和垂线，过 的直线就是斜线在平面内的正投影的直线就是斜线在平面内的正投影(简称射简称射影影)斜足和垂足斜足和垂足不垂直不垂直 2直线与平面所成的角直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的成的 (2)范围：范围： .(3)画法：如图所示，斜线画法：如图所示，斜线PQ与平面与平面所成的角是所成

7、的角是 .锐角锐角090PQP1 1判定定理的理解判定定理的理解 (1)定理中定理中“平面内两条相交直线平面内两条相交直线”是关键性条件，若是关键性条件，若没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能没有此条件即使直线垂直于面内的无数条直线，也不能判定直线垂直于平面判定直线垂直于平面 (2)要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线要判定线面垂直，只需在平面内找到两相交直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线与已知直线垂直即可，至于这两条直线是否与已知直线有交点，无关紧要有交点，无关紧要 2对性质定理的理解对性质定理的理解 (1)定理给出了判定两直线平行的另一种方法定理给出了判

8、定两直线平行的另一种方法 (2)定理揭示了空间中定理揭示了空间中“平行平行”与与“垂直垂直”关系的内在联系，关系的内在联系，提供了提供了“垂直垂直”与与“平行平行”关系相互转化的依据关系相互转化的依据 在三棱锥在三棱锥ABCD中，中，BCAC，BDAD，BECD于于E. 求证：求证：CD平面平面ABE. 思路点拨思路点拨欲证线面垂直，可考虑利用线面垂直的欲证线面垂直，可考虑利用线面垂直的判定定理，将问题转化为证明判定定理，将问题转化为证明CD与平面与平面ABE内两相交直线内两相交直线都垂直，由条件知都垂直，由条件知ABC与与ABD是等腰三角形，于是由是等腰三角形，于是由等腰三角形等腰三角形“三

9、线合一三线合一”，启发我们取，启发我们取AB中点中点M，然后进行，然后进行求解求解 精解详析精解详析取取AB中点中点M，连结，连结MD、MC.BCAC，BDAD，CMAB，DMAB.又又CMDMM，AB平面平面CDM.CD平面平面CDM，CDAB.又又CDBE，ABBEB，CD平面平面ABE. 一点通一点通线面垂直的证明常见方法线面垂直的证明常见方法 (1)线面垂直的判定定理，在论证中要根据题设条线面垂直的判定定理，在论证中要根据题设条件，来寻找判定定理的条件件，来寻找判定定理的条件 (2)利用平行转化：利用平行转化：ab，a，则，则b.1共点的三条直线共点的三条直线OA、OB、OC两两互相垂

10、直，则两两互相垂直，则OA与与 BC的关系是的关系是_ 解析：解析：OAOB，OAOC，OBOCO， OA平面平面BOC，又，又BC平面平面BOC，OABC. 答案：答案：OABC2.如图所示，在正方体如图所示，在正方体AC1中，中， 求证：求证：AC平面平面BDD1B1. 证明：证明：BB1AB，BB1BC， BB1平面平面AC， 又又AC平面平面AC，BB1AC. 又四边形又四边形ABCD是正方形，是正方形， BDAC， 又又BD平面平面BDD1B1，BB1平面平面BDD1B1，BB1BDB， AC平面平面BDD1B1.3如图，已知如图，已知ABC中，中，ACB90，SA平面平面ABC，

11、ADSC于于D，求证：，求证：AD平面平面SBC.证明：证明：ACB90，BCAC.又又SA平面平面ABC，SABC.又又ACSAA，BC平面平面SAC.AD平面平面SAC，BCAD.又又SCAD，SCBCC，AD平面平面SBC. 如图在正方体如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，点中，点E、F分别在分别在A1D、AC上，且上，且EFA1D，EFAC.求证：求证：EFBD1. 思路点拨思路点拨利用线面垂直的性质定理证明利用线面垂直的性质定理证明EF、BD1垂直于面垂直于面AB1C可得结论可得结论精解详析精解详析如图所示，如图所示，连结连结AB1、B1C、BD、B1D1，DD1平面平面ABCD

12、，AC平面平面ABCD，DD1AC.又又ACBD，BDDD1D，AC平面平面BDD1B1，又又BD1平面平面BDD1B1，ACBD1.同理可证同理可证BD1B1C，BD1平面平面AB1C.EFAC，EFA1D，又又A1DB1C，EFB1C.EF平面平面AB1C，EFBD1.一点通一点通空间中证明两条直线平行的方法：空间中证明两条直线平行的方法：(1)利用线线平行定义：证两线无公共点；利用线线平行定义：证两线无公共点；(2)若若ab，bc，则，则ac(公理公理4)；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；面平行；(4)若若a，b，

13、则，则ab(线面垂直的性质定理线面垂直的性质定理)4ABC所在的平面为所在的平面为，直线，直线lAB，lAC，直线，直线 mBC，mAC，则直线，则直线l，m的位置关系是的位置关系是_答案：答案：平行平行5.如图，如图，m、n是两条相交直线，是两条相交直线， l1，l2是与是与m，n都垂直的两条都垂直的两条 直线，且直线直线，且直线l与与l1，l2都相交，都相交， 求证：求证：12. 证明：证明：m与与n相交，相交， m与与n确定一个平面，记为确定一个平面，记为. l1m，l1n， l1. 同理同理l2. l1l2，12. 已知：已知：AB，PQ于于Q，PO于于O，OR于于R，求证：，求证：Q

14、RAB. 思路点拨思路点拨解答本题可先考虑解答本题可先考虑QR在某一平面内，在某一平面内，证证AB与其所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即与其所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可判定可判定QRAB.精解详析精解详析如图，如图，AB，PO于于O，POAB，PQ于于Q，PQAB，POPQP，AB平面平面POQ.OR于于R，PQOR.PQ与与OR确定平面确定平面PQRO.又又QR平面平面PQRO，QRAB. 一点通一点通要证线线垂直，只需证线面垂直，只需要证线线垂直，只需证线面垂直，只需考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所考虑应用线面垂直的定义或判定进行证明，从而得出所需结论需

15、结论6设设l，m是两条不同的直线，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题是一个平面，则下列命题 正确的个数是正确的个数是_ 若若lm，m，则，则l若若l，lm，则，则m 若若l，m，则，则lm若若l，m，则，则lm解析：解析：对于，若对于，若lm，m，则，则l可能成立，可能成立，l不不一定成立，一定成立，不正确；对于，若不正确；对于，若l，lm，则，则m，正确对于，正确对于，l与与m可能异面，不一定平行，故不正确；可能异面，不一定平行，故不正确；对于，对于，l与与m可能相交，也可能异面，故不正确可能相交，也可能异面，故不正确答案：答案：17如图，已知如图，已知PA矩形矩形ABCD所在所在 的平面，的平面，M、N分别分别 是是AB、 PC的中点求证：的中点求证：MNAB. 证明：证明：如图，连结如图，连结AC，取，取AC中点中点E，连结，连结ME、NE， 则则NEPA，PA矩形矩形ABCD，NE平面平面ABCD.NEAB.MEBC，BCAB，MEAB.又又MENEE，AB平面平面MNE.MNAB. 1判定线面垂直的方法主要有三种判定线面垂直的方法主要有三种 (1)利用定义；利用定义；(2)利用判定定理；利用判定定理；(3)与平行关系联与平行