矩阵的加减及

1、上海八中上海八中 许颖许颖2009年年12月月9日日 为了公平合理真实地反映学生在校学习情况，将平时成为了公平合理真实地反映学生在校学习情况，将平时成绩的绩的30%，期中考试的，期中考试的30%，期末考试的，期末考试的40%相加生成学相加生成学期总评记入学生学习档案。有甲、乙、丙三位同学的语文、期总评记入学生学习档案。有甲、乙、丙三位同学的语文、数学、英语三门功课的期中、期末成绩如下表所示：数学、英语三门功课的期中、期末成绩如下表所示：语文语文数学数学英语英语平时平时 期中期中 期末期末 平时平时 期中期中 期末期末 平时平时 期中期中 期末期末甲甲807075908085708075乙乙90

2、7080808075809085丙丙608070809095908085（1）如何用矩阵表示三位同学各科在平时、）如何用矩阵表示三位同学各科在平时、 期中、期末的成绩？期中、期末的成绩？ （2）如何得到这三位同学在平时、期中、期末时，）如何得到这三位同学在平时、期中、期末时， 语文、数学、英语三门课的总成绩？语文、数学、英语三门课的总成绩？（3）如何得到这三位同学在期中、期末各科成绩）如何得到这三位同学在期中、期末各科成绩 的增幅？的增幅？（4）如何求三位同学的总评成绩？）如何求三位同学的总评成绩？若矩阵若矩阵A和矩阵和矩阵B的行数与列数分别相等，的行数与列数分别相等，则则A和和B叫做同阶矩阵

3、。叫做同阶矩阵。若若A=(aij)和和B=(bij)是同阶矩阵，且矩阵是同阶矩阵，且矩阵A中每中每一个元素与矩阵一个元素与矩阵B中相同位置的元素都相等，中相同位置的元素都相等，即即aij=bij，则称两矩阵相等，记做，则称两矩阵相等，记做A=B。我们把我们把m行行n列矩阵的第列矩阵的第i行第行第j列元素用圆括号列元素用圆括号括起来表示矩阵，记为括起来表示矩阵，记为A=(aij)1. 可用可用A=(aij)表示矩阵表示矩阵2. 同阶矩阵同阶矩阵3. 矩阵的相等矩阵的相等问题一：已知问题一：已知A2 2= ，B2 2= ， 若若A=B，求，求x、y、u、v. yx64 31vu解：解：x=1, y

4、=3, u=4, v=6.A=B1. 矩阵的和与差矩阵的和与差记作记作:A+B上述运算叫做矩阵的加法（上述运算叫做矩阵的加法（减法减法）.（相减相减cij=aijbij）当两个矩阵当两个矩阵A，B的行数和列数分别相等时，的行数和列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相加将它们对应位置上的元素相加i=1,2,m；j=1,2,ncij=aij+bij所得到的矩阵所得到的矩阵cij称为矩阵称为矩阵A,B的和的和（差差），），（A- -B）语文语文数学数学英语英语平时平时 期中期中 期末期末 平时平时 期中期中 期末期末 平时平时 期中期中 期末期末甲甲807075908085708075乙乙9070

5、80808075809085丙丙608070809095908085各科平时成绩用矩阵各科平时成绩用矩阵A表示，期中成绩用矩阵表示，期中成绩用矩阵B表示，表示，期末成绩用矩阵期末成绩用矩阵C表示。表示。 859570857580758575CA= 80 9070908080608090问题二：问题二： 809080908070808070B平时、期中、期末总成绩用矩阵平时、期中、期末总成绩用矩阵D表示，期中、表示，期中、期末成绩的增幅用矩阵期末成绩的增幅用矩阵E表示，求矩阵表示，求矩阵D和和E。 908060808090709080A 809080908070808070B 859570857

6、580758575CD= 225 255 225240 235 255210 265 255E= 55510 551055甲同学在期末考试中，甲同学在期末考试中，语文和数学成绩都有提高，语文和数学成绩都有提高，英语成绩有所下降。英语成绩有所下降。A+B+C=C B=3. 由实数的加法有交换律和结合律，由实数的加法有交换律和结合律， 可类比得到同阶矩阵的加法满足：可类比得到同阶矩阵的加法满足： A+B=B+A 加法的交换律加法的交换律(A+B)+C=A+(B+C) 加法的结合律加法的结合律1. 只有同阶矩阵的加、减才有意义；只有同阶矩阵的加、减才有意义； 两同阶矩阵的加、减是它们对应位置的元素两

7、同阶矩阵的加、减是它们对应位置的元素 相加减；相加减；设设k为任意实数，把矩阵为任意实数，把矩阵A的所有元素与的所有元素与k相乘相乘得到的矩阵叫做矩阵得到的矩阵叫做矩阵A与实数与实数k的乘积矩阵的乘积矩阵.记作：记作：kA （kA=(kaij)） mnmmnnijkakakakakakakakakakakA212222111211)( mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA212222111211)(2. 数与矩阵的积数与矩阵的积问题三问题三：(1)计算甲、乙、丙三位同学平时、期中、计算甲、乙、丙三位同学平时、期中、 期末各科平均成绩对应的矩阵期末各科平均成绩对应的矩阵F。 D= 2252

8、55225240235255210265255A+B+C =D31= 322532253255325532553240321032353265= 8533.83708533.7880758575 809080908070808070B 859570857580758575CA= 809070908080608090F=(2)求三位同学的学期总评对应的矩阵求三位同学的学期总评对应的矩阵G 809080908070808070B 859570857580758575CA= 809070908080608090由平时成绩的由平时成绩的30%，期中考试的，期中考试的30%，期末考试的，期末考试的40%

9、相加生成学期总评成绩。相加生成学期总评成绩。CBA4 . 03 . 03 . 0 = 0.3 80+0.3 70+0.4 757590 0.3+80 0.3+85 0.48575 78 75 70 89 85G=数与矩阵的乘法满足：数与矩阵的乘法满足：1. 分配律分配律 k(A+B)=kA+kB (k+l)A=kA+lA 结合律结合律 (kl)A=k(lA)=l(kA) 2. 移项法则移项法则A+B=CA=C B或或B=C A加法与减法的互化加法与减法的互化A B=A+(11)B（1）将二元一次方程组）将二元一次方程组 用矩阵的用矩阵的 运算来表示；运算来表示； （2）讨论方程组存在唯一解的条

10、件。）讨论方程组存在唯一解的条件。 222111cybxacybxa解：（解：（1）原方程组可以表示为：）原方程组可以表示为： 212121ccbbyaax（2）当向量当向量 与与 不平行时，不平行时， 21bb 21aa问题问题4：已知二元一次方程组：已知二元一次方程组 222111cybxacybxa由平面向量分解定理知，存在唯一实数由平面向量分解定理知，存在唯一实数x,y，使，使 ，即，即 212121ccbbyaax方程组有唯一解。方程组有唯一解。 21bb当向量当向量 与与 平行时，平行时， 21aa 2121bbyaaxa对任意的对任意的x,y， 都与都与 或或 平行，平行， 21

11、aa 21bb平平行行与与若若accc 21，则方程组有无穷多解；，则方程组有无穷多解； 不不平平行行与与若若accc 21，则方程组无解。，则方程组无解。已知已知 , ,且且A+2X=B，求，求X。 864297510213A 612379154257B解：解：由由A+2X=B )(21ABX 27112244446421X= 127212111222232=2. 两个同为两个同为m行行n列的矩阵加减运算，列的矩阵加减运算， 是其对应位置的元素相加减。是其对应位置的元素相加减。3. 数与矩阵相乘，是数与其每个元素相乘。数与矩阵相乘，是数与其每个元素相乘。4. 由矩阵的加减法、数乘的定义决定了

12、实数由矩阵的加减法、数乘的定义决定了实数 加减法和乘法的运算律仍适合于矩阵。加减法和乘法的运算律仍适合于矩阵。 两个同阶矩阵对应位置上的元素相同，两个同阶矩阵对应位置上的元素相同， 则说这两个矩阵相等。则说这两个矩阵相等。1、必做题：练习册：、必做题：练习册：P46/2，P48/5(1)，P49/12、思考题：统计你家今年第二季度水、电、煤气使用情况：、思考题：统计你家今年第二季度水、电、煤气使用情况：月份月份用水（用水（m3）排水（排水（m3）电（千瓦时）电（千瓦时）煤气（煤气（m3）4月月5月月6月月单价（元）单价（元）1.030.900.611.05用矩阵运算求：用矩阵运算求：(1)按月计算去第二季度按月计算去第二季度4、