矩阵克莱姆法则

1、2一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念1,1,2, .nijjija xbin 设线性方程组设线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb (1)非齐次线性方程组非齐次线性方程组若常数项不全为零，则称（若常数项不全为零，则称（1）为）为12,nb bb简记为简记为310,1,2, .nijjja xin 则称（则称（2）为）为齐次线性方程组齐次线性方程组 111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x (2)若常数项若常

2、数项 即即120,nbbb 简记为简记为4二元线性方程组二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa(1)(2) 当时该方程组的解为当时该方程组的解为0D 1212,.DDxxDD1 1 1 21 12 2 1 22 12 1 2 2,a aaa aaDa a 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2,a aa a a aDa a 1 1 212 2 1 222 221,ab a abDabb 1 1 21 2 21 2 22 221,ab a a bDabb 1 11 12 12 122 112,aabb aDbba 1 11 1 2 1 2 1 2

3、2 112,aa b b aDbb a 5n元线性方程组元线性方程组11112211211222221122,(1).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 它的解是否也有类似的结论呢？它的解是否也有类似的结论呢？n 方程组方程组( (1) )在什么情况下有解？在什么情况下有解？有解的情况下，如何表示此解？有解的情况下，如何表示此解？6n方程组（方程组（1）的系数可以构成一个）的系数可以构成一个n级行列式级行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa 称为方程组（称为方程组（1）的）的系数行列式系数行列式.7二、二、 法则法则如果线性方程组

4、如果线性方程组（1）的系数行列式的系数行列式则方程组则方程组()有唯一解有唯一解1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa 1212,nnDDDxxxDDD （3） 8其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, )jDjn Dj所得的一个所得的一个 n 阶行列式，即阶行列式，即的元素用方程组（的元素用方程组（1）的常数项代换）的常数项代换 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 1122jjnnjb Ab Ab A 1.nssjsb A 9证明证明:n定理包含三个结论定理包

5、含三个结论: (1) 方程组有解方程组有解 (2) 解是唯一的解是唯一的 (3) 解由公式解由公式(3)给出给出n分两步证明分两步证明: (1)验证验证(3)式是解式是解 (2)解必由解必由(3)式给出式给出10(1) 验证验证(3)式是解式是解. njjijnjjijDaDDDa111, nssjsnjnjjjAbAbAbAbD12211 njnjnssjsijjijAbaDDaD11111因为因为所以所以1,1,2, .nijjija xbin 把把(3)式代入第式代入第i个方程个方程, 左端为左端为11iinsnjssjijnsnjssjijnjnsssjijbDbDbAaDbAaDbA

6、aD 1)(111111111所以所以, (3)式是式是(1)的解的解.iinsnjssjijnsnjssjijnjnsssjijbDbDbAaDbAaDbAaD 1)(111111111iinsnjssjijnsnjssjijnjnsssjijbDbDbAaDbAaDbAaD 1)(111111111iinsnjssjijnsnjssjijnjnsssjijbDbDbAaDbAaDbAaD 1)(111111111 0 Disis 12,n., kDDcDcDDccAacAacAaDAbcaAAAAkkkkknjjikniijnjjikniijnijiknjijkniikijnjijniik

7、nkkk21 ,. )( . ,11111111121 即即左左端端上上式式右右端端即即为为然然后后相相加加得得将将上上述述各各式式依依次次乘乘以以(2) 解必由解必由(3)式给出式给出., 2 , 1,b,)1(),c (11nicacijnjijn 则则的的解解为为方方程程组组设设,n., kDDcDcDDccAacAacAaDAbcaAAAAkkkkknjjikniijnjjikniijnijiknjijkniikijnjijniiknkkk21 ,. )( . ,11111111121 即即左左端端上上式式右右端端即即为为然然后后相相加加得得将将上上述述各各式式依依次次乘乘以以,n.,

8、 kDDcDcDDccAacAacAaDAbcaAAAAkkkkknjjikniijnjjikniijnijiknjijkniikijnjijniiknkkk21 ,. )( . ,11111111121 即即左左端端上上式式右右端端即即为为然然后后相相加加得得将将上上述述各各式式依依次次乘乘以以,n., kDDcDcDDccAacAacAaDAbcaAAAAkkkkknjjikniijnjjikniijnijiknjijkniikijnjijniiknkkk21 ,. )( . ,11111111121 即即左左端端上上式式右右端端即即为为然然后后相相加加得得将将上上述述各各式式依依次次乘乘

9、以以,n., kDDcDcDDccAacAacAaDAbcaAAAAkkkkknjjikniijnjjikniijnijiknjijkniikijnjijniiknkkk21 ,. )( . ,11111111121 即即左左端端上上式式右右端端即即为为然然后后相相加加得得将将上上述述各各式式依依次次乘乘以以,n., kDDcDcDDccAacAacAaDAbcaAAAAkkkkknjjikniijnjjikniijnijiknjijkniikijnjijniiknkkk21 ,. )( . ,11111111121 即即左左端端上上式式右右端端即即为为然然后后相相加加得得将将上上述述各各式式

10、依依次次乘乘以以13例例1：解线性方程组：解线性方程组12341234123412345242235232110 xxxxxxxxxxxxxxxx 解：方程组的系数行列式解：方程组的系数行列式 1111121 41420231531211D 14 方程组有唯一解（方程组有唯一解（1，2，3，1）.14202132132212151114 D426110135232422115113 D284112035122412111512 D142112105132412211151 D15例例2. 求解下列方程组求解下列方程组2111213121122232211231111, ,1, 2,:1,0,2

11、, 3,.nnnnnnnnnijixa xa xaxxa xa xaxxa xa xaxaaij ijnxxin L LL LL L L LL LL LL L其其 中中答答 案案nixxnjijiaaxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxijinnnnnnnnn,3,2,0,1:,2,1,1111132211232222111321211 答答案案其其中中16撇开求解公式撇开求解公式, 法则可叙述为下面的定理法则可叙述为下面的定理则方程组则方程组（1）一定有解，且解是唯一的一定有解，且解是唯一的定理定理1 如果线性方程组如果线性方程组（1）的系数行列式的系数行列式 0,D 推论推论 如果线

12、性方程组如果线性方程组（1）无解或有两个不同解，无解或有两个不同解， 则方程组则方程组的系数行列式必为零的系数行列式必为零D0,D 则方程组则方程组（2）只有零解只有零解定理定理2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组（2）的系数行列式的系数行列式 17111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax （2） 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组（2）的除零解外的解（若还有的话）称为）的除零解外的解（若还有的话）称为非零解非零解注：注：120nxxx 一定是它的解，称之为一定是它的解，称之为零解零解18推论推论 如果齐次线性方程组如果

13、齐次线性方程组（2）有非零解，则有非零解，则 它的系数行列式它的系数行列式 D 注：注：在第三章中还将证明这个条件也是充分的在第三章中还将证明这个条件也是充分的 即即111122121122221122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax 有非零解有非零解 det()0.ija 19例例3：问：问 取何值时，齐次线性方程组取何值时，齐次线性方程组有非零解有非零解? 1231213(5)2202(6)02(4)0 xxxxxxx 解解:522260(5)(2)(8)0204D 若方程组有非零解，则若方程组有非零解，则 当当 时时，方程组有非零解，方程组有非零解2, 5, 8 20p101 20 21221102122221120111221111021 ,:bcacacacbcacacacbcacacacf(x)aaannnnnn