电力系统稳态分析

1、第四章电力系统潮流的计算机算法主要内容提示运用计算机进行电力系统的潮流计算时，一般要通过以下几个步骤：建立数学模型；确定解算方法；制订框图；编制程序；上机运算。本章着重讨论前两步，但也涉及原理框图以加深对计算过程的理解。§ 4-1 电力 网络的数学模型描述电力系统的数学模型有：节点电压方程、回路电流方程、割集电压方程。涉及节点导纳矩阵、节点阻抗矩阵的形成与修改，变压器的非标准变比，多级电压电力网的等值电路。目前运用计算机进行电力系统潮流分布计算，引用节点电压方程的较普遍，这里限于篇幅，也仅讨论节点电压方程及有关问题。一、节点电压方程在电工原理课程中，已导出了运用节点导纳矩阵的节点电压

2、方程IB=YBU B（4-1 ）上式中， I B 是节点注入电流的列向量，可理解为某个节点的电源电流与负荷电流之总和，并规定流入网络的电流为正。 U B 是节点电压的列向量。网络中有接地支路时，节点电压通常指各节点的对地电压，这是因为通常一般是以大地作为参考节点的；网络中没有接地支路时，各节点电压可指各该节点与某一个被选定参考节点之间的电压差。YB 是节点导纳矩阵，它的阶数等于网络的独立节点数。对于一个有n 个独立节点网络， YB 为 nn 阶的方阵， 其对角元素称为自导纳，以 Yii 表示（ i1 、2n ），非对角元素称为互导纳，以 Yji 表示（ j 1 、2n ，i 1 、2n ，i

3、j ）。于是节点电压方程展开为：I 1Y11Y12Y1nU 1I 2U 2Y21Y22Y2nI 3Y31Y32Y3nU 3（4-2 ）I nYn 1Yn2YnnU n对于 n 1 个节点的网络，有 n 个独立节点， 1 个参考节点，可把它看成一个抽象的无源网，如图 4-1 所示。图 4-1 中， n 个独立节点中包括电源节点、负荷节点、中间联络节点等。若把各个节1点引出来，对于电源节点， 注入网络为正电流 （ +I ），对于负荷节点， 注入网络为负电流 （ - I ），对于联络节点，流入的电流等于流出的电流，所以总和电流为零（I =0）。1+ I （电源节点）2 I （负荷节点）iI=0 （联

4、络节点）0n图 4-1 等值无源网络下面以三个节点网络为例，说明YB 各元素的物理意义：对于图 4-2 （ a）所示的网络，若将电源用等值电流源表示，负荷用等值导纳表示，网络参数均以导纳表示，其等值电路如（b）图，节点电压方程的形式为：I 1Y11Y12Y13U 1I 2Y21Y22Y23 U20Y31Y32Y33U31212y12y13y23 I1·y10y20I2·33y30(a)(b)·12U1 =1y12y23（a）简化接线图y103y20（b）等值电路图y（ c）自、互导纳的确定30(c)图 4-2 三节点网络图可见，当网络结构确定后，网络参数是一定的，

5、节点导纳矩阵YB 也是一定的， YB 反2映了网络的结构及性质。设把 1 节点加单位电压U11 ，其它节点 （ 、 节点） 强迫接地， y20、 y30被短路掉，23其等值电路如（ c）图所示。这时的节点电压方程为：I 1Y11Y12Y13U 1I2Y21Y22Y2300Y31Y32Y330于是有： I 1 Y11U 1Y11， I 2Y21U 1Y21，I3 Y31U1 Y31。因此，在物理意义上，Y11 可看成是在1 节点加单位电压源，其它节点（2、3 节点）强迫接地时，经节点 1 注入网络的电流。 Y21可看成是在1 节点加单位电压源，其它节点（2、3 节点）强迫接地时，经节点2 注入网

6、络的电流。Y31可看成是在 1 节点加单位电压源，其它节点（ 2、 3 节点）强迫接地时，经节点3 注入网络的电流。同理，其它元素的物理意义也就不难理解。通过以上讨论，可将YB 的性质归纳如下：自、互导纳的物理意义自导纳 Yii在数值上相当于在节点i 施加单位电压， 而其它节点全部接地时，经节点 i注入网络的电流。因此，它的定义为YiiI i(4-3)U iU j0, ji按如上定义，自导纳Yii 在数值上等于与该节点I直接连接的所有支路导纳的总和。如Y11 y10 y12y13 。互导纳 Yji在数值上相当于在节点i 施加单位电压， 而其它节点全部接地时，经节点 j注入网络的电流。因此，它的

7、定义为YjiIj（4 4）U iU J0, j i按如上定义，互导纳Yji在数值上等于连接节点i 、 j 支路导纳的负值，即Yjiy ji 。如3Y21y21 。节点导纳矩阵YB 为对称方阵。 YB 为 n n 阶时，以主对角线元素Yii 为对称轴，YjiYij ，上三角元素与下三角元素对应相等。节点导纳矩阵 YB 为稀疏矩阵。也就是导纳矩阵中有零元素，所以不为满阵。因为网络中不是所有节点都相连， 有些节点与节点之间无直接联系。那么其对应的互导纳则为零。一般，网络越大，节点数越多，YB 的零元素越多，稀疏性越好。节点导纳矩阵YB 具有对角优势。 YB 的 i 行 j 列内所有元素都有大小区别，

8、但各行对角线上的元素总是大于非对角线上的元素，即Yii Yji （ Yii Yij ）。二、节点导纳矩阵的形成运用计算机进行电力系统计算时，在建立数学模型的过程中，需要首先形成节点导纳矩阵，一般，对多电压级网络要把全网的参数归算到同一电压等级后，才能形成节点导纳矩阵。在实际运行中，有些变压器的变比要发生变化（如调分接头时），这样，由于变比的变化，就需要重新归算那些与该变压器变比有关的参数， 因此导纳矩阵修改的工作量将很大。为减小这个工作量，使导纳矩阵在变比变化时只是局部元素发生变化，解决的办法是引用“理想变压器” 。如图 4-3 （ a）所示，变压器一个变比为k 的变压器，用两个变压器与之相当

9、，一个为额定变比 kN 的变压器，一个为理想变比k 的变压器，即理想变压器，如图（b）所示。变比之间的关系为：k(4 5)k kN kNkN kU其中k实际变比；UU NkN额定变比（标准变比）；U Nk k U U N 理想变比（非标准变比） 。 kN U U N所谓理想变压器是指以理想铁磁材料制作的具有理想磁化特性的变压器。它没有损耗，没有漏磁，不需激磁电流，仅对电压、电流起变换作用，因此变压器上的损耗全部归于额4定变比的变压器承担。经引用理想变压器后，若将段的参数Z 、 Y 归算至段，则需经两个变压器的变比折算，即在额定变比kN 下折算一次，再经理想变比k 折算一次。这也相当于一次性把Z

10、 、Y 按实际变比 k 折算至次侧，懂得了这个道理，就可以绘制（c）图。（ c）图中略去了变压器的励磁支路，Z、 Y是按额定变比 kN 折算至次侧的值。由于（c）图中 1 2段内有理想变压器存在，也就是在等值电路中仍有磁的联系，为把磁的联系转换成电的联系的等值电路，这里处理的方法是：Z 、 Y 不需再经理想变比k 的折算，当变比 k 变化时，看作 kN 不变， k 变，让 k与变压器的阻抗ZT 去中合。于是，就可把（c）图中 1 2段等效成（ d）图所示的 型等值电路，然而整个等值电路均为电的联系。1：k(a) 原始多电压级网络(a)1： kN1：k*(b)(b) 引入理想变压器时1ZT1：k

11、*2ZZ1YYYY2222(c) 接入理想变压器后(c)1y122y10y20(d) 变压器以导纳表示时(d)图 4-3 具有理想变压器的等值网络图 4-3（ d）中 1 2 段 型等值电路的等值参数y12 、 y10 、 y20 可由两端口网络的等效条件求得：由图 4-3（ c）有U1 I1U2ZT(A)k5理想变压器原边输入的功率S1 和副边输出的S2 分别为：S1IU2S2I2 U21k由于理想变压器无损耗，所以让S1S2 ，若不考虑变压器之间相位关系，因而有I 1I 2k(B)联立 (A) 、 (B) 两式，解得I 1U 1U 2ZTZT kI 2U 1U 22ZT kZT k与下列节

12、点电压方程比较I 1Y11U1Y12U2I 2Y21U1Y22U2于是可得y121yTZT kky10k11k1（46）kZTkyTy201k11 kyTk2Z Tk 2由此可见，采用理想变压器的好处在于不论变压器的变比怎样变化，次侧按额定变比折算到次侧的参数k 在Z 、 Y 不用再变。当变压器变比变化时，只看成是理想变比变化，与 k 有关的参数（y12 、 y10、 y20 ）在变化。也即导纳矩阵的局部元素发生变化。这样就大大减小了修改导纳矩阵的计算工作量。2、用直接形成法形成节点导纳矩阵YB根据自、互导纳的定义直接求取节点导纳矩阵的方法称为节点导纳矩阵的直接形成法，直接形成法应遵循的原则如

13、下：6节点导纳矩阵是方阵，其阶数等于网络中除参考节点外的所有节点数。节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非对角元非零元素的个数等于与该行相对应节点所连接的不接地的支路数。节点导纳矩阵的对角元Yii 等于各该节点所连接的支路导纳之总和。节点导纳矩阵的非对角元Yij 等于连接节点 i 、 j 支路导纳的负值。节点导纳矩阵是对称阵，以对角元为轴，上三角元和下三有元对应相等，因此，一般只求上三角或下三角的元素。网络中的变压器，可采用“理想变压器”，用 型等值电路代替。按上述直接形成法，可对前面三个节点的网络图4 2 直接形成 3× 3 阶的节点导纳矩阵。y12y13y10y12y13YB=y12y

14、12y23y20y23y13y23y13 y23 y30三、节点导纳矩阵的修改节点导纳矩阵是关于网络参数对节点电压和节点电流的导纳特性的描述，它取决于构成网络中各支路的电气参数和它们最终的连接方式。在电力网运行中，网络结构改变时，网络参数就改变，因此节点导纳矩阵就要随之而变。例如，网络中某电力线路、变压器的投入或切除，该支路的参数要发生变化，但由于改变一个支路的参数，只影响该支路两端节点自导纳和两节点之间的互导纳，因此可不必重新形成与新的运行状况相对应的节点导纳矩阵，只需将原有的矩阵作一下修改。几种典型的修改方法如下：从原有网络引出一支路，同时增加一节点，如图4-4（ a）。设 i 为原有网络

15、中的节点，j 为新增加的节点，新增加支路导纳为yij 。则因新增一节点，节点导纳矩阵将增加一阶。新增的对角元Yjj ， Yjjy ij ；新增的非对角元 Yij ， Yij Yjiyij ；原有矩阵中的对角元 Yii 将增加 Yii， Yiiyij 。在原有网络的节点i、 j 之间增加一支路，如图4-4（ b）。这时由于仅增加支路不增加节点，节点导纳矩阵阶数不变，但与节点 i 、 j 有关的元素应作一下修改，其增量为：YiiYjj yij ， YijYjiyij在原有网络的节点i， j 之间切除一支路，如图4-4（ c）。切除一导纳为yij 的支路，相当于增加一导纳为yij 的支路，从而与节点

16、 i 、 j 有关的7元素应作如下修改：Yiiyij ，Yjjyij ， YijYjiyij原有网络的节点i 、 j 之间的导纳由 yij 改变为 yij如图 4-4（ d）。这种情况相当于切除一导纳为yij 的支路，并增加一导纳为yij 的新支路。从而与节点 i 、j 有关的元素应作如下修改：Yiiyijyij ， Yjj yijyij ， YijYjiyijy ijijiiiyijyij-yij-yijyijjjj(a)(b)(c)(d)图 4-4 电力网络接线变更示意图原有网络节点i 、 j 之间变压器的变比由k 改变为 k如图 4-5（ a）所示。k*11k*yTk *yTiik*k*

17、-k*k*k*yTyTk*1 k*k*y T1k*2*2yTkjjk*(a)(b)图 4-5 修正变压器变比时 型等值电路(a)示意图； (b)等值电路这种情况相当于在i 、 j 节点之间并联一个变比为k 的变压器， 再并联一个变比为 k的变压器，即相当于修改变压器。修改前，i 、 j 节点之间的自导纳和互导纳为yTk 1yT yTYjjyT1 kyTYijyTYiikkk 2yTy ijkk 2k修改后，引用“理想变压器”的 型等值电路，变压器变比由k改变为 k 时，原网中8与节点 i 、 j 有关的元素应作如下修改：Yii 0 ， Yjj11yT ，YijYji11k2k2kyTk

18、7; 4-2 电力系统潮流分布的计算方法这里潮流分布的计算方法包括高斯塞德尔法、牛顿拉夫逊法和 P Q 分解法。描述电力系统的数学模型是非线性的，解非线性方程最有效的方法是牛顿拉夫逊法或由它派生出来的PQ 分解法。但用牛顿拉夫逊法解题时，其初始值要求严格，否则不收敛。因此通常人们把牛顿拉夫逊法和高斯塞德尔法结合起来使用，即先用高斯塞德尔法进行几次迭代，迭代后的值作为牛拉拉夫逊法的初始值。一、功率方程和高斯塞德尔法潮流计算功率方程描述电力系统的数学模型可由节点电压方程得到：YBU BI BSBS·S·G1G2U B其展开式为S··L1SL2nYijU jP

19、ijQi 或U·(a)·y12j1U i1U2··S··S·G1SL1=S·1y10SG2 L2=S2y20PijQiU iY ij U j（4 7）如图 4-6 所示的两节点系统有(b)图 4-6两节点系统（a）系统图（b）等值电路SU Y11UU Y12U11112S2U2Y22U2U2Y21U1称此式为两母线系统的功率方程，又叫潮流方程。式（ 4 7）通常称为功率方程，而且随节点电压相量表示形式的不同，可以得到不同形式的功率方程。若节点电压以直角坐标表示，U ieijf i ，且导纳 YijGijjB ij

20、，代入式（ 4 7）功率方程，并将功率的实部和虚部分开，即有nnPieiGij ejBijf jfiGijf jBij ejj1j1（ 48）nnQifiGij ejBijf jeiGijf jBij ejj1j19若节点电压以极坐标表示，U iU i ej i ，且导纳 YijGijjBij ，代入式（ 4 7）功率方程，并将功率的实部和虚部分开，即有nPiU iU j Gij cosijBij sinijj 1（ 49）nQiU iU j Gij sinijBij cosijj1由上可知，如果把功率方程分为有功功率方程和无功功率方程，则每个节点有两个功率方程，其中有 4 个变量，包括节点注

21、入有功、无功功率及节点电压的值和相位角。如节点 i的变量为 Pi 、 Qi、 U i 、 i 。实际电力系统的等值电路中节点数较多，对于有n 个节点网络，其潮流方程有2n 个，变量数为4n 个。根据电力系统的实际运行情况，一般每个节点 4 个变量中总有两个已知、两个未知。按各个节点所已知变量的不同，把节点分为三类，即 PQ 节点、 PV 节点和平衡节点（s 节点）。PQ 节点已知节点注入有功功率Pi、无功功率 Qi；未知节点电压的值 U i和相位角 i 。PV 节点已知节点注入有功功率Pi和电压值 U i ；末知节点注入无功功率Qi 和电压相位角i 。平衡节点已知节点电压的值Us 和相位角 s

22、；未知节点注入功率 Ps、 Qs。设有 n 个 (n=1 、2、 m1、 m 、 m1 、 n )节点的网络， 其中有 m1 个 PQ节点， 1 个平衡节点，n - m 个 PV 节点。一般网络中， PQ 节点占大部分，平衡节点1 个， PV 节点占少部分（或有或无） 。建立复杂电力系统的数学模型，不仅根据确定解算方法的不同有所不同，而且还可根据网络中节点类型的不同而不同。高斯塞德尔法潮流计算nPi jQ i由结点电压方程：Yii U iYij U jI ij1U ij11Pi jQinYij U j（ 4 10）解得： U iYiiU ij1j1用高斯塞德尔法进行潮流计算就是反复利用式（4

23、10），迭代求出各节点的电压，然后再计算各节点的功率以及各支路上的功率。高斯塞德尔法潮流计算的步骤：10对 PQ 节点有：1)设 1 节点为平衡节点，U 10U 1002)设其它各节点电压初值U 20 、 U30U n00、n 和 U 103)据这些初始电压Ui以及 PiQi 将式（ 4 10）展开迭代求各节i 2 3点电压。展开的一般式为k 11P2jQ 2( 0 )kkkY21U1Y23 UU 2Y22k3Y24U4Y2 n U nU 2k 11P3jQ 3( 0 )k 1kkY31U1U 3Y23kY32U2Y34U4Y3n U nU 3UUk 11 P4 jQ 4( 0 )k 1k 1

24、k4Y41U1 Y42U 2Y43U3Y4n U nY44kU 4k 11 Pn jQ n(0 )k 1k 1k 1nYn1 U 1 Yn 2 U 2Yn 3 U 3Yn( n 1) U n 1YnnkU n（ 4 11）反复利用（ 411）式，求出各点电压。对 PV 节点有：设第 p 个节点为 PV 节点，利用下式求p节点无功：0QpkI m U pk Ypp U pkU pk Yp1 U 1 Yp 2 U 2k 1Yp3 U 3 k 1（ 4 12）Yp4 U 4 k 1Ypn U nk求得 Q pk 后，再将其代入下式k 11Ppk0jQ pYp2 U 2k 1Uk 1Yp 4 Uk 1

25、kU pYp1 U1Yp334Ypn U nYppUkp（ 413）k1k 1k1k 1U pk1将 U pU pp修正为 U pp11当迭代收敛后，可计算平衡结点的功率iyijjnS1U 1Y 1 j U jP1jQ 1（ 4 14）··j1Sijyyj0Sjii0进而求出各线路上的流动功率和功率损耗图 4-7如图 4-7中：线路上流通的功率SijU i I ijU iU i y i 0U iU j y ijPijjQ ijS jiU j I jiU jU jy j 0U jU iy jiPjijQ ji（ 4 15）S jiSijS jiPijjQij【例 4 1】 有

26、一电力系统接线图如图例4-1 所示。等值电路的阻抗和对地导纳标么值均标于图中。已知：节点为PQ节点，各节点注入功率为S11.6 j 0.8 、S 22j1 、 S 33.7j 1.3 ；节点为PV节点，其注入有功功率 P45 ；电压幅值U 41.05 ；节点为平衡节点， 电压 U 51.050，试用高斯塞德尔法求出第一次迭代后的各节点电压的幅值与相位角。41.0520.08+j0.3035111.05j0.015j0.25j0.25j0.03P4=5U 5=1.05U4=1.052+j10.04+j0.25 5=0°3.7+j1.3j0.250.1+j0.35j0.2511.6+j0

27、.8例4-1图解形成节点导纳矩阵Y11y10y12 y13 j 0.25111.3787 j6.29160.1 j 0.350.04 j 0.25Y12Y21y1210.6240j3.9001j 0.250.04Y13Y31y1310.7547j2.6415j0.350.112Y22y20y12y23y24k 242j 0.25j 0.2511110.04j 0.25 0.08j 0.30j0.0151.0521.4539j 66.9808Y23Y32y 2310.8298j 3.11200.08j 0.30Y24Y42y 2311k 24j 0.015j 63.46201.05导纳矩阵：1.

28、37870.62400.7547j 6.2916j3.9001j2.64150.62401.45390.82980.0000j3.9001j66.9808j3.1120j 63.4920Y0.75470.82981.58450.0000j 2.6415j3.1120j 35.7378j31.74600.00000.0000j63.4920j 66.66660.00000.0000j 31.7460j33.333求第一次迭代后的各节点电压0000设电压初值为U11.0 0、 U 21.0 0、 U 31.0 0 、U41.05 0 、0U5 1.05 011P1jQ10000U 1Y12U 2Y

29、13U3Y14U4Y15U5Y110U111.6 j 0.80.62j3.900.755.7487.701.37j 6.29j 2.6477.716.430.89165.410.8914.591311P2jQ1000U 22Y21U 1Y23U3Y24U4Y25U5Y220U 212j10.62j3.900.8914.590.82j 3.311.45j 66.990.00j 63.491.0511.51j 72.4572.4688.866.9988.7588.8566.991.082.4511P3jQ1100U 33Y31U1Y32U2Y13U4Y35U5Y330U 313.7j1.30.75

30、j 2.640.8914.590.82j 3.111.58j 35.731.082.450.00j 31.741.0512.91j 37.8235.7687.4637.9385.61.06173.061.066.9435.7687.46取 Q401.2 ，计算 PV结点电压11P4jQ( 0 )1110U 44Y41U 1Y42U 2Y43U 3Y45U 5Y440U415j1.20.00j 63.491.082.450.00j66.661.0514.67j1.142.93j 68.4969.6588.491.0441.5166.669066.6690取 U 41.051.51，以U411.05 1.51 计算 PV结点无功功率（调节无功功率）4Q41(1)1(1 )1110I m U 4 Y44 U 4U 4Y41U 1Y42U 2 Y43U 3Y45U 5I m 1.051.5166.66991.051.511.051.5163.49 901.082.45I m 73.4990 71.9986.04I m 4.97j1.68j1.68二、牛顿拉夫逊法潮流计算14在直角坐标系下，描述电力系统的方程为：PiPineiGij ejBij f jf i Gij f jBij ejj 1416nQiQij1f i Gi