113四种命题间的相互关系

1、1.1.3 四种命题间的相互关系【教学目标教学目标】 知识与技能：知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假 过程与方法：过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力 情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力【重点与难点重点与难点】 重点：重点：四种命题之间的相互关系 难点：难点：分析四种命题之间相互的

2、关系并判断命题的真假 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。否命题，并判断它们的真假。（1）若）若qb，则，则ac2bc2 否命题：否命题： 逆命题：逆命题：逆否命题：逆否命题：若若ac2bc2，则，则ab若若a b，则，则ac2bc2若若ac2bc2，则，则ab假假假假真真真真（2）原命题：原命题： 若若x=1或或x=2，则，则x2-3x+2=0 否命题：否命题： 逆命题：逆命题：逆否命题：逆否命题：若若x2-3x+2=0，则，则x=1或或x=2.若若x2-3x+2 0，则，则x 1且且x 2.若若x 1且且x 2 则则 x2-3x

3、+2 0真真真真真真真真（3）原命题：若）原命题：若x2y20，则，则x=y=0逆命题：逆命题：否命题：否命题：逆否命题：逆否命题：若若x=y =0，则，则 x2y2 0若若x2y20，则，则x 0 或y0若若x 0 或y 0，则，则x2y2 0真真真真真真真真原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假(1)(1)两个命题两个命题互为逆否命题，则它们有相同真假性。互为逆否命题，则它们有相同真假性。(2)(2)两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题, ,它们的真假它们的真假性没有关系性没有关系. .结论二

4、：结论二： 四种命题的真假性四种命题的真假性例例1：分析：分析： 如果直接证明这个命题比较困难，可考虑如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明转化为对它的逆否命题的证明. 即证明即证明证明：若证明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x=y=0.x=y=0.“若若x 0 或y 0，则，则x2y2 0”证明：证明：若若x x，y y中至少有一个不为中至少有一个不为0 0， 不妨设不妨设x0 x0，则，则x x2 20 0， 所以所以x x2 2+y+y2 2 0 0， 即有即有 x x2 2+y+y2 2 0.0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，因此，原命题的逆否

5、命题为真命题， 从而原命题为真命题从而原命题为真命题证明：若证明：若p2 q2 2，则，则p q 2 证明：证明：若若pq 2，则，则 p2q2 （p q）2（p q）2 （p q）2 所以所以p2 q22 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题原命题为真命题.12212121 在数学的证明中，我们会常常用到一种方法在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 反证法反证法. 通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论此处是命题的否定，要区别于否命题此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般

6、步骤：反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发）从这个假设出发 , 经过推理论证经过推理论证 , 得出矛盾得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确反设反设归谬归谬结论结论例例2： 若若a2能被能被2整除，整除，a是整数，是整数， 求证：求证：a也能被也能被2整除整除. 证明：证明：假设假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数， 故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数), 由此得由此得a2=(2m+1)2=4m2+

7、4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数， 这与题中的已知条件（这与题中的已知条件（a2能被能被2整除）相矛盾整除）相矛盾 a能被能被2整除整除.练习练习1. (2008山东文山东文)给出命题：若函数是幂函数，给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限在它的逆命题、否则函数的图象不过第四象限在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）A3B2C1D0C 解析：解析：原命题是真命题，则逆否命题也是真命题；原命题是真命题，则逆否命题也是真命题；否命题是假命题，则逆命题也是假命题否命题是假命题，则逆命题也

8、是假命题.2. （2001江西、山西、天津文、理）江西、山西、天津文、理）在空间中，在空间中， 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线 若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线 以上两个命题中，逆命题为真命题的是以上两个命题中，逆命题为真命题的是 （把符合（把符合要求的命题序号都填上）要求的命题序号都填上） 3. 设原命题：若设原命题：若a+b 2，则，则 中至少有一个不小于，中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题的真假情况是（则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）A原命题真，逆命题假原命题真，逆命题假 B原命

9、题假，逆命题真原命题假，逆命题真C原命题与逆命题均为真命题原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题原命题与逆命题均为假命题A4. 命题命题“若若ab则则acbc”(这里这里a、b、c都是实数都是实数)与它与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A4 B3 C2 D0D 5. 命题命题“已知已知a，b为实数，若为实数，若x2axb0有非空解有非空解集，则集，则a24b0”写出该命题的逆命题，否命题，逆写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假否命题，并判断真假 6. 设设0a,b,c ， （1-b）c ,（1-c）a

10、而而 得得 即即 ，属于自相矛盾，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立所以假设不成立，原命题成立.1414141-a+b1 1-b+c1(1-a)b ,(1-b)c ,22221-c+a1(1-c)a ,221-a+b 1-b+c 1-c+a 3+2222332241 7. 求证：若一个三角形的两条边不相等，求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等则这两条边所对的角也不相等.证明：证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形，则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰，且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等也就是说两条边相等. . 这就证明了原命题的逆否命题是真命题这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题所以原命题也是真命题. .习题解答习题解答1. 证明：若证明：若a-b=1,则则 a2-b2+2a-4b-3 =(a+b)(a-b)+2(a-b)-2b-3 =a-b-1 =0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原 命题也是真命题命题也是真命题.课堂小结课堂小结1. 四种命题的相互关