第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数

1、Copyright 2006 NJUFE第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数例1 设A是一个事件，令.A 1A0发生；若，不发生，若A从而A=( =1)，P(A)=P( =1)AA例2 产品寿命测试： 设 表示产品寿命，则 是个变量，随不同的寿命取不同的值： . 0定义2.1 设是随机试验E的样本空间，若对每个有一个实数 和它对应，就得到一个定义在上的单值实函数 ，我们称 为随机变量，记为 。，)()()(一、随机变量的概念Copyright 2006 NJUFE随机变量与实函数比较：随机变量 ：定义域 ，实函数 ：定义域 ；，)(f).( )(xfxDxD，两者区别：试验之前

2、只知道随机变量的取值范围而不能预知随机变量具体取什么值；1. 2. 随机变量的定义域-样本空间一般不是数域。随机变量一般用 或大写字母X，Y，表示。，注意：对任一实数x，( )都是事件。xCopyright 2006 NJUFE二、随机变量的分布函数及其基本性质定义2.2 (教材 p 47) 设 是随机变量， 是任意实数，称函数为 的分布函数。xxxPxF )()(， 对于任意两实数 有，2121 xxxx)()()()()(121221xFxFxPxPxxP分布函数的基本性质：F(x)是一个不减的函数；01. 3. F(x)是右连续的，即 F(x+0)=F(x)。；，且，1)(lim) 0)

3、(lim 1)(xFF(xF)F(-xFxx可以证明：若F(x)满足以上性质，则必是某随机变量的分布函数。Copyright 2006 NJUFE随机变量落在几种常见区间的概率计算公式：P( x)=1-F(x)；1. 3. P( x)=1-F(x-0)。第二节 离散型随机变量一、离散型随机变量及其分布定义2.3 (教材 p 39) 设 为一随机变量，若 的所有可能取值为有限个或可列个，则称 为离散型随机变量。 设 为离散型随机变量，其可能取值为 ，称为 的分布律(概率分布)。kx，21 )(kxPpkkCopyright 2006 NJUFE离散型随机变量的分布列 p 21nxxx 21npp

4、p离散型随机变量的分布函数：xxkxxkkkpxPxPxF)()()(其分布函数为一阶梯函数.离散型随机变量的基本性质： (教材 p 40) 0，k=1，2，1. 2. =1 .kpkkpCopyright 2006 NJUFE例1 设随机变量 的分布列为1/4 1/4 1/4p-1 2 3 求 的分布函数，并计算P( )，P( )，P( )。3/12/53/432二、几种常见的离散型随机变量及其分布1、0-1分布(贝努利分布、两点分布) (教材p.41)若随机变量 只取0，1两个值，其概率分布为P( =1)=p，P( =0)=1-p，(0pn/(n+1)，则P( =k)单调增加，在k=n处达

5、到最大；2) 若 p n/(n+1)，当m=(n+1)p为整数时，在k=m和k=m-1处同时达到最大；若(n+1)p不为整数，则在k=(n+1)p处达到最大。问题：设 B(n，p)，当k为何值时，P( =k)达到最大？Copyright 2006 NJUFE3. 超几何分布 若离散型随机变量 的分布律为其中 NM，n N-M， s=minM，n，则称 服从超几何分布。skCCCkPnNknMNkM，21/)(定理2.2 在超几何分布中，设n固定不变，M依赖于N的变化，且极限 存在 ，则有NMpN/limknkknnNknMNkMNppCCCC)1 (/limCopyright 2006 NJU

6、FE4. 泊松(Poisson)分布例A. 苏果超市在南京的商业网点布局例B. 电话总机在一分钟收到的电话呼叫次数例C. 银行在每段时间间隔到达的顾客数定义2.5 (教材 p46)若离散型随机变量 的分布律为则称 服从参数为 的泊松(Poisson)分布，记为)(0 210/)(，！，kkekPk例3. 公交公司为合理调度车辆，要了解一段时间内在某车站候车的乘客数。经市场调查，发现某车站平均每半分钟有一名乘客到达。现求：在任意5分钟内有不多于5名乘客的概率；1) 2) 多于10名乘客的概率。Copyright 2006 NJUFE定理2.3 (Poisson定理) 设随机变量 ，其中 与试验次

7、数n有关。若 ，则 )(nnpnB，npnnnplim!)1 (lim)(limkeppCkPkknnknknnnn说明：一般，设 B(n，p)，当 时，就可使用近似公式05. 020pn，!)()1 ()(kenpppCkPnpkknkkn当 时近似公式近似效果更佳。10100npn，例4 某电脑公司要为其售出产品配备售后服务人员。 设售出80台电脑，每台电脑发生故障的概率为0.01，且故障能由一人排除。公司现欲在两种方案中进行选择：第一种方案是由4人维护，每人负责20台；第二种方案是由3人共同维护80台。 试比较这两种方案在电脑发生故障时不能及时维修的概率。Copyright 2006 N

8、JUFE5. 几何分布定义2.6( 若离散型随机变量 的分布律为则称 服从参数为p的几何分布。10 21)1 ()(1pkppkPk，第三节、连续型随机变量一、连续型随机变量的概念定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 的分布函数，若存在非负的函数f(x)，使对一切实数x，都有则称 为连续型随机变量，称f(x)为 的概率密度函数(概率密度、密度函数)。xdttfxF)()(Copyright 2006 NJUFE概率密度函数的性质：。处连续，则在若；)()( .4)()()()( .31)( .20)( .1000 xfxFxf(x)dxxfaFbFbaPdxxfxfba连续型随机变

9、量与离散型随机变量的区别：连续型随机变量没有分布律；1) 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即。，)(0)(00 xxPCopyright 2006 NJUFE结论： 设f(x)是非负函数，且满足关系式则f(x)必是某随机变量 的概率密度函数， 的分布函数为，1)( xfxdttfxF.)()(例1 已知随机变量 的概率密度函数为求：1) 系数A；2) 3) 的分布函数F(x).；) 10(PxAexfx )(，Copyright 2006 NJUFE二、几种常见的连续型随机变量及其分布1. 均匀分布定义2.8 (教材 54) 若连续型随机变量 的密度函数为则称 在区间(a，b)上服从均

10、匀分布。其它，0)/(1)(bxaabxf 的分布函数为.1)/()(0 )(bxbxaabaxaxxF，；，；，Copyright 2006 NJUFE例2 设k在(0，5)服从均匀分布。求方程有实根的概率。02442kkxx2. 正态分布若连续型随机变量 的密度函数为其中 ，则称 服从参数为 的正态分布(或称为正态变量)，记为 。0，)(2，Nxexfx 21)(222)(，dtexFtx222)(21)(的分布函数为Copyright 2006 NJUFE正态分布密度函数的性质1. f(x)的函数曲线关于x=对称，仅改变，不改变，图形不改变形状，仅平移位置，故又称为位置参数。2. X=时

11、， 为f(x)的最大值。当越小，图形越尖，落在附近的概率越大。 )2/(1)(f3. f(x)的函数曲线在x=处有拐点，曲线以OX轴为渐进线。4. f(x)处处大于零，且有各阶连续的导函数。 当=0，=1时，称服从标准正态分布，其密度函数记为(x)，分布函数记为(x)。dttxxexxx)()( 21)(22，Copyright 2006 NJUFE标准正态分布的性质：1. (-x)=(x)；2. (-x)=1-(x)。若 ，设F(x)为的分布函数，则有)(2，N).()(xxF定理2.4 若 。，则，) 10()(2NNCopyright 2006 NJUFE. 1)()()()()(2)(

12、)(1)()()()()()(1221cccPcccPccPxxxxPaaP；正态分布的概率计算公式：设，)(2NCopyright 2006 NJUFE例3. 设某产品的寿命(以小时计) 若要求P(1200.8，允许最大为多少? 。，)160(2N3准则：(教材 p80 例6)设 ，则几乎落入区间(-3， +3)内。)(2，N3. 指数分布定义2.10 (教材p55) 若连续型随机变量 的密度函数为则称服从参数为的指数分布。. 000)(xxexfxCopyright 2006 NJUFE其分布函数为. 0, 0; 0,1)(xxexFx指数分布的无后效性(无记忆性):设服从参数为的指数分布

13、，对任何s0, t0，有).()(tPstsP4. -分布定义2.11 若连续型随机变量 的密度函数为则称服从参数为，的-分布，记为(，)。.0, 0;0),(/)(1xxexxfxCopyright 2006 NJUFE-函数的常用公式1. ()=(-1) (-1)；2. (1)=1；3. (1/2)= . 特别，当=1， (1，)是参数为的指数分布。例4. 某产品的寿命(以小时计) 具有以下的概率密度：现从一大批该产品中任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率有多大？.100001000/1000)(2xxxxf，；，Copyright 2006 NJUFE第五节 随机变量函数

14、的分布1. 离散型随机变量函数的分布 设是离散型随机变量，其分布律为p 2121nnpppxxx 又设y=g(x)是连续函数，则=g()也是离散型随机变量，其分布律为p )( ) )(2121nnpppxg g(xxg说明：若有 则将其概率合并为 ，只写一个。，)()(jixgxgjipp Copyright 2006 NJUFE2. 连续型随机变量函数的分布例1(教材p65) 设).( 0)(222abaNabaN，则，定理2.3 设连续型随机变量的密度函数为y=g(x)有反函数x=h(y)，则= g()也是连续型随机变量，其密度函数为 其中：=ming(a)，g(b)，=maxg(a)，g

15、(b).，)()(baxxf.0)()()(其它，；，yyhyhfyf例2 设N(0，1)，求 的分布。2Copyright 2006 NJUFE例3 (2003年数学三、四考研试题十一题) 设随机变量X的概率密度为F(x)是X的分布函数，求Y= F(X)的分布函数。.081 )3/(1)(32其它，；，若，xxxfCopyright 2006 NJUFE定义1.3 (教材p19) 设A、B为随机试验E的两个事件，且P(A)0，称为事件A发生条件下事件B的条件概率。)()()(APABPABP条件概率的性质：对于每一事件，有 ；P(A)=1；设 ，i=1，2，是两两互不相容的事件，则1. ；

16、0)(ABP)()(11ABPABPiiiiiBCopyright 2006 NJUFE4. 对于任一事件B， ；1)(ABP5. 对于任意两事件 有，21BB)()()()(212121ABBPABPABPABBP6. 对于任一事件B，有)(1)(ABPABP例2. 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道一年中雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时落雨占12%。问：甲、乙两市落雨之间有无联系？解：设A，B分别记甲、乙两市落雨的事件，则已知 P(A)=0.2，P(B)=0.18，P(AB)=0.12。欲求：)( )(ABPBAP和Copyright 2006 NJUFE

17、)()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn推广：设 为n个事件， 若 则有niAi，21，2n，0)(121nAAAPP(AB)=P(BA)P(A)，P(A)0；P(AB)=P(AB)P(B)，P(B)0。二、乘法公式由条件概率计算公式：6 . 02 . 012. 0)()()(67. 018. 012. 0)()()(APABPABPBPABPBAP，结论：甲、乙两市落雨之间存在联系。Copyright 2006 NJUFE例3. 对某市场调查的数据进行检验，设第一次检验发现错误的概率为0.3，若第一次检验未发现错误，第二次检验发现错误的概率

18、为0.4，若前两次检验未发现错误，第三次检验发现错误的概率为0.5。试求三次检验均未发现错误的概率。三、全概率公式与Bayes公式 例4 设有5个盒子，其中： 第一类有2个盒子，每盒中有2只白球，1只黑球； 第二类有1个盒子，盒中有10只黑球； 第三类有2个盒子，每盒中有3只白球，1只黑球。 今任取一个盒子，并从中任取一球。 问：取得白球的概率有多大？Copyright 2006 NJUFE设 =选出第i类盒子并取出一球，i=1，2，3， B=取出白球，则 B=选出第i类盒子并取出白球，i=1，2，3。iAiA定义1.4(教材p 22) 设是随机试验的样本空间， 为一组事件，若成立以下关系：1

19、) 2) 则称 为样本空间的一个划分(分划)。nBBB，21；，jiBBji 。niiB1nBBB，21Copyright 2006 NJUFE定理1.1(全概率公式) (教材 p23) 设是随机试验的样本空间，A是事件， 是的一个划分，且 i=1，2，n。则有niBi，21，0)(iBP。)()()(1iniiBPBAPAP解释： 假定事件A可在有限个互相排斥的情况下发生，则A发生的“全概率”等于各种情况发生的概率与在各种情况下A发生的条件概率乘积之和。例5 有两箱同类产品，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中不放回地抽取两次

20、，每次抽取一只。试求：在第一次抽到一等品的条件下，第二次抽到一等品的概率。设 =挑出第i箱，i=1,2； =第i次抽到一等品，i=1,2。iBiA欲求：)(12AAPCopyright 2006 NJUFE定理1.2(Bayes公式) (教材 p23)设 是样本空间的一个划分，且 P(A)0， 则 ， i=1，n. niBi，1njjjiiiBPBAPBPBAPABP1)()()()()(，0)(iBP设 是样本空间的一个划分，若已知 P(A)0，那么 niBi，1niABPi，1?)(，0)(iBP先验概率：后验概率：niABPniBPii，1)(1)(第六节、独立性强调：本节是研究生入学考

21、试重要内容之一！Copyright 2006 NJUFE一、相互独立的随机事件问题：若袋中有a只黑球，b只白球，采取有放回抽球，设A=第一次抽到黑球，B=第二次抽到黑球。则 P(B)=? ， P(BA)=?定义1.5(教材 p26) 设A、B是随机试验E的两个事件，若有关系 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立(统计独立)。性质1 设A、B是两个事件，且P(A)P(B)0，则A与B相互独立的充要条件是：P(BA)=P(B)，P(AB)=P(A)。性质2 (教材 p27) 若事件A与B相互独立，则事件A与 ， 与B， 与 均相互独立。BAABCopyright 2006 NJUF

22、E定义1.6 (教材 p27) 设A、B、C为三个事件，若有 P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P( C)，P(BC)=P(B)P( C)，则称A、B、C两两相互独立。 若A、B、C两两相互独立，且满足 P(ABC)=P(A)P(B)P( C)，则称A、B、C相互独立。注：1. A、B、C两两相互独立未必满足P(ABC)=P(A)P(B)P( C)； 2.事件独立性定义可推广到任意有限个事件； 3. 若事件 相互独立，则有niAi，1niiniiAPAP11)(1)(Copyright 2006 NJUFE思考题1(2003年研究生入学考试数学三试题)： 将一枚硬币独立地掷两次

23、，引进事件： =掷第一次出现正面， = 掷第二次出现正面， =正、反面各出现一次， =正面出现两次。则事件( )。 相互独立 (B) 相互独立(A)(C) 两两独立 (D) 两两独立 1A2A3A4A321AAA，321AAA，432AAA，432AAA，例6 设一个工件加工要经过三道工序，第一道工序加工合格的概率为0.95，第二道工序加工合格的概率为0.8，第三道工序加工合格的概率为0.9，若有一道工序加工不合格，工件即为废品。问：该工件加工后是废品的概率多大？Copyright 2006 NJUFE十一十一.(.(本题满分本题满分8 8分分) ) 设A A,B B是任意二事件,其中A A的

24、概率不等于0和1,证明, 是事件A A与B B独立的充分必要条件.)|()|(ABPABP例7(2002年研究生入学考试数学四试题)：思考题2 (2003年研究生入学考试数学四试题)： 对于任意二事件A和B，若AB，则A，B一定独立。(B)若AB，则A，B有可能独立。(C )若AB= =，则A，B一定独立。(A)(D)若AB= =，则A，B一定不独立。Copyright 2006 NJUFE二、独立试验概型n次独立试验概型： 将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验各结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，亦即：在第i次试验中任取一事件 都有 则称这n次试验是相互独立的，

25、其数学模型称为n次独立试验概型。，niAi1，)()()()(2121nnAPAPAPAAAP贝努利(Bernoulli)概型 若试验E只有两个可能的结果A及 ，P(A)=p，P( )=1-p，(0p1)。将E重复独立地进行n次，称为n重贝努利试验，其数学模型称为n重贝努利概型。AACopyright 2006 NJUFE结论：在大量重复独立试验中，“小概率事件”必然发生。证明. 用 表示事件“A在第n次试验中发生”， P( )=P(A)=，n=1，2，nAnA 因试验是独立的， 相互独立。A在前n次试验中都不发生的概率为nAAA，21nnnAPAPAPAAAP)1 ()()()()(2121

26、于是，A在前n次试验中至少发生一次的概率为。1)1 (1)(121 nnnAAAP补充例题：从一大批产品中抽出若干件进行检验，发现里面有12件次品。将这12件次品做上暗号，混入其它产品中，再抽出若干件进行检验，发现里面有10件次品，其中做上暗号的有1件，试估计这批产品中总共有多少件次品？Copyright 2006 NJUFE学习概率论与数理统计的意义1、重要的专业基础课：是计量经济学、抽样调查、市场调查、多元统计、统计预测与决策、时间序列分析、国民经济核算、数据处理与数据分析等专业主干课的学习基础。2、考研的重要内容：考研的数学试卷150分，其中概率论与数理统计内容约40分。3、今后工作的重

27、要工具：工作中遇到的大量问题，要用数理统计的方法去处理。Copyright 2006 NJUFE例 为了解南京市民2002年收入情况，现抽样调查10000人的收入。问题：1. 怎样从10000人的收入情况去估计全体南京市民的平均收入？怎样估计所有南京市民的收入与平均收入的偏离程度？2. 若市政府提出了全体南京市民平均收入应达到的标准，从抽查得到的10000人收入数据，如何判断全体南京市民的平均收入与收入标准有无差异？差异是否显著？3. 抽查得到的10000人的收入有多有少，若这10000人来自不同的行业，那么，收入的差异是由于行业不同引起的，还是仅由随机因素造成的？4. 假设收入与年龄有关，从

28、抽查得到的10000人收入和年龄的对应数据，如何表述全体南京市民的收入与年龄之间的关系？Copyright 2006 NJUFE课程结构概率论数理统计随机过程Copyright 2006 NJUFE概率论基本概念与古典概率一维随机变量二维随机变量随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理Copyright 2006 NJUFE数理统计数理统计基本概念参数估计假设检验方差分析回归分析非参数检验Copyright 2006 NJUFE第一章 概率论的基本概念第一节 随机试验随机现象：在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，在大量重复试验或观察中又呈现某种固有的规律性(统计规律性)。

29、试验举例：E1：掷一颗骰子，观察出现的点数。E2：记录某电话交换台一分钟内接到的呼叫次数。E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试其寿命。以上试验共有的特点：1、可以在相同的条件下重复进行;2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先确定试验的所有可能结果;3、进行试验之前不能确定哪一个结果会出现。具有上述特点的试验称为随机试验（试验）。Copyright 2006 NJUFE随机事件（事件）：在随机试验中，对一次试验可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中却具有某种规律性的事情。一般用大写字母A、B、C表示事件。基本事件（样本点） ：在一次随机试验中，它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件，我们

30、称其为基本事件（样本点）。第二节、样本空间、随机事件样本空间（基本事件空间）：试验的基本事件全体所组成的集合，记作 。E1: =1，2，3，4，5，6E2: =0，1，2，3，E3: =t 0t必然事件 ：在一定条件下必然会发生的事件。不可能事件：在一定条件下必定不会发生的事件。一、样本空间、随机事件Copyright 2006 NJUFE事件与基本事件的关系：若事件A发生，则A所含的某个基本事件一定发生;若A所含的某个基本事件发生，便说A发生。二、事件的关系与运算1、A B : 若事件A发生，必然导致事件B发生。 若 A B，B A，则称事件A与事件B相等，记作A=B。2、A B: 事件A与

31、事件B至少有一个发生。 我们称其为事件A与事件B的并事件（或称和）。 : 事件 至少有一个发生。)A( n1kk21nAAAnAAA，213、 (AB): 事件A与事件B同时发生。我们称其为事件A与事件B的积事件（或称交）。BA)(121nkknAAAA事件 同时发生。nAAA，21Copyright 2006 NJUFE4、A-B: 事件A发生而事件B不发生。 我们称其为事件A与事件B的差。5、AB= : 事件A与事件B不能同时发生。 我们称事件A与事件B是互不相容的。 BA6、 = 且AB= :事件A与事件B中必然有一个发生，且只有一个发生。 我们称事件A与事件B互为对立事件，记为B= 。

32、A显然，有 =A， = ， = 。A事件的运算规律: 事件的运算满足交换律、分配律、结合律、德莫根(Demorgan)律。(参见教材P6)若事件 称 是两两互不相容的。 ，mjijiAAji21mAA， 1Copyright 2006 NJUFE第三节、 频率与概率一、频率定义1.1 在相同条件下，重复进行n次试验E，随机事件A在n次试验中出现的次数m称为频数，m/n称为事件A的频率，记为 ，即 )(Afn)(Afn=m/n频率的性质 设随机试验E的样本空间为，A、B为E的两个随机事件，则在n次试验中，频率具有以下性质:1)(0Afn1、2. 1)(nf若AB= ，则 )()()(BfAfBA

33、fnnnCopyright 2006 NJUFE说明: 性质3对随机试验E中任意m个两两互不相容的事件 也成立，即 iAmi， 21)()(11iminmiinAfAf二、概率的定义定义1.2 (概率的定义) 设E是随机试验， 是E的样本空间。对于E的每一个事件A，赋予一实数，记为P(A)。若P(A)满足以下条件:1. 对于任何事件A，有 ；0)(AP2. 对于两两互不相容的事件 有 ，21iAi)()(11iiiiAPAP3.1)(PCopyright 2006 NJUFE三、概率的性质性质1 0)(P性质2 (概率的有限可加性) 设 两两互不相容，则 niAi，21)()(11niinii

34、APAP性质3 设 是A的对立事件，则A)(1)(APAP性质4 设A、B为二事件，则)()()()(ABPBPAPBAP推广:)()1()( )()()(2111111nnkjnkjiinjijiniiniiAAAPAAAPAAPAPAPCopyright 2006 NJUFE特别，有)()()( )()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP性质5 设A、B为二事件，若 ，则有 1) P(B-A)=P(B)-P(A) 2) BA)()(APBP性质6 1)(APCopyright 2006 NJUFE笫四节、古典概型特点:试验的样本空间中的基本事件只有有限个，记为1) ，n212) 每个基本事件发生的概率是相同的，即)()()(21nPPP具有以上特点的随机现象称为等可能概型，又称古典概型。对古典概型，有ninPi，211)(古典概型计算需知:样本空间中包含的基本事件数;1) 2) 事件A中包含的基本事件数。一、古典概型Copyright 2006 NJUFE加法原理: 设完成一件事有m种方式，第 种方式有 种方法，则完成这件事共有 种方法。iinmiin1乘法原理: 设完成一件事有m个步骤，第 个步骤有 种方法，则完成这件事共有 种方法。iinmiin1排列公式:从m个不同元素中不重复地选取n个元素进行排列，则排列的