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1、四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156有两个约束条件的条件极值有两个约束条件的条件极值推导三元函数在两个约束条件推导三元函数在两个约束条件下取得极值的必要条件下取得极值的必要条件四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156( , , )uf x y z目标函数目标函数( , , )0 x y z( , , )0 x y z约束条件约束条件设函数设函数 u=f(x,y,z) 在点在点 (x, y, z) 处取得满足两处取得满足两个约束条件的极值。个约束条件的极值。由隐函数知识，两个约束条件的方程可以确由隐函数知识，两个

2、约束条件的方程可以确定两个一元函数定两个一元函数 y=y(x) 和和 z=z(x)。将这两个。将这两个一元函数代入目标函数，则一元函数一元函数代入目标函数，则一元函数u=f(x,y(x),z(x)=u(x) 在点在点 x=x 处取得极值。处取得极值。由极值的必要条件，由极值的必要条件，0(1)xyzdudydzfffdxdxdx四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156另一方面，将两个一元函数另一方面，将两个一元函数 y=y(x) 和和 z=z(x) 代入两个约束条件方程，得两个恒等式：代入两个约束条件方程，得两个恒等式：( , ( ), ( )0 x y

3、 x z x( , ( ), ( )0 x y x z x以上二式两端对以上二式两端对 x 求导，得求导，得0(2)xyzdydzdxdx0(3)xyzdydzdxdx四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156由由 (1), (2), (3) 式知道，以下三个梯度式知道，以下三个梯度1,dy dzdx dx,xyzffff ,xyz ,xyz 在点在点(x, y, z)处都与向量处都与向量 垂直。垂直。所以这三个梯度在点所以这三个梯度在点 (x, y, z) 处是共面的。处是共面的。这就是函数这就是函数 u=f(x,y,z) 在在 (x,y,z) 处取得满足两处取得满足两个约束条件的极值的必要条件。个约束条件的极值的必要条件。四川大学数学学院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.156约束条件约束条件 和和( , , )uf x y z函数函数 取得满足取得满足( , , )0 x y z( , , )0 x y z,f共面0 xyzxyzxyzffff即它们的混合积为零：即它们的混合积为零：的极值的必要条件是：的极值的必要条件是：命

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