数学思想之数形结合

1、12 著名数学家华罗庚先生曾说：著名数学家华罗庚先生曾说：“数与形，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离！联系，莫分离！ ” 事实上，数与形是数学中两个最古老而又事实上，数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，是数学大厦深处的两块基石。最基本的对象，是数学大厦深处的两块基石。数形结合就是通过这两者之间的对应和转化来数形结合就是通过这两者之间的对应和转化来解决问题的。解决问

2、题的。 “数数”与与“形形”在一定的条件下可以相互转化在一定的条件下可以相互转化在一维空间在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应，实数与数轴上的点建立了一一对应关系；关系；在二维空间在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应关系，进而使函数的解析式与函数的图象一对应关系，进而使函数的解析式与函数的图象，方程与曲线建立了一一对应关系；，方程与曲线建立了一一对应关系；在三维空间在三维空间，空间向量的引入又为用代数方法研，空间向量的引入又为用代数方法研究空间点线面关系提供了可能究空间点线面关系提供了可能这种用代数方法研究图形性质，借助图形性质研这种用代数方法

3、研究图形性质，借助图形性质研究数量关系的思想方法就是数形结合思想究数量关系的思想方法就是数形结合思想41.数形结合是一种重要的数学思想方法，它包数形结合是一种重要的数学思想方法，它包含含“以形助数以形助数”和和“以数辅形以数辅形”两个方面，其应两个方面，其应用大致可以分为两种情形：用大致可以分为两种情形：一是一是借助形的直观性来阐明数之间的联系，即借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的，如应用函数的图象来直以形为手段，数为目的，如应用函数的图象来直观说明函数的性质；观说明函数的性质；二是二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即

4、以数为手段，形为目的，如应用的某些属性，即以数为手段，形为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。(2)双方性原则双方性原则既要进行几何直观分析，又要进行相既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错错(3)简单性原则简单性原则不要为了不要为了“数形结合数形结合”而数形结而数形结合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要合具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好

5、转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：(1)等价性原则等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显

6、的说明，要注意其带来形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应的负面效应6-1 1构造途径构造途径(1)利用“两点间的距离 224131237f xxxxx求函数的最小值例例1 1 7- 22222241312372036012,36,1,0(23)4 24 2.f xxxxxxxABP xPAPBAxCPAPBPCPBBCf x 将函数式变形，得，设，则上述问题转化为求的最小值，如图点 关于 轴的对称点为，因为，所以的最小值为解析：8点评点评：本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合

7、的方法，把代数问题转化为几何问题9(2)利用“直线的斜率”例例2 2 实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求 的取值范围21ba 解析： 由根的分布，可写出a、b所满足的条件，并作出示意图；另外，由 的形式，可联想斜率公式，利用解析几何的办法加以求解21ba10001020fff 021020babab 解析：因方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，故函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴的交点的横坐标分别在区间(0,1)及(1,2)内，于是.，即 点(a，b)所表示的平面区域为如图的ABC的内部，其中，

8、A(3,1)为直线a+2b+1=0与直线a+b+2=0的交点，B(2,0)为直线a+b+2=0与直线b=0的交点，C(1,0)为直线a+2b+1=0与直线b=0的交点11 由于 表示连结点(a，b)和点D(1,2)的斜 率，由图易知，21ba 点评：点评：对于方程根的分布问题，常利用数形结合法，从对称轴的方程、最值、开口方向、特殊点的函数值等方面进行考虑；对于求比例形式的问题，常常可联想直线的斜率利用数形结合的方法进行求解 112,1,1.441ADCDbkka因故21CDADbkka12(3)利用“点到直线的距离”解析：将函数表达式变形得 2|21|22yxx2y的几何意义表示半圆 x2+y

9、2=1（0y1）上的点P到直线x y+2=0的距离 从而由图易得 的最小值为 1从而所求函数的最小值为 2.222y2 2- 1-yxx 求函数的最小值例例3 313(4)利用“函数图象”( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )0( )0f xg xRF xf x g xRF xF xfx g xf x g xF xxF xx因、分别是定义在 上的奇函数和偶函数，故函数是 上的奇函数由奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称知，在原点两侧的单调性相同又注意到，依据条件知解析：，在 时为增函数，于是在 时亦为增函数 ( )( )0030.( ) ( )0_f

10、 xg xRxfx g xf x gxgf x g x 且设、分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时，则不等式 的解集是例4 14因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(3)=0，从而F(3)=F(3)=0.作出满足条件F(x)的示意图如图所示，由图易知，F(x)0的解集为(，3)(0,3)点评：点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌：15 奇函数若在原点处有定义，则奇函数的图象一定过原点当我们作出了满足全

11、部条件的函数F(x)的图象后，不等式F(x)0的解集已经跃然图上了这就是图形的直观作用！借助于图形，省却了繁琐的推理与计算，取而代之的是一幅赏心悦目的优美图案与简洁明快的解答！16(5)利用“单位圆”2222cossincossin(0)cos.2abcabc abckkabZ 已知，求证：例例5 5证明：在平面直角坐标系中，点A(cos ，sin )与点B(cos ，sin )是直线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点，如图 222(coscos )(sinsin ) 22cos()AB从而， 17又因单位圆的圆心到直线l的距离 22|,cdab由平面几何知识知， 2221()

12、2OAABd，22222214coscdab即，22221cos22coscab所以 ，命题得证.18(6)利用“正余弦定理”构图22sin 20cos 50sin20 cos50 求的值例例6 622222sin 20sin 402sin20sin40 cos12020 40 1201sin20sin40sin1203sin 20sin 402sin20 sin40 cos120sin 120.4 将原式变形为，于是我们可联想构造一个三角形：其三个内角分别为、 、，并设此三角形外接圆直径为 ，则此三角形三边长分别为、，由余弦定理可得解析:19点评：点评：本题中，根据数形结合思想，实现了由三角

13、式向三角形边角关系式的转换，使运算大为简捷20(7)利用“平行线间的距离”22240215.abxyabxyaxbyR已知 ， ， ，且，求证：例例8 8 72112121222222()()()240()210/ / .41|-|512-5abxyablxyxylxyllccdABa xb y待证式的左边可视为点 ，与 ， 间的距离的平方已知条件说明点 ，在直线 ：上，点 ，在直线 ：上，且显然，平行直线上任意两点间的距离不小于这两平行线间的距离，而两平行线间的距离，所以证明：22点评：点评：对形如等式ab+cd=k，可以视为点(a，c)在直线bx+dy=k上，或根据证题需要视为点(a，d)

14、在直线bx+cy=k上242.应用方面列举(1)函数的图象与性质例例8方程x34x2+4xlog2x=0的实根个数为_分析：解方程求根是不切实际的，画图是一条重要的途径253221221112112144log384 0,123220223202 32 3yxxx yxyxxxxyxxxxyxxy令，则令得，在处符合其导函数的值左负右正，故时， 取得极小值，（2,0）是函数图象的极小值点； 在处符合其导函数的值左正右负，故时， 取得解析：极大值26 是函数图象的极大值点，其函数图象如图所示又在图中作出函数y2=log2x的图象，显然两图象有2个不同交点，故原方程有2个不同的实根2 323 27

15、，27 点评：点评：这是一道典型的应用数形结合来解决问题的综合型小题，将三次函数图象模型与对数函数图象糅合在一起，要求学生掌握三次函数的极值，极值点，最值，单调区间的求法及函数图象的画法，更要注意在同一坐标系中两图象的位置关系28(2)三角函数的图象与性质(0,2 )sincos_10 xxx 在内使成立的 取值范围为例例分析：有些学生不加分析地盲目利用同角三角函数间的关系与公式，进行运算与推理，往往造成较高的错误率，而如果借助三角函数图象，以形助数，则不仅会正确得出答案，而且过程简洁直观sincos(0,2 )5()44yxyx在同一坐标系中作出，在上的图象如图所示.由图可知，答案为解析：，

16、9(0,2 )sincos_10 xxx 在内使成立的 取值范围为例例929(3)与解方程、解不等式有关的问题 2122122()1,12112.11,1xaf xxxaAxf xxxxmmtmxxaAtm R 已知在区间上是增函数 求实数 的值组成的集合 ；设关于 的方程的两个非零实根为 、试问：是否存在实数 ，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，试说明理由例例1 130分析： (1)函数f(x)是区间-1,1上的增函数，这个条件怎样使用？有两条思路可走：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数的性质这里我们不妨用第二种方法 2222222222222.2201,120

17、1,1xxaxxaxfxxxfxxxaxx 条件等价于对恒成立，即对解析：恒成立31 221,1()100121101010.2110gxxaxxxO yxyggxaagaxyggxaaga 令， 并 作 出 它 在直 角 坐 标 系内 的 示 意 草 图 图 略 ， 因 其 形 状 已 经深 深 地 烙 在 了 自 己 的 脑 海 中 ，由 图 易 知 ， 若 对 称 轴 方 程所 在 直 线 在轴 的 右 侧 ，则为 函 数的 最 大 值 ，从 而；若 对 称 轴 方 程所 在 直 线 不 在轴 的 右 侧 ，则为 函 数的 最 大 值 ，从 而2a2a32 222222121212212

18、20.22021248.xaxaxxxxaxxaxxxxxxx xa 由，得依题意方程的两实根与方程的根等价，从而利用根与系数的关系，可求得|01 | 1| 110AaaaaAaa综合上面两种情形的讨论可知，即332122212maxmax211,11|(8)3(11)2 01,1mtmxxaA tmtmxxaamtmt 注意到不等式对任意及恒成立，从而其中，即不等式对任意恒成立34 222221,1201,112022.12022.h tmtmtyh th tmtmtthmmmmhmmmmmm 令，则函数的图象为一条线段于是，当对任意恒成立时，其线段应在 轴的上方，故或从而存在满足条件的实数

19、 ，且 的取值范围为或35点评：点评： 本题是一道较难的解不等式问题，但两问的求本题是一道较难的解不等式问题，但两问的求解都借助了图形的直观，进而很简捷地得到了问题的解都借助了图形的直观，进而很简捷地得到了问题的解答与结论其中，第解答与结论其中，第(1)问，用的是二次函数的图象问，用的是二次函数的图象的对称轴的位置与函数的单调区间的关系而得到的；的对称轴的位置与函数的单调区间的关系而得到的；第第(2)问，先是利用了问，先是利用了主元思想主元思想，视，视m2+tm-2中中t为变量为变量，m为常量，进而得出函数为常量，进而得出函数h(t)=mt+(m2-2)，t-1,1的的图象为一条线段的直观结论，后利用它写出了图象为一条线段的直观结论，后利用它写出了m所满足所满足的条