曲面积分与曲线积分ppt课件

1、102 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算第二类曲线积分的定义、定义的推广对坐标的曲线积分的性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功： 设在xOy面内有一个质点，在变力F(x, y)P(x, y)iQ(x, y)j 的作用下从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B，试求变力 F(x, y) 所作的功 OxyABF(x , y)L一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与

2、性质变力沿曲线所作的功：OxyABL 用点AA0，A1，A2， ，An1，AnB把L分成 n个小弧段，A1A2AkAk+1An-1F(xk , yk)1kkAAcosk, sink sk，显然，变力F(x, y)沿有向小弧段AkAk+1 所作的功可以近似为F(xk , yk)1kkAAP(xk , yk)costk Q(xk , yk)sintksk 那么设 Ak(xk , yk)，有向线段1kkAA的长度为sk，它与 x 轴的夹角为k ，于是，变力F(x, y)所作的功W11nkF(xk , yk)1kkAA11nkP(xk , yk)cosk Q(xk , yk)sinksk从而WLP(x

3、, y)cosQ(x, y)sinds这里tt(x, y)，cost, sint是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量对坐标的曲线积分的定义： 设L为xOy面上一条光滑有向曲线，cost, sint是与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义 如果下列二式右端的积分存在，我们就定义LdxyxP),(LP(x, y)cosds，LdyyxQ),(LQ(x, y)sin ds，LdxyxP),(称为函数 P(x, y)在有向曲线 L 上对坐标 x 的曲线积分，LdyyxQ),(称为函数 Q(x, y)在有向曲线 L 上对坐标 y 的曲线积分，对坐标的

4、曲线积分也叫第二类曲线积分 定义的推广： 设G为空间内一条光滑有向曲线，cosa, cosb, cosg是曲线在点(x, y, z)处的与曲线方向一致的单位切向量，函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在G上有定义我们定义(假如各式右端的积分存在)dxzyxP),(=P(x, y, z)cos ds，dyzyxQ),(=Q(x, y, z)cosds，dzzyxR),(=R(x, y, z)cosds对坐标的曲线积分的简写形式：LdxyxP),(LdyyxQ),(=dyyxQdxyxPL),(),(，dxzyxP),(dyzyxQ),(dzzyxR),(=dxzy

5、xP),(Q(x, y, z)dyR(x, y, z)dz对坐标的曲线积分的性质： (1) 如果把L分成L1和L2，那么LQdyPdx1LQdyPdx2LQdyPdx (2) 设L是有向曲线弧，L是与L方向相反的有向曲线弧，那么LdxyxP),(LdxyxP),(，LdyyxQ),(LdxyxQ),(二、对坐标的曲线积分的计算二、对坐标的曲线积分的计算),(),(tytx LP(x, y)dxQ(x, y)dy应注意的问题： 下限 a 对应于 L 的起点，上限 b 对应于L的终点，a不一定小于b 定理：设P(x, y)、Q(x, y)在光滑有向曲线L上连续，L的参数方程为 当参数t单调在由a

6、变到b 时，点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B，那么 P(t), (t)(t)Q(t), (t)(t)d t 若空间曲线G由参数方程xj(t)，y =y (t)，zw(t)给出，曲线的起点对应于t=a ，终点对应于t=b ，那么曲线积分讨论：如何计算？ Pj(t), y(t), w(t)j(t)Qj(t), y(t), w(t)y(t)Rj(t), y(t), w(t) w(t)d t提示：LP(x, y, z) dx Q(x, y, z)dyR(x, y, z)dzLP(x, y, z) dx Q(x, y, z)dyR(x, y, z)dzB(1, 1)的一段弧 例 1 计算Lx

7、ydx，其中 L 为抛物线 y2x 上从点 A(1, 1)到点 解 第一种方法：以x为积分变量L分为AO和OB两部分AO 的方程为 yx，x 从 1 变到 0；OB 的方程为 yx，x 从 0 变到 1因而LxydxAOxydxOBxydx01)(dxxx10dxxx10232dxx01)(dxxx10dxxx10232dxx54yxO1-11B(1, 1)A(1, -1)xy xyB(1, 1)的一段弧 例 1 计算Lxydx，其中 L 为抛物线 y2x 上从点 A(1, 1)到点yxO1-11B(1, 1)A(1, -1) 解 第二种方法：以y为积分变量L的方程为xy2，y从1变到1因而L

8、xydx1122)(dyyyy1142dyyxy2Lxydx1122)(dyyyy1142dyy54(1) L为半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周；(2) L为从点A(a, 0)沿x轴到点B(a, 0)的直线段 例 2 按不同路线计算Ldxy2：q从0变到 解 (1)L 的参数方程为xa cosq，ya sinq，Ldxy2qqq022)sin(sindaaqq023cos)cos1 (da334axyOA(a, 0)B(a, 0) (2)L的方程为y0，x从a变到aLdxy2aadx00因而因而 例 3 按不同路线计算Ldyxxydx22：(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0

9、, 0)， A (1, 0)， B(1, 1) OxyA (1, 0)B(1, 1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；(2)抛物线xy2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧； 解 (1)L：yx2，x从0变到1所以Ldyxxydx221022)22(dxxxxx1034dxxLdyxxydx221022)22(dxxxxx1034dxx1Ldyxxydx221022)22(dxxxxx1034dxx (2)L：xy2，y从0变到1所以Ldyxxydx221042)22(dyyyyy1045dyyLdyxxydx221042)22(dyyyyy104

10、5dyyLdyxxydx221042)22(dyyyyy1045dyy1 例 3 按不同路线计算Ldyxxydx22：(3)有向折线OAB，顶点分别为O(0, 0)， A (1, 0)， B(1, 1) OxyA (1, 0)B(1, 1)yx2xy2(1)抛物线yx2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；(2)抛物线xy2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧；(3) Ldyxxydx22OAdyxxydx22ABdyxxydx22102)002(dxxx10) 102(dyyLdyxxydx22OAdyxxydx22ABdyxxydx22011 解 (3)L=OA+AB， 例 4

11、 计算ydzxdyzydxx2233，其中是从点 A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)的直线段 解 AB 的方程为123zyx；其参数方程为x3t，y2t，xt，t从1变到0所以ydzxdyzydxx2233dtttttt012232)3(2)2(33)3(01387dtt487 例5 设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用，F的大小与M 到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点 此质点由点A(a, 0)沿沿椭圆12222byax按逆时针方向移动到点B(0, b)，求力F所作的功 解 椭圆的参数方程为t 从0 变到2 OMx iy j ，|OM22yx 由假设有Fk(x iy j)，其中k0是比例常数于是WABkydykxdxABydyxdxkABkydykxdxABydyxdxk2022)cossinsincos(dtttbttak2022cossin)(tdttbak)(222bakOxyABabxa cos t， yb sin t ，F三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 由定义，得LP(x, y)cos Q