哈工大机电控制机电系统的数学模型石

1、主讲人：石胜君主讲人：石胜君机电工程学院机电工程学院机械类专业技术基础课20201717年年9 9月月机电系统控制基础机电系统控制基础哈尔滨工业大学 机电工程学院课程目录第第6 6章章 机电控制系统的设计与校正机电控制系统的设计与校正第第1 1章章 绪绪 论论第第3 3章章 系统的时域分析法系统的时域分析法第第2 2章章 系统的数学模型系统的数学模型第第4 4章章 系统的频域分析法系统的频域分析法第第5 5章章 稳定性及稳态误差分析稳定性及稳态误差分析第第7 7章章 计算机控制系统计算机控制系统哈尔滨工业大学 机电工程学院第2章 系统的数学模型教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院教学内容哈尔滨

2、工业大学 机电工程学院教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院 为什么要建立系统的数学模型？ 什么是数学模型？ 如何建立数学模型（建模方法）？2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院实际控制系统实际系统的组成框图建立各组成工作框的数学模型系统稳定性系统稳态性系统动态性找出改进系统的有效方法应用分析研究 系统建模搞清系统的工作原理引言稳稳准准快快哈尔滨工业大学 机电工程学院研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。我们还要定量地描述系统的

3、动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。这就需要建立系统的数学模型。为什么建立系统的数学模型为什么建立系统的数学模型Why？对系统从定性的认识上升到定量的精确分析与设计的需要。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院什么是数学模型什么是数学模型What？ 系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型。如微分方程、传递函数、时间响应函数、频率特性及状态空间模型等。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院

4、数学模型数学模型微分方程传递函数频率特性时域复数域频域时间响应Bode图Nyquist图2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院分析法：根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式。实验法：人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应通过数据整理，拟合出比较接近实际系统的数学表达式。 简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。如何建立数学模型（建模方法）（如何建立数学模型（建模方法）（How）例如：牛顿运动定

5、律、欧姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流体力学。2.1 控制系统数学模型的概念 哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2 系统的微分方程系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院一、系统的微分方程概念及分类一、系统的微分方程概念及分类微分方程：在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。最基本的数学模型。线性系统线性系统非线性系统非线性系统系统系统线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院线性系统线性系统系统的数学模型能用线性微分方程描述

6、。微分方程的系数为常数微分方程的某一（些）系数随时间的变化。线性时变系统：线性定常系统：)()()()(12txtytyktyk )()()()()()(12txtytytktytk 线性系统特点：可以运用叠加原理。即系统在有多个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院线性系统线性系统叠加原理叠加原理: :线性线性是指系统满足是指系统满足叠加原理叠加原理，即：，即：)()()(2121xfxfxxf 可加性：可加性：)()(xfxf 齐次性：齐次性：)()()(2121xfxfxxf或：或

7、：2.2 系统的微分方程A实际的物理系统都不可能是线性系统。但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。哈尔滨工业大学 机电工程学院用非线性微分方程描述的系统称非线性系统，它不用非线性微分方程描述的系统称非线性系统，它不能使用叠加原理。能使用叠加原理。221212222112)()()()()()();()()()(但但是是txtxtytytxtytxtytxty 非线性系统非线性系统为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院a)建立物理模型（包括力

8、学模型、电学模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；b)按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程；c)消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；d)整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。 二、系统微分方程的建立步骤2.2 系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2 系统的微分方程对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：)()(.)()()()(.)()(0111101111trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtca

9、tcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn哈尔滨工业大学 机电工程学院A任何机械系统的数学模型都可以用牛顿定律来建立。A机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。A惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性，简化为质量块；惯性小，柔度大的构件可以简化为弹簧。A质量弹簧阻尼系统是常见的对机械系统的抽象。2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 考虑如图所示的质量弹簧系统，考虑如图所示的质量弹簧系统，滑动表面与质量块之间的摩擦力滑动表面与质量块之间的摩擦力设为粘性阻尼模型，分析在外力设为粘性阻尼模型，分析在外力f(t)作用下模型的输出作

10、用下模型的输出y的变化规的变化规律。律。质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院质量弹簧阻尼系统各部分基本物理规律： 质量（块）质量（块）由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 弹簧弹簧由胡克定律：由胡克定律：2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 粘性阻尼（粘性阻尼（液压、气压活塞推杆液压、气压活塞推杆）2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 以弹簧平衡时系统的位置为初始平衡点，由牛顿第二定律牛顿第二定律建立力平衡方程：)()()()(22tKydtt

11、dybtfdttdyM)()()()(22tftKydttdybdttdyM2.2.2 机械系统的微分方程f(t)包含重力Mg哈尔滨工业大学 机电工程学院 图为组合机床动力滑台铣平面时的情况，当切削力f(t)变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。试建立切削力f(t)与滑台质量块位移y(t)之间的动力学模型。实例实例: 机械平移系统机械平移系统2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院解：首先将动力滑台连同铣刀抽象成质量弹簧阻尼系统的力学模型。根据牛顿第二定律 将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得 22d)(

12、d)(d)(d)(ttymtkyttyBtf)()(d)(dd)(d22tftkyttyBttym2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院机械转动系统机械转动系统K K i i( (t t) ) o o( (t t) )0 00 0T TK K( (t t) )T TB B( (t t) )B B粘性液体粘性液体齿轮齿轮J JJ J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；K K 扭转刚度系数；扭转刚度系数；B B 粘性阻尼系数粘性阻尼系数柔性轴柔性轴2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院实例实例: 机械转动系统机械转动系统 如下图示定轴转动系统，旋转体的转动惯量

13、等效为J，转动轴所受的摩擦设为粘性摩擦，阻尼系数为B，转动轴连接刚度为K，等效模型如图(b)所示。 若驱动力矩为T，则根据转矩平衡方程，有：KdtdBdtdJT222.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 考虑图示转动系统， 为输入力矩 ，试列写以 为输出变量的微分方程。21实例实例: 机械转动系统机械转动系统2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院以角位移隔离两个惯性体，（输出设两个变量分别为 ， 列写力矩平衡方程为：2111122121221222222)()(dtdBKdtdJdtdBKdtdJ12212221221222212132312214242

14、1KKdtdBdtdJdtdKBKBdtdBBKJKJdtdBJBJdtdJJ1?2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程机械系统中基本物理量的折算 图(a)为丝杠螺母传动机构，(b)为齿轮齿条传动机构，(c)为同步齿形带传动机构，求三种传动方式下，负载m折算到驱动电机轴上的等效转动惯量J实例实例:电机驱动进给装置哈尔滨工业大学 机电工程学院电机驱动进给装置等效系统J电动机等效转动惯量按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为：22LmJL 丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离。2.2.2 机械系统的微分方程工作台m丝杠L电动

15、机哈尔滨工业大学 机电工程学院Lv2 22LLLLL22mdddTtmm2 dt22dt2dt LdvTt2mLdt2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程解：对图2-4(b)和(c)所示的情况，设齿轮或皮带轮的分度圆半径为r，负载m可以看作一个质点绕齿轮或带轮转动，则负载折算到电机轴上的等效转动惯量为2mrJ 哈尔滨工业大学 机电工程学院 齿轮传动装置 z1T11T22z2齿轮副假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：2112211221rrzzTTT1、T2：转矩1、2：角位移1、2：角速度z1、z2：齿数r1、r2

16、：齿轮分度圆半径2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程试求该系统输入力矩 M(t) 与输出转角 之间的动态数学模型。)(2t实例实例: 齿轮传动系统齿轮传动系统哈尔滨工业大学 机电工程学院在忽略传动摩擦的情况下，分别针对两个转动轴列写力矩平衡方程，有： fzMdtdcMdtdJMdtdcMdtdJ222222211121212212212122222221222221,/)()(cicCJiJJzziMiMdtdCdtdJiMdtdcicdtdJiJfzfz2.2.2 机械系统irrzzMM2112211221哈尔滨工业大学 机电工程学院对于多

17、级齿轮传动，同理可推得等效转动惯量与粘性阻尼为：机械系统中，齿轮传动多用于减速和增大力矩，故一般传动比小于1，于是多级齿轮传动中，后级齿轮及负载的转动惯量和粘性摩擦往往可以忽略不计。 .324322122211JnnnnJnnJJ.324322122211CnnnnCnnCC2.2.2 机械系统哈尔滨工业大学 机电工程学院 机床进给传动链2.2.2 机械系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程222233111123224242zzzzzLJJJJmzz zz z (1) 轴I、II、III转动惯量及工作台质量的归算轴II的转动惯量J2归算到轴I为J2有：221

18、22)(zzJJ 轴III的转动惯量J3归算到轴I为J3有：2432133).(zzzzJJ 工作台质量m归算到轴III的转动惯量为Jm有：2)2(LmJmJm归算到轴I的转动惯量为Jm有：243212).()2(zzzzLmJm轴I的总转动惯量：哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程（2） 轴I、II、III传动刚度的归算 （扭转刚度和轴向刚度）轴II的扭转刚度K2归算到轴I为K2有：22122)(zzKK 工作台的轴向刚度K归算到轴III为K 有：轴III的总等效刚度KIII为：KIII归算到轴I的等效刚度K3为：2)2(LKK 3III111KKK2432123243

19、2133).()2(111).(111zzzzLKKzzzzKKK哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程（2） 轴I、II、III传动刚度的归算轴I的总刚度K为：243212322121)()2(11(1)(111zzzzLKKzzKKK哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程（3） 黏性阻尼系数的归算工作台导轨阻尼系数c的归算到轴III 为c有：2)2(Lcc c归算到轴I为c*有：243212*).()2(zzzzLccooxzzzzL).)(2(4321电机轴转角位输入 ，工作台导轨位移 归算轴I角位移 ：ioxo（4） 工作台位移的归算哈尔滨工业大

20、学 机电工程学院2.2.2 机械系统的微分方程(5) 数学模型的建立驱动电机ioJK*c机械旋转系统的微分方程：22*)(dtdJdtdcKoooi整理得：ioooKKdtdcdtdJ *22ooxzzzzL).)(2(4321ioooKxzzzzLKdtdxzzzzLcdtxdzzzzLJ).)(2().)(2(*).)(2(43214321224321哈尔滨工业大学 机电工程学院 Q1、Q2和H分别为液槽在平衡状态时液体的流入量、流出量和液位的高度值。q1(t)、q2(t)和h为相应变量的增量。 设液槽的面积为C，根据物料自平衡的原理，液体流入量与流出量之差应等于液槽中液体存贮量的变化率，

21、即有2.2.3 流体系统的微分方程 )()()(2211tqQtqQdthHdC)()()(21tqtqdttdhC)()(2thtq考虑在平衡状态H=定值，Q1=Q2，则上式可改写为基于液位h(t)与流量q2(t)之间的关系如图2-5所示，它的数学表达式为：图 液位系统（2-4）哈尔滨工业大学 机电工程学院 式中为比例常数（与V2阀开度的大小有关）。经在平衡点作线性化处理后q2(t)与h(t)的关系为)(2)(2thHtqRHthtq12)()(2或写作：式中，把式（2-6）代入式（2-4）得)()()(1tRqthdttdhRC)()()(1tRqthdttdhT其中，T=RC或图 q2(

22、t)与h(t)的关系曲线2.2.3 流体系统的微分方程液阻输出流量的变化时液位高度的变化量R（2-6）哈尔滨工业大学 机电工程学院A任何电气系统的数学模型都可以用克希霍夫电流和电压定律来建立。A电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。A电路分析主要对象：电抗、电压、电流A电气系统建模：列写各元件的电抗、电压与电流之间关系2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院电容：电压电容：电压=电流的积分，电容值的倒数是常系数电流的积分，电容值的倒数是常系数电感：电压电感：电压=电流的微分，电感值是常系数电流的微分，电感值是常系数2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院克

23、希霍夫电流定律：流进节点的电流之和，等于流出同 一节点的电流之和 。克希霍夫电压定律：在任意瞬间，在电路中任意环路的 电压的代数和等于零，或者可以描 述为：沿某一环路的电压降之和， 等于沿该环路的电压升高之和。04321vvvvEEv1v2v3v4i1i2i3123iii2.2.4 电气系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院 把代入，并进行整理得：把代入，并进行整理得：解：解：(1)确定输入输出量确定输入输出量iuouLRCi这是一个线性定常二阶微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。(2)列写微分方程列写微分方程(3)消去中间变量消去中间变量实例： 建立图所示的LRC电路的数学模型。 2

24、.2.4 电气系统的微分方程)()()()(22tututudtdRCtudtdLCioooiuidtCRidtdiL101uidtC哈尔滨工业大学 机电工程学院实例：实例：电枢控制直流电动机的微分方程电枢控制直流电动机的微分方程 试列写下图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压 为输入量，电动机转速 为输出量。图中 、 分别是电枢电路的电阻和电感， 是折合到电动机轴上的总负载转矩。激磁磁通为常值。2.2.5 机电系统的微分方程aRaLauaiaEM_fi负载mmfJm)(Vtua)(tm)(srad)(aR)(HLacM电枢控制直流电动机原理图 哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.

25、5 机电系统的微分方程(1) 电枢回路电压平衡方程：aaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(2) 电磁转矩方程：)()(tiCtMamm(3) 电动机轴上的转矩平衡方程： )()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm整理得： )()()()()()()()(22tMRdttdMLtuCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamammaaRaLauaiaEM_fi负载mmfJm哈尔滨工业大学 机电工程学院2.2.5 机电系统的微分方程aL在工程应用中，由于电枢电路电感 较小，通常忽略不计，因而上式可简化为：)()()()(12tuKtMKtdttdTacm

26、mm)(emmamamCCfRJRT)(1emmamCCfRCK)(2emmaaCCfRRK式中是电动机机电时间常数(s)，是电动机传递系数。如果电枢电阻 和电动机的转动惯量 都很小而忽略不计时，式(2-25)还可进一步简化为：)()(tutCame此时，电动机可作为测速发电机使用。 哈尔滨工业大学 机电工程学院本讲小结本讲小结A了解系统数学模型的表现形式；了解系统数学模型的表现形式；A掌握微分方程的列写方法；掌握微分方程的列写方法；A掌握机械系统微分方程的建立；掌握机械系统微分方程的建立；A掌握电气系统微分方程的建立。掌握电气系统微分方程的建立。作业：作业：教材：教材： 2.22.52.2

27、系统的微分方程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.3 系统的传递函数系统的传递函数教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院补充：拉氏变换教学内容哈尔滨工业大学 机电工程学院)(sF一、拉氏变换的定义：一、拉氏变换的定义：(1)当当 t 0时，时， x(t)在每个有限区间上分段连续；在每个有限区间上分段连续；对于函数对于函数 x(t)，如果满足下列条件：如果满足下列条件：(2) 存在，其中存在，其中s=+j为复变量。为复变量。0-e)(dttxst0-e )()(Ldttxtxst为原函数为原函数为象函数为象函数补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院二、典型函数的拉氏变换二、典型函数的拉氏变换1、单位

28、阶跃函数、单位阶跃函数: 1(t)=1, (t0)ssdtdtttststst1e1ee)( 1)( 1 L0002、单位斜坡函数、单位斜坡函数: t1(t)0t1(t)100ee)( 1)( 1Ldttdtttttstst2020001e1)1(ee)e ()(ssdtsstdststststst0tt1(t)45补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院 0200111sdtesetsdtetsFttfststst同理可得：同理可得：14332!32nnsntLstLstL3、t的幂函数的幂函数10tf(t)单位速度函数（斜坡函数）单位速度函数（斜坡函数）1单位加速度函数单位加速度函数0tf

29、(t)02100)(2ttttf000)(ttttf补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院二、典型函数的拉氏变换二、典型函数的拉氏变换(t)在在a0时时t-a/21/aa/20, (t0);, (t=0); 且有且有(t)=001)( dtt1)(e)()(L000dttdtttst5、指数函数、指数函数: e-at 1(t)asasdtttastasat1e1e)( 1e L0)(0)(4、单位脉冲函数、单位脉冲函数: (t)补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院6、正弦函数、正弦函数 220021sinsinsdteeejdtetsFttfsttjtjst故故tsLsin221正弦函数

30、正弦函数10tf(t)f(t)=sin t-1补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院7、余弦函数、余弦函数 220021coscosssdteeedtetsFttfsttjtjst故故tssLcos221余弦函数余弦函数10tf(t)f(t)=cos t-1补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院)(tf)(sF)(t1)(tus1tnsnn1!ateetatn )(1!asnnwtsinwsw22wtcoswss22wteatsinwasw22)(wteatcoswasas22)()(tf)(tf)(sF)(sF典型拉氏变换典型拉氏变换补充拉氏变换as1哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏

31、变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理1、线性性质：、线性性质：02121e)()()()(Ldttbxtaxtbxtaxst0201e )(e )(dttxbdttxastst)()(21sbXsaXt例：0 x(t)452)( 1)( 12)(ttttx2212112)(sssssX补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理2、微分性质：、微分性质：0e)()(Ldtdttdxdttdxst00)(e )()(edtstxtxstst0e )()0(dttxsxst)0()(xssX)0()(L)(L22xdttdxsdttx

32、d)0()0()(2xsxsXs若系统处于若系统处于零初始条件零初始条件下：则有下：则有)()(LssXdttdx)()(L222sXsdttxd)()(LsXsdttxdnnn补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理例例：在零初始条件下求输出的拉氏变换。：在零初始条件下求输出的拉氏变换。)()()()()(22tnxdttdxmtcxdttdxbdttxdaiiooo解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：)()()()(2sXnmssXcbsasio)()(2sXcbsasnmssXio利用拉氏

33、反变换便可得到输出的原函数。利用拉氏反变换便可得到输出的原函数。补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理3、积分性质（在零初始条件下）：、积分性质（在零初始条件下）：)(1)(L0sXsdttxt4、延时定理：、延时定理：)()(1)(LsXettxs0t1( t -)1例例：) 2( 1) 2()( 12)(ttttx22112)(sessXsx(t)t04522补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院三、拉氏变换的基本性质和定理三、拉氏变换的基本性质和定理5、终值定理：、终值定理：)(lim)(lim0ssXtxst证明证明00)0(

34、)()(ee)()(LxssXtdxdtdttdxdttdxstst )0()(lim)(elim000 xssXtdxssts)0()(lim)0()(limxssXxtxost)(lim)(lim0ssXtxst 补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm采用采用部分分式展开法部分分式展开法求拉氏反变换：求拉氏反变换： x(t) X(s) X(s)=Lx(t)x(t) X(s) X(s)=Lx(t)X(s) x(t) x(t)=L X(s)X(s) x(t) x(t)=L X(s)-1 )(.)()()(.

35、)()(1211121sXLsXLsXLtxsXsXsXsXnn补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院1、只含不同单极点的、只含不同单极点的)()()(211110nmmmmpspspsbsbsbsbsX)()()()(2211nnkkpsApsApsApsA式中：式中：kpskkkpssXpssXsA)()(lim),(Re四、拉氏反变换四、拉氏反变换tpiiiieApsAL1补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换1、只含不同单极点的情况：、只含不同单极点的情况：例例1233)(2ssssX)( 1)2()(2teetxtt例22354)(22sssssX)( 1)2()(

36、)(2teettxtt)2(1) 1(2)2)(1(3)(ssssssX解：解：211212331)(2ssssssX解：2)1()(11sssXA1)2()(22sssXA补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换 teateasassaLcbssKsKLcbsssXKsKjscbpsKpsKcbssKsKsXttjsnnsincos,.,04,.21222221122112212,1223221通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换2、含共轭复数极点的情况：、含共轭复数极点的情况：补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏

37、反变换2、含共轭复数极点的情况：例sssssX231)(ssss112sss1)()(222321ssss1)()(33)()()(2222232123232121)( 1 1)cossin()(23233321tttetxt补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换 nnrrrpsKpsKpsKpsKpsKsX.221111121113、含重极点的情况：、含重极点的情况： rrrrrrrrpssXdsdKpssXKpssXKpssXK111!1111!21131!1112111.lim.lim.lim.limS - p1S=-p1为为r 重极点重极点展开为展开为r 个分式个分式补

38、充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换例132) 1(32)(ssssX3、含重极点的情况：1) 1() 1(12233sBsBsB232) 1)(12133ssssssXB022) 1)(1132sssssXdsdB 12!21)1)(!21113221ssssXdsdB)( 1)()(2teettxtt11) 1(23ss补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换例2) 1()2(3)(2ssssX3、含重极点的情况：nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110)()(nm 12)2(212211sAsAsA1)2()(2211sssXA2)2()

39、(2212sssXdtdA2)1()(12sssXA)( 12)2()(2teettxtt补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院四、拉氏反变换例2) 1()2(3)(2ssssX3、含重极点的情况：2221221221112121112111121211121ssssssssssssss)( 12)2()(2teettxtt212121ssss补充拉氏变换哈尔滨工业大学 机电工程学院775、应用拉氏变换解线性微分方程、应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s s 的代数的代数方程；方程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表

40、解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 哈尔滨工业大学 机电工程学院78原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换拉氏变换解解代代数数方方程程拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程哈尔滨工业大学 机电工程学院2.3 系统的传递函数系统的传递函数哈尔滨工业大学 机电工程学院一、传递函数定义及特点一、传递函数定义及特点传递函数：传递函数：线性定常系统线性定常系统在在零初始条件零初始条件下，输出

41、量的下，输出量的Laplace变换与输入量的变换与输入量的Laplace变换之比。变换之比。零初始条件：零初始条件：q t t00时，输入量及其各阶导数均为时，输入量及其各阶导数均为0 0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即即t t 0 0 时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0 0；2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一般形式设输入设输入xi ( t )，输出为，输出为xo ( t )，则一般形式表示如下：，则一般形式表示如下：取如下零

42、初始条件：取如下零初始条件： 传递函数的一般形式传递函数的一般形式1110111101( )( )( )( )( )( )( )( ) ()nnnonooonnmmmimiiimmdddax tax tax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tnmdtdtdt2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院对微分形式进行对微分形式进行Laplace变换，则有：变换，则有：根据传递函数定义，则有根据传递函数定义，则有G ( s )：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院求传递函数过程求传递函数过程2.3.1 传递函数的基本概念a) 列写系

43、统的微分方程；d)得到传递函数G(s)b)方程两端拉氏变换（初始条件为零）c)右端算子除以左端算子哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数求解示例传递函数求解示例 q 质量质量- -弹簧弹簧- -阻尼系统的传递函数阻尼系统的传递函数 22( )( )( )( )oddmy tCy tKy tf tdtdt2( )( )( )( )ms Y sCsY sKY sF s2( )1( )( )Y sG sF smsCsK所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：按照定义，系统的传递函数为：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学

44、院q R-L-C无源电路网络的传递函数 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(2sUsUsRCsUsULCsiooo11)()()(2RCsLCssUsUsGio所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：LCRouiu( )11( )( )( ),( )( )iodi tLi t dtRi tu tu ti t dtdtCC按照定义，系统的传递函数为：按照定义，系统的传递函数为：2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院例1：图示机械系统，输入为xi，输出为xo，求系统传递函数。xixoAk2c2c1k1x

45、B解：以整体为研究对象难于分析；现以节点A、B为研究对象，并增设中间变量x。节点没有质量，所以惯性力为零，考虑节点受力平衡，得微分方程：xxcxxcxxkooiAoi211:xkxxcBo22:2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院xixoAk2c2c1k1xB解：1122112222()()( )()()( )iosX sssssskckckckck cX1122112222()()( )( )( )()()oisssG ssssskckcXkckck cX微分方程两端作拉氏变换，消去中间变量X（s）后，得右端算子除以左端算子2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学

46、机电工程学院 传递函数是复数s域中的系统数学模型，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。 传递函数的分母反应了系统本身与外界无关的固有特性，分子反应了系统本身与外界之间的关系。 传递函数的特点传递函数的特点Xi（s）G（s）Xo（s）系统框图2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院 传递函数的特点（续）传递函数分母中s的阶次n不小于分子中s的阶次m。传递函数可以有量纲，也可以无量纲，取决于输入量和输出

47、量的量纲。不同的物理系统可以具有相同的传递函数。同一系统选取不同物理量作为输入输出，传递函数可不同。传递函数的概念，只适用初始状态为零的线性定常系统。2.3.1 传递函数的基本概念哈尔滨工业大学 机电工程学院二、传递函数的特征方程、零点、极点和放大系数二、传递函数的特征方程、零点、极点和放大系数1110111101( )( )( )( )( )( )( )( ) ()nnnonooonnmmmimiiimmdddax tax tax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tnmdtdtdt2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院对于高阶齐次线性微分方程:

48、特征方程:特征根: r1、r2 rn11100nnnna rara ra2.3.2 系统的复域特征 回忆高等数学中微分方程的特征方程概念。回忆高等数学中微分方程的特征方程概念。二阶常系数齐次线性微分方程:0( ,)yp yq yp q为常数20rprq特征方程:特征根:r1、r2哈尔滨工业大学 机电工程学院二、传递函数的特征方程、零点、极点和放大系数 特征方程1110( )mmmmM sb sbsb sb1110( )nnnnN sa sasa sa令：)()()()()(sNsMsXsXsGio则：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。2.3.2

49、 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院 零点和极点零点和极点 1212( )()()()( )( ) ( )( )()()()ominXsK szszszM sG sKX sN sspspsp为常数）根据多项式定理，将G(s)写成下面的形式： N(s)= (s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1, 2, ,n)，称为传递函数的极点；极点就是系统的特征根。 （决定系统瞬态响应曲线的收敛性，即稳定性）式中，M(s)=K(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的零点；（影响瞬态响应曲线的形状，不影响系统稳定性）传递函数

50、的零极点形式2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2j 模型零、极点决定系统的动态性能；其中极点决定系统的稳定性；零点与极点的距离决定该极点所产生的模态所占比重，距离越远所占比重越大。2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院令s = 0，则：说 明：G(0)为系统放大系数，决定着系统的稳态输出（从微分方程的角度看，s=0相当于所有的导数项都为零

51、。因此G(0)反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。 G(0)由微分方程常数项决定；微分方程零 、极点及放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。对系统的研究可变成对系统传递函数零点、极点和放大系数的研究。 放大系数放大系数 1212()()()( ) ()()()mnK szszszG sKspspsp为常数）2.3.2 系统的复域特征 哈尔滨工业大学 机电工程学院关于传递函数的几点说明关于传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系

52、数对应相等，完全取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。 小结哈尔滨工业大学 机电工程学院基本概念任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。高阶控制系统传递函数可以化为零阶、一阶、二阶等高阶控制系统传递函数可以化为零阶、一阶、二阶等典型环节的组合。典型环节的

53、组合。具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个部分称为一个环节环节。经常遇到的环节称为。经常遇到的环节称为典型环节典型环节。 环节环节 Xi（s）G（s）Xo（s）环节框图2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院sseekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(ekkdjjcllbiiTTabK12112100112.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节1比例环节比例环节定定 义：义：输出量与输入量成

54、正比，输出既不失真也不延迟地反映输出量与输入量成正比，输出既不失真也不延迟地反映输入的环节。输入的环节。传递函数：传递函数：KsRsCsG)()()(Xi（s）KXo（s）比例环节特特 点：点：输出与输入成正比，无输出与输入成正比，无失真和时间延迟失真和时间延迟案案 例：例：电子放大器，齿轮，电子放大器，齿轮，电阻，感应式变送器等。电阻，感应式变送器等。2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）定定 义：义：动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方

55、程：动力学方程：传递函数：传递函数：)()()(tKxtxdttdxTioo1)(TsKsG哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节2惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节）定定 义：义：动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。动力学方程为一阶微分方程形式的环节为惯性环节。传递函数：传递函数：1)(TsKsG特特 点：点：对突变的输入及其输出不能立即复现，输出无振荡。对突变的输入及其输出不能立即复现，输出无振荡。案案 例：例：多数热力学系统，如

56、热电偶。多数热力学系统，如热电偶。惯性环节由系统中储能元件和耗能元件引起的。惯性环节由系统中储能元件和耗能元件引起的。Xi（s）Xo（s）惯性环节1KT s 2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院定定 义：义：输出正比于微分的环节为微分环节。输出正比于微分的环节为微分环节。动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：特特 点：点：输出反映输入的微分。输出反映输入的微分。典型环节典型环节3微分环节微分环节TssG)(2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院测速发电机测速发电机（忽略磁滞、涡流和电枢反应的影响）（忽略磁滞、涡流和电枢反应的影响）cu tdd

57、kkuc 可见，可见， 为为理想微分环节理想微分环节。 iu图中，图中， 为为转角转角， 为为角速度角速度。 2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院微分环节的控制作用：微分环节的控制作用：1) 使输出提前使输出提前微分环节的输出提前预测了输入，实现对系统提前施加微分环节的输出提前预测了输入，实现对系统提前施加校正作用，提高系统的灵敏度。微分环节常用来改善控校正作用，提高系统的灵敏度。微分环节常用来改善控制系统的动态性能。制系统的动态性能。 2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院2) 增加了系统阻尼增加了系统阻尼增加微增加微分环节分环节分母中分母中s

58、s的系数与的系数与阻尼有关阻尼有关分母中分母中s s的系数与的系数与阻尼有关阻尼有关2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节4积分环节积分环节定定 义：义：输出正比于输入对时间的积分的环节为积分环节。输出正比于输入对时间的积分的环节为积分环节。动力学方程：动力学方程：传递函数：传递函数：特特 点：点：输出量为输入量对时间的积累；输入消失，输出具有记忆输出量为输入量对时间的积累；输入消失，输出具有记忆功能。功能。dttxTtxio)(1)(TssG1)(Xo(s)Xi(s)1/Ts积分环节2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院当输入信号为

59、单位阶跃信号时当输入信号为单位阶跃信号时2111)(TsSTssXo系统输出为：系统输出为：经Laplace逆变换后，系统的输出： tTtxo1)(Xi(t)tXo(t)Xo(t)Xi(t)0T其特点是输出量为输入量对时间的累积，输出幅值呈线性增长，对于阶其特点是输出量为输入量对时间的累积，输出幅值呈线性增长，对于阶跃输入，输出要在跃输入，输出要在t=Tt=T时，才等于输入，故有时，才等于输入，故有滞后作用滞后作用。经过一段时间。经过一段时间的积累后，当输入为的积累后，当输入为0 0时，输出不再增加，保持该值不变，具有时，输出不再增加，保持该值不变，具有记忆功记忆功能。能。在系统中凡有储存或积

60、累特点的元件，都具有积分环在系统中凡有储存或积累特点的元件，都具有积分环节的特性。积分环节常用来改善系统的稳态性能。节的特性。积分环节常用来改善系统的稳态性能。 2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院实例：齿轮齿条传动系统( ) t)(txr 齿轮齿轮齿条传动齿条传动0( )( )d( )( )( )( )( ):( )tx trttrX srX ssG ssssKG ss数学模型积分环节传递函数的一般形式2.3.3 典型环节的传递函数 哈尔滨工业大学 机电工程学院典型环节典型环节5振荡环节（二阶振荡环节）振荡环节（二阶振荡环节）传递函数传递函数：2222)(nnnsss