数列知识点所有性质总结

1、三、等差数列与等比数列性质的比较等差数列性质等比数列性质1、定义an+i-an=d（n之1）；an-an-i=d（n之2）生！=q（n至1）,巴=q（n2）anan-12、通项公式不=a+（n-idan=am+（n_m）d（n,mwN*）nAan=a1qn_man-amq3、前n项和_（ai：an）nSn2,n（n-1）Sn=na+2dq=1,&=间q,小1-q1-q4、中项a+ba、A、b成等差数列之A=;2an是其前k项an-k与后k项an+k的等差中项，即：an=an-k+an+k2Aba、A、b成等比数列u=一aA（不等价于A2=ab,只能二）jan是其前k项an*与后k项an+k的等

2、比中项，即：a2=an-kan+k5、下标和公式若m+n=p+q,则am+an=ap+aq特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap若m+n=p+q,则。oo匕特别地，若amanapaq_2m+n=2p,则0，a=aamanap6、首尾项性质等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾两项的和，即：a+an=a?+an二=ak+an封等比数列的第k项与倒数第k项的积等于首尾两项的积，即：a1an=a2an=ak97、结论an为等差数列，若m,n,p成等差数列，则am，an，ap成等差数列an为等比数列，若m，n，p成等差数列，则am，an，ap成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）等差数列a

3、n，bn的公差分别为d,e，则数歹支an+bn仍为等差数列，公差为d+e（两个等比数列的积仍是等比数列）等比数列an,bn的公比分别为p,q,则数列anbn仍为等比数列，公差为pq取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的新数列仍为等差数列，且公差为2d取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新2数列仍为等比数列，且公比为q若am=n,an=m（m丰n）,则am.=0无此性质；若Sm=n,Sn=m(m丰n),贝USm4n=_(m+n)无此性质；若Sm=Sn(m*n)，则5m并=0无此性质；Sm，S2m-gm，S3m-S2m，成等无数列，公差为m2dSm，S2m-Sm，S3m-$m，成等无数m歹u,公

4、比为q当项数为偶数2n时，s偶字=ndS奇_anS偶an小当项数为奇数2n1时，5fs禺=g八s奇nS2nL（2n-1）a中?-1s偶n一1当项数为偶数2n时，S=q5f当项数为奇数2n-1时，字=a+qS偶8、等差（等比）数列的判断方法定义法：an_anA=d（n2）等差中项概念；2an=an+an卅（n22）函数法：an=pn+q（p,q为常数）关于n的一次函数仁数列a。是首项为p+q,公差为p0）的等差数列；数列an的前n项和形如Q2Sn=an十bn（a,b为常数），那么数列an是等差数列，定义法：-aL=qan2.一等差中项概念；anan及=an书（an丰0）函数法：an=cqn（c,

5、q均为不为0的常数，nwn+）,则数列an是等比数列.数列an的前n项和形如Sn=AqnA（A,q均为不等于0的常数且qw1）,则数列斗是公比不为1的等比数列.9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列等差数列一、填空题1 .在等差数列中已知ai=12,26=27,则d=12 .在等差数列中已知d=-一，a7=8,则ai=33 .（a+b）2与（ab）2的等差中项是4 .正整数前n个数的和是5,数列an的前n项和Sn=3n-n2,则an=二、选择题1 .在等差数列an中a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+%-a9+a10的值为（）A.84B.72C.60D.482 .在等差数列an中

6、，前15项的和Si5=90,28为（）A.6B.3C.12D.43,等差数列an中，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78，则此数列前20项的和等于（）A.160B.180C.200D.2204.在等差数列an中若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+%的值等于（）A.45B.75C.180D.300三、计算题1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的有关未知数：.5.1一（1）a1=,d=-,Sn=-5,求n及an；（2）d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn662,设等差数列an的前n项和公式是Sn=5n2+3n,求它的前3项，并求它的通项公式3 .如果

7、等差数列an的前4项的和是2,前9项的和是-6,求其前n项和的公式。等比数列一、填空题1,若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中项是.4 .在等比数列4中，（1）若产（，,则药二；z.10（2）若&=7a3,贝Uq=;若a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则&=.5 .在等比数列an中,(i)若a7.a2=5,则a8a9a1。a尸；(2)若a1+a2=324,a3+a=36,则as+a6=；6 .一个数列的前n项和Sn=8n-3,则它的通项公式an=二、选择题3、已知an是等比数列，且an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于A.5B.10C

8、.15D.204、 .等差数列an的首项ai=i,公差dwo,如果a1，a2,a5成等比数列，那么d等于A.3B.2C.-2D.2或-25、 .等比数列an中，a5+a6=a7-a5=48,那么这个数列的前10项和等于A.1511B.512C.1023D,10246、 .等比数列an中，a2=6,且a5-2a4-a3=-12,则an等于A.6B.6.(-1)n-2C.62n-2D.6或6(-1)n-2或62n-2数列求通项与求和常用方法归纳一、知能要点1、求通项公式的方法：(1)观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式an；Sin=1,(2)利用前n项和与通项的关系an=iqSn-

9、Sn1n2；(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式；(4)累加法：如an+1an=f(n),累积法，如a11=f(n);an(5)转化法：an+1=Aan+B(AwQ且Aw1)2、求和常用的方法：(1)公式法:Snn(a1an)=na1nd22na1(q=1)Sn=但(1-qn)(一八(q)1-q(2)裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项,应掌握以下常见的裂项:D1(-n(nk)knD-22()；k2k2-12k1k1k-k1一(k1)k1k1(k-1)k-k-1-k=n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)1f2）【例5】已知数列an前n项和S

10、n=4an-与.2n求an4与an的关系；（2）求通项公式an.考点2:数列求和题型1公式法例7已知Qn是公差为3的等差数列，数列bn满足bi=122=1,anbn+bn+=nbn.3求也的通项公式；（2）求Q）的前n项和.题型2裂项求和2【例8】Sn为数列an的前n项和.已知an0,an+2an=4Sn+3.求an的通项公式；1(2)设bn=，求数列bn的刖n项和.anan1题型3错位相减求和【例9】已知数列an和bn满足，ai=2,bi=1,4书=2%(nwN),1 11*bi-b2-b311bn=bn1-1(nN).2 3n求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.题型

11、4分组求和【例10已知an是等差数列，满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且一an为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和.三、知能运用训练题1、(1)已知数列(an1中，a1=2,an=an+2n1(n之2),求数列Qn1的通项公式；(2)已知Sn为数列配的前n项和，a1=1,Sn=n2&,求数列1aj的通项公式2、已知数列iaj中，a1=1,an书=2an+3,求数列GJ的通项公式3、已知数列以中，a=1且刊=2an+3n,求数列a的通项公式.4、已知&为数列n的前n项和，Sn=3an+2(nwN+n2),求数列n的通项公式5、已知数列以中，ai=1,an书=3an+3、求数列右口)的通项公式.1n6已知数列匕0是首项为正数的等差数列，数列的刖n项和为an问12n1(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=(an+