数学周报杯全国初中数学竞赛天津赛区试题参考答案及评分标准

1、学习必备欢迎下载“数学周报杯20XX年全国初中数学竞赛(3)若x1,y0,且满足xy=x（天津赛区）试题参考答案及评分标准x3y_=xy,则x+y的值为（）.(A)1(B)211(D)一2、选择题（共5小题，每小题7分，？茜分35分）【答】C.一、5.5-3(1)设x=，则代数式x(x+1)(x+2)(x+3)的值为().2解：由题设可知yy=xy,3yyx4y-1=1.(A)0(B)1(C)1(D)2【答】C.解：由已知得x2+3x+1=0,于x(x1)(x2)(x3)=(x23x)(x23x2)=(x23x1)2-1=-1.则4S的整数部分等于（）.(A)4(B)5(C)6(D)7【答】A

2、.(2)已知x,y,z为实数，且满足x+2y5z=3,x-2y-z=-5,则解：当k=2,3,HI222x+y+z的最小值为().(A)-11D.(B)0(C)554(D)11111所以1；S=133-IH-3:二233320113解:x2y-5z=3,x=3z7,可得*工x-2y-z-5,y=z2.=11z2-2z51kk2-12Hk-1kkk1因此，当z=一时,11x2十y2+z2的最小值为54.11111-22201120124于是有44S5,故4s的整数部分等于4.（5）点D,E分别在Sg边形EADF=S1，SBDF=S2,则S1S3与S2S4的大小关系为（(A)S1s3Sj,所以s1

3、s3s2s4.S2BFS3解：由1x0,二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)(6)两条直角边长分别是整数a,b(其中b2011),斜边长是b+1的直角三角形的个数为.【答】31.一1一1且X-0,得一解：由勾股定理，得a2=(b+1)2b2=2b+1.因为b是整数，b2011,所以a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个,3：5：III,632.因此a一定是3,5,，63,故满足条件的直角三角形的个数为(7)一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是4,5,6,8.同时掷这两枚骰子，则

4、其朝上的面两数之和为7的概率是解：在36对可能出现的Z果中，有6对：(1,6),(2,5),(2,5),(3,4),(3,4),(4,3)的和为7,所以朝上的面两数字之和为7的概率是3662312,-xx-,22，一133由于一一0)与矩形OABC的边CB,xEF,则OEF的面积为B的坐标为(a,b),则点F的坐标一b2为(a,).因为点F在双曲线y=一上，所以ab=4.2x又点E在双曲线上，且纵坐标2一为b,所以点E的坐标为(三，b).于bBA分别交于点巳第(9)题学习必备欢迎下载S.OEF二S弟形OFBC-S.oeC-S.FBE则方程x2+cx+a=0的两根为a+1,P十1,由题意得1/b

5、0121=-b)ab-一222b213=ab1-2)=3.22两式相加，得aP+2a+2P+1=0,即(a+2)(P+2)=3,(10)如图，在RtAABC中，斜边AB的长为35,正方形CDEF内接于ABC,-2=1,所以，一2:3;一二2二-3,或一-2-1.10分:-5,或一-3.20分且其边长为12,则ABC的周长为.【答】84.解：如图，设BC=a,AC=b,贝Ua2+b2=352=1225.又RtAAFERtAACB,FEAF口u12b-12所以=，即一=,CBACab故12(a+b)=ab.由得(a+b)2=a2+b2+2ab=1225+24(a+b),解得a+b=49(另一个解一

6、25舍去)，所以a+b+c=49+35=84.三、解答题(共4题，每题20分，共80分)(11)已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程2x+ax+b=0的两个根者B大1,求a+b+c的值.:-1,解得一=1；又因为a=一(+P),b=o(P,c=(a+1)+(P+1),所以a=0,b=1,c=2；或者a=8,b=15,c=6,故a+b+c=3,或29.(12)如图，点H为乙ABC的垂心，以AB为直径的。1和BCH的外接圆。2相交于点D,延长AD交CH于点P,求证：点P为CH的中点.证明：如图，延长AP交。O2于点Q,连接AH,BD,QB,QC,QH.因为AB为OO1的

7、直径，所以/ADB=/BDQ=90口.5分故BQ为。O2的直径.解：设方程x2+ax+b=0的两个根为a,P,其中ct,P为整数，且awP,学习必备10分欢迎下载又因为点H为八ABC的垂心，所以AH1BC,BH1AC.y=kxt,由22X,/日22得一x-kxT=0,3所以AH/CQ,AC/HQ,曰3XpXQ=t四边形ACQH为平行四边形.15分BCyPt22.2222/、-Xpt-Xp-XpXq-Xp(Xp-Xq)3333Xp所以点P为CH的中点.20分BDy”t!$%2)x（13）如图，点A为y轴正半轴上一点，A,B两点关于x轴对称，过点A任又因为PCxPQDXqBCPC,所以二BDQD作

8、直线交抛物线22y=x于p,q两点.3（I）求证：/ABP=ZABQ；（n）若点A的坐标为（0,1）,且/PBQ=60o,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式因为/BCP=/BDQ故/ABP=ZABQ.（H）解法由（i）可知90s,所以BCPABDQ.10分解：（I）如图，分别过点P,Q作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点A的坐标为（0,t）,则点B的坐标为（0,-t）设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,并设P,Q的坐标分别为（xP,yP）,（Xq,yQ）.设PC=a,DQ=b,不妨设ab0,/ABP=/ABQ=30BC=V3a,BD=T3b,所以AC=33a-2,AD=2-3b.因为PC

9、/DQ,曰PCACDQAD所以ACPADQ.即a=V3a2.所以a+b=ab.b2-3b,3333v3由(I)中xPxQ=一一t,即一ab=一一,所以ab=，a+b=,2222学习必备欢迎下载是,可求得a=2b=.3.同理，若xQ=J3可得Xp：3,从而k=3(xP+xQ)=Y3Q233将b=也代入y=2x2,得到点Q的坐标(2321)215分所以，直线PQ的函数解析式为一、3再将点Q的坐标代入y=kx+1,求得k=3y=-x+1,或y=-x+1.3320分所以直线PQ的函数解析式为y=_Y3x+1.3(14)已知ai0,i=1,2,|L2011,且rma2HIa2011,证明:根据对称性知,a1，alll,a201中一定存在两个数2,aj(ij),使得aj-ai(1a)(1,aj)所求直线PQ的函数解析式为y=Y3X+1,或y=，3X+1.33201020分2010证明：令x=，i=12I，2011,1ai解法二设直线PQ的函数解析式为y=kx+t,其中t=1.则:二X2011：二X2010:|H:二x1：:：2010.10分(I)可知，/ABP=ZABQ=30,所以BQ=2DQ.故一定存在1wk2010,2xq=xQ(yQ1)2.yQ=2若代