数形结合解不等式问题

1、数形结合解不等式问题数形结合解不等式问题河北省玉田县林南仓中学金志刚(邮编064106)不等式问题是高中数学中的重要内容，也是历年高考的必考题目。有些题目因为计算量大很多学生感觉学起来困难太大，以至产生了畏难情绪。本文试图将抽象数学问题与具体直观图形结合起来，充分利用图形性质和特点，对问题理行分析思考，化抽象为直观，化繁琐为简洁。例1已知集合Ax1g(xa1)1g2，集合Bx(xa)(x2)0,若AUB=R则实数a的取值范围是。分析：如用代数法解不等式，求a的取值范围，需分三种情况讨论，而用数形结合方法则可一步获解。由Ax1g(xa1)1g2aAxa1xa1又由Bx(xa)(x2)0,令f(x

2、)(xa)(x2),据图可见AUB=R的充要条件是f(a1)0,3a01a3.f(a1)0a10例2设函数f2T,1X2,X0一，右f(x0)>1,则x°的取值氾围是x>0A、(-1,1)C、(-,-2)(0,+B、(一1,+00)D、(-,1)(1,+)分析：本题主要考查函数的基本知识，利用函数的单调性解不等式以及考生借助数形结合思想解决问题的能力。一般解法：10或xX0解得得X<-1或xX212X111。解法2:如图1,在同一坐标系中，作出函数y=f（x）的图象和直线y=l,它们相交于（-1,1）和（1,1）两点，由f（x）>1得x<-1或x>

3、1例3解不等式,反"xx0常规解法：原不等式等价于（I）x20或（II）x2x解是x<-或X>-2解（I）得0x2;解（II）得2x0综上可知，原不等式的解集为x|2x0或0x2数形结合解法：令Y12,y2x,则不等式Jx2x的解就是使yJx2的图象在yx的上方的那段对应的横坐标。如右图，不等式的解集为x|xaxxb，而xb可由Jx2x解得xb2,xa2,故不等式的解集为x|2x2,一一1例4右-3<一x“/11、A、（-3，2）<2,则x的取值范围是（-/1B、（2，八，1一，1、一,1、，1、C、（-3，0）（2,+）D、（-,-3）（2,+），一，-一一

4、，1,分析：本题若用常规解法则比较花时间，若用函数y=；的x图象求解，则比较简单。如右图不难得出-3<.1<2的x|2x2x/=1虱37-#）总有意义，求例5.设对于任意实数“叶2,2,函数实数a的取值范围。解法1:函数有意义，则3"祢-#）口,即/+"-为口在汇曰一，4上总成立。设g=#即当卜武也2时，以打.；口总成立。（以-2）<0:依抛物线小冢制的特征，将其定位，有冢2<。，如下图i所示。4%<0/曰二I八，解得淳>44一<0（O解法2：对于不等式达-康工-/>Q,因为兀曰一34,所以3一工中5，不9a>3-7H6

5、等式可化成3-K0只要次>A（x）=3-63一齐的最大值即可。9t=3x,x巨1,5,6+为（工）=E匚,u、设L£的图象如下图2所示，可知b+双刃的最大值为10,故处幻最大值为4,则s、4。图2点评：解法1抓住了抛物线的特征，由实数a的不等式组，将抛物线定位，再求解范围。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次数形结合的机会。解法2将实数a从不等式中分离出来，对后边函数中|3-工换元后,利用典型函数图象直观地求其最大值，求得a的范围，体现数形结合的思想，不失为好办法。例6.解不等式：分析：本题是道高考的容易题，但实际上当年考生得分并不高，错误的原因就在于绝大多数

6、同学只会用分类讨论的方法解此无理不等式，而在讨论时，又分类不全，错误率很高，其实只要有数形结合的思想，利用图象求解，本题还是很容易的.解作与y=x+1的图象于同一坐标系，解方程组得出交点A(2,2),注意到B(2)结合题意可能不等式的解为:例7.解关于x的不等式(I)ig(3x)11、ig(x-)ig(2x二)；22(n)ig(3、1、7c1、7c1、"x)ig(x-)ig(-x2mx-)ig(x2mx-),其22222.解：(I)lg(3x)ig(x-)(2x),3x0,(3x)x3,0,11(x2)2x210.32(x4)160,原不等式的解集为x'2ig(3x)ig(x

7、12mx)(125，*m5),等价于30,0,(3x)2mx2,(1m5).3x3,2mx10,(13)22mx,(x(,3),m(1,)。x23511令直线l:y2m,(1m-),曲线c:yx,x(,3),作出直线l与曲线4 x2c的图象。5 5(1)当22m5,即1m5时，直线l与曲线c有两个公共点，公共点24的横坐标是x1m/m21,x2m<m21,此时不等式的解集为x(,mVm1mv'm21,3)。2(2)当52m10,即5x5时，直线l与曲线c有一个公共点，公共2343点的横坐标是xmv'm21,此时不等式的解集为xmmm21,3)。点评：本题的关键是将不等式问

8、题转化为直线l:y2m,(1m5)与曲线411c:yx1,x(，,3)之间的图像关系问题，通过数形结合直接写出不等式的解x20例8.已知全集=及，集合月七/-，,C-相/家<0)(D试求实数5的取值范围，使；(2)试求实数修的取值范围，使Cnln豆.-I=j4=(rxa-x-6<0=x|-2<x<3)B=仁+-3>Oj=z|j<%或t>2)巾£-2,如23)豆叱=巾)工ni卜m当厘<0时C团如。J当厘=。时，C=0,当"'Q时，c曲"S）（1）如图，的充要条件是aXX7&2t211-11/0a233o

9、解得14s&2.（2）如图，Nn百的充要条件是j<0,比t,_LI1L3d-4-2a0。-2k点评：将集合jnm,工叫仃标在数轴上，则cnjn月和？口Xn©的关系的几何意义就是数轴上区间的覆盖关系，借助于图形的直观性再转化为与之等价的关于字母系数0的不等式组，可见不等式的解集的区间表示是很有意义的.例9试证：对任何a>0,b>0,c>0者B有1112.2-22.'22abab,bcbc.acac（当bac时等号成立）。证明：根据数式特征，可构造如右图形，其中的AB=aBC=cBD=b则2.2ADab2abcos602.24abab，CD，b2c

10、2bc,ACa2c2ac由图知AC+DCAC故原不等式成立。当A、DC共线时等号成立。此时SABCSABDSCBD故acabbc,111即bac0这说明了解决不等问题转化为图形处理，利用数形结合，开拓解题思路，真是耳目一新，化难为易。例10.已知函数f(x)=tanx,xC(0,冗若xi,x2C(0,冗且,xiwx2,证明：f(xi)2f(x2)f(xLx2)yc错证：作出y=tanx,xC(0,冗的图象。(如图)A_1t则点A(xi,f(xi)、点B(x2,f(x2)是图象上的不同两点，AC'线段AB的中点C的坐标是：(,f(xi)f(x2)22设C在X轴上的射影是Ci。CCi交y=f(x)的图象于D,由图象知CiC>CiD即f(xi)f(X2)f(2!)命题得证。22剖析：上述证法利用了图象的直观性，看似思路清晰、证法简洁，但实际上是不严密的。事实上，上述证明过程中用到了“y=tanx的图象在上下凸”的特性，而这个特性在初等数学中未加证明，故上述证法缺乏严密性因而是错误的。(正解略)数形结合思想是数学中基本的思想