数形结合思想及其在解题中的应用

1、数形结合思想及其在解题中的应用摘要：高中新课标中明确地把数学思想纳入基础知识的范围，这说明课程改革注意到了数学思想方法的重要性.数形结合思想是数学思想方法的重要内容之一，用数形结合思想解题可以通过直观，把问题化抽象为具体、化繁为简、化难为易，使得问题的求解过程变得简洁明了.但数形结合方法并不是万能的，在用数形结合思想解题的过程中还要考虑图形的准确性、存在性等.本文就对这个问题进行一些探讨并用几个例子进行解释.关键词：数形结合思想；几何；概率中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数

2、形结合的知识，主要体现是解析几何.而且在教材安排和习题等教学内容中，这几个模块基本上是各自独立的一一代数专门讨论“数”，平面几何和立体几何专门介绍“形”，而解析几何则专门讨论用解析式研究“形”一一曲线.但如何将它们结合起来运用，教材中还没有专门的论述，本文所说的正是这层意思.数与形是世界上万事万物存在的基本要素，因而专门反映数与形规律的数学在现实世界中无处不在、无处不用.数形结合思想是数学思想方法中非常重要的一种思维方法，本质上，它贯穿于数学发展的每一个阶段，而明确地体现则在笛卡儿的“变量”和解析几何诞生之后，并由此促成了初等数学向高等数学的发展，使数学从仅仅研究静止、平直的对象扩展到研究运动

3、变化和弯曲的对象.数形结合的思想方法应用非常广泛，在解题过程中，能化繁为简，化抽象为具体，对于帮助学生开阔思路、突破思维定势有极好的作用.在教学过程中，应注意有意识地培养学生数形结合的思维习惯.1数形结合思想的含义数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，简言之，就是研究“数”和“形”.数与形之间是有密切联系的，既可以由数来研究形，也可以由形来研究数.华罗庚先生曾告诫我们，在解决数学问题时，不要“得意忘形”，即是要求我们解决问题时重视数形结合思想的应用.数与形是事物的两个属性，数形结合就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体对象、表象的联系

4、与转化，达到化难为易、化繁为简1/10的目的.2数形结合思想产生的过程及其意义2.1 数形结合思想产生的过程现实世界的数与形本来应该是物质和事物的两方面属性，数学的发展也正是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的.在数学的萌芽时期，人们在长度、面积和体积的度量本来就是把数和形联系起来的，可在之后的数学发展进程中，由于数和形的应用与研究都有了丰硕的成果，形成了相对独立的“代数”与“几何”，各自有了系统的研究对象、研究方法，而显得各自独立，造成了数形分离.在公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位.当时代数的发展尚处于较低水平，尚未形成内容比较丰

5、富的体系.这时几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间的性质、图形关系问题的探讨归结成为一系列基本概念和基本命题来推演、论证.所以在当时数学家们都主要运用几何思想来处理数学问题，代数问题与几何问题没有明显的联系.随着数学研究范围的扩大，仅用传统综合几何的方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性的方法，这样使得几何学难于深入发展.例如，在古希腊时期，研究圆锥曲线就只能使用初等几何的方法，显得十分繁琐，而且效率很低。文艺复兴以来，生产力和科学技术的发展普遍引起了对机械运动的研究；对外贸易促使航海事

6、业的发展需要测定船舶位置进而研究天体运行到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，传统的初等数学已经无能为力，迫切地需要一种新的数学工具，数学家们开始寻求新的方法来解决数学问题.直到16世纪，法国数学家韦达最先认识到代数的力量，他尝试用代数方法来解决几何作图问题.要实现代数与几何的有机结合的关键在于空间几何结构的数量化，即把形和数统一起来，这一项工作是由笛卡尔完成的.笛卡尔继承和发展了韦达等人的先进数学思想，在1619年，笛卡尔悟出建立新方法的关键在于借助于坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可以用方程来表示曲线.与笛卡尔同一时代、同一国度的另一位数学家费马，也几乎

7、同时独立的发现了解析几何基本2/10原理.由此解析几何诞生，借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来，开创了几何代数化的新时代，数形结合得以实现.2.2 数形结合思想的意义数形结合思想的提出，不仅为几何学的研究提供了新的方法，使得很多难以解决的问题变得简单易解，还为几何学的发展注入了新的活力，为后来建立微积分理论奠定了基础.使得空间几何结构实现了数量化，而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以使n维乃至无穷维.并且可以把曲线看着是由“点”通过运动而生成的，这使人们对形的认识由静态的发展到了动态.数形结合的思想使得把复杂问题简单化、抽象问题具体化

8、，让人们更清楚的看清现实世界中的万事万物.3.数形结合原则数形结合一般遵循以下三个原则：3.1 等价性原则等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质应能对应，即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系具有一致性.3.2 双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析与代数计算能够互相解释.3.3 简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图和解析式简单合理，即使几何形象清楚又使代数计算简洁明了.4数形结合思想在解题中的应用在中学数解题中，有的题目比较抽象，不易理解；有的题目用常规方法解比较繁杂，使得问题不易解决.通过数形结合，可以使问题化难为易、化繁为简、变抽象为具体.在解决有关图形的问题时

9、，我们常通过引入数字参数、角参数或建立坐标系，把图形问题转化为数字式式子的计算问题来解决.同样，有关数字式子的问题，也可以通过画出相应的图形，根据图形的直观形象，迅速找到可靠的解题思路，使有些看似很难、很繁或很抽象的问题，得到简捷、直观的解决.下面以例题的形式来体现数形结合思想的这一特点：4.1 数形结合在解集合题中的应用3/10例1某校开运动会，九年级三班共有28名同学参加比赛，有15人参加足球比赛，有8人参加乒乓球比赛，有14人参加跳绳比赛，同时参加跳绳比赛和乒乓球比赛的有3人，同时参加跳绳比赛和足球比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加乒乓球和足球比赛的有多少人？只参加足球一项

10、比赛的有多少人？解：设A参加跳绳比赛的学生，B参加乒乓球比赛的学生C参加足球比赛的学生，同时参加乒乓球和跳绳比赛的学生有x人作出符合题意的韦恩图，如右图所示，结合题可知：card(AB)3,card(AC)3.card(BC)x.则1581433x28得x3,因此同时参加乒乓球和跳绳比赛的有3人，只参加足球一项比赛的有15339人.例2若非空集合Ax2a1x3a5,Bx3x22,求使AB成解：先在数轴上表示出集合关系可知集合B应该覆盖集合B的范围，要使AB,由包含于的立的a的集合.A,因为A为非空集合，所以2a13a5故a6,又AB,如右上图所示，2a13可知'3所以解得1a9,综上所

11、得6a9.3a5224.2 数形结合在解方程与不等式题中的应用有些方程与不等式问题，当用代数方法讨论比较繁杂时，可以利用图形将代数问题转换成几何问题，结合几何知识探求，可以使问题更容易解决.4/10例3设a为实数，求证：Ja2a1y'a2a1.证明：原不等式可变形为：:12骂2!12432脑2)底)衿2)(T)1设A(a2,43),B(a2,13),见右图，2222显然A、B两点不重合，且O、A、B不共线，故有|OAOB|AB即j(a2)2昌2J(a1)2(与V22222j(a2)(a1)2('二)2122222Ma2a1Ja2a11.例4方程Igxsinx的实根的个数是（）.

12、A3个B.4个C.5个D.6个解：方程lgxsinx的解是函数ylgx与ysinx的交点的横坐标，故两个函数图象交点的个数就是方程Igxsinx解得个数，在同一直角坐标系中作出ylgx与ysinx的函数图象，如上图所示.不难发现这两个函数图象有3个交点，所以方程Igxsinx有3个实根，故选A.讲评：这种通过图形得出答案的途径，由于作图的精确性难以要求很高，因此对于需要准确或精确地数值为答案的情形就不适用，只能用于答案比较粗略或者说是示意性的题目。这顺便也说明，数形结合方法的使用并不是万能的，有一定的局限性，只能根据具体问题灵活使用。4.3 数形结合在解函数题中的应用5/10函数图象可以形象直

13、观表示出函数所具有的性质，所以运用数形结合解函数题可以更方便简洁.例5试求函数y2§"人的值域.2cosx22sinx2sinx人tcosx解：y，令，则2cosx2(cosx)ssinx有t2s21,如下图所示，y的几何意义可看作是定点A（2,2）与单位圆上的动点P（t,s）连线的直线的斜率k,则直线PA的方程为（点斜式）:y2k（x2），即：kxy22k0易知，由单位圆圆心（0,0）到直线AP的距离小于等于圆的半径R1,可得,22k,1k2即3k28k30解得k±7,土7,332sinx4.74.7、所以函数y的值域为,.2cosx334.4 数形结合在解概率

14、题中的应用许多概率问题，若能借助于坐标平面或其它模型将数的问题转化为形的问题,以形助数，不仅能迅速找到解题的切入点，而且还能优化解题过程，提高解题速度.例6在集合（x,y）0x5,0y4内任取1个元素，能使代数式）y4312成立的概率是多少？解：如图10所示，（x,y）|0x5,0y4所表示的区域为矩形的内部（包括边界）的点集,（x,y）x丫19表示直线工319及其431243126/10上方所有点的集合，由右图可知，满足条件的点的集合为阴影部分，故所求概率s月影0.5433PP.s矩形4510例7两人相约在8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟方可离去，试求这两人能会面的概率.解：如

15、图11所示，以x、y分别表示两人到达时刻，口口建立直角坐标系则0x60,0y60,两人能会200面的充要条件是xy20,可能的结果是边为60的正方形里面的点，能会面的点的区域如图中的阴影部分，故所求概率为：22s阴影60405Po.S巨形60294.5 用代数方法解决几何问题我们在解某些几何题的时候，应用传统的几何方法不易解决或比较复杂时，可以借助三角函数的性质和图象，把几何图形中有关边与角的关系式转化为三角函数的关系式，再借助三角函数的有关概念与性质解决问题.例8如图15所示，四边形ABCH、HCDG、GDEF都是单位正方形.求证：ADCAEC.4解：此题如果用传统的初等几何思路来解，是比较

16、困难的，但是如果用数形结合思想，将将几何问题转化为三角函数来考虑，就相当直观和简单：11由图可知：tanADCtanAEC-,2311i,“2alc、tanADCtanAEC23tan(ADCAEC)=2/3,11tanADC*tanAEC.111 一2 3ADCAEC一45利用数形结合解题应该注意的误区在数学解题中，用数形结合思想解题直观、形象、简捷，为我们分析问题、简化解题过程开辟了一条重要的途径.但是在解决具体问题中，图形的准确性、7/10存在性及数学符号书写表达的规范与否，都会对解题的正误产生影响.在利用数形结合思想解题时，有可能由于缺乏对图形的准确性、存在性的认识，构图不准确或不具有

17、一般性或片面性，致使解题发生失误.例9方程x22x的解的个数为A.0B.1C,2D,3错解：在同一坐标系内作出函数yx2和y2x的图象，如左下图所示，它们有两个交点.分析：上述解法由于作图的粗糙而导致误判.正解：事实上，当x0时，两个图象显然只有一个交点.当x0时，考察yx2和y2x的增长“速度”的变化，如右下图所示，可以知道它们有两个交点，即点（2,4）和点（4,16）.错解：令f（x）x2mx1,结合右下图可知,要使抛物线和线段AB有两个交点，只须8/10f(0)3f(3)0B3分析：上述解法认为抛物线的顶点需在线段AB上方，事实上，它忽略了抛物线的顶点在线段AB下方或在线段AB上，而抛物

18、线与线段AB有两个不同的交点情形.正解：将直线方程代入抛物线的方程，即得到x2(m1)x40,要使抛物线与线段AB有两个不同的交点，只须次方程在0,3内有两个不同的根.令f(x)x2(m1)x4,则:f(0)0f(3)0cm1c0322(m1)2160解得3m36数形结合思想方法的教学数形结合思想方法的形成难于知识的理解与掌握，学生学习数形结合思想方法一般要经历三个阶段：一是模仿形成阶段，二是初步应用阶段，即学生对数学思想方法的认识开始己经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结出来，三是自觉应用阶段，学生能根据数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决.学生数形结合思想方法的学习过程，是一个通过具体例题逐步探索解决，循序渐进、由浅入深的过程，只有随时运用实际例子加以训练，才能使学生逐步掌握.美国心理学家布鲁纳在强调学习学科的基本理论和观念时指出：“懂得基本原理和应遵循的原则会使学科更易理解”，因此在数学