数学数列综合应用试题n

1、数学数列综合应用试题1,设等差数列|口的公差为a,且乙4亡若设AT：是从%开始的前弓项数歹U的和，即打:互与.qw.V。，Afju'E+qv+4（亡42A,”）,如此下去，其中数列口,是从第+1（玲=0）开始到第表（1三g）项为止的数列的和，即Jlf=a,_1-I+%（.!产.V*）.若数列，桂工1王庆¥*）,试找出一组满足条彳的m：lm，使得：此=期禺”（2）试证明对于数列/二城kF浦*）,一定可通过适当的划分，使所得的数列口几中的各数都为平方数；若等差数列4中%=1；门=2.试探索该数列中是否存在无穷整数数列乩斗气y父f心柱匚/,使得伍/为等比数列，如存在，就求出数列口几

2、；如不存在，则说明理由.【答案】（1）U-5+6t-+15-81（2）见解析（3）不存在【解析】（1）贝I.M；=LAZ;+.%=5-6+信=£】；（4分）（2）记-L即"i4l，又由：十3十4二9二3""：=好,所以第二段可取3个数，巧T-4；再由§十6十+13=31=3”，即*%=3.，因此第三段可取9个数，即名=1十3”：=1/，依次下去，一般地：Q=13-十3z=?，q=（6分）于一3:-1-1ja4-1所以3f（=）（!+）,（8分）3*7Ml十丁）S=12+3+-.+：_i=±±-'S=1+2+3+-+-

3、=七y1f），立-q（9分）由此得证.（10分）（3）不存在.令电+汕gHT：，则也假设存在符合题意的等比数列，则口必）的公比必为大于1的整数，此U仁一I-"1-U-+H，因此gAD,即工匚=4VFX此时，注意到，号M卜此+M-一虱1E+（14分）要使4=直14”步成立，则I-”才必为完全平方数，（15分）但gJl+g乜%g+i上矛盾.因此不存在符合题意的等差数列口.（16分）【命题意图】根据江苏考试习惯，最后两题往往有一条数列的题目，而数列的考查又主要以考查等差等比数列为最主要的素材和背景，其中对于（1）的问题的解决，主要是要仔细阅读题目，其实细心的学生会发现第2小题已经给我们指明

4、了方向，从第一个数开始适当划分，使每段的和为平方数，同时想办法满足心M画,这样既完成了第1小题，又可完成第2小题；对于（2）这类问题实质就是要我们作出一个符合条件的划分，由前面对（1）的处理，可知只要L二1-”十+广，则所得划分就是符合题意的，事实上，,S.十十二面,上茅7厂驴一】、=£*一或二下”是完全平方数；对于（3）这类问题通常总是假设存在，然后推导，能求出就说明存在，不能求出或推导出矛盾的结论就说明不存在，可以计算出,数列tn必定是公比目大于1的整数的等比数列，则说明是存在的，这里对代数式的处理能力的要求很高。2.上海理）在数列%中，%-7-1,若一个7行12列的矩阵的第i行

5、第j列的元素%二叩丐6*叼，（=1.Z一/。:1.3,12）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（B.28A.18【答案】A【解析】打=q。;灯4门=片一1,而上：=工工,19,故不同数值个数为18个，选A.【考点】考查数列的运算及综合分析问题的能力，属中档题。3 .安徽理）（如图，互不相同的点4,A.,凡和出机分别在角O的两条边上，所有4名相互平行，且所有梯形壮凡By.的面积均相等。设若叱=1=%则数列上的通项O公式是【答案】-一【解析】-旻乜星1.M）4由相似可知:S_<13八一：5。：设Sgg5，则S&44昆，名配&4里$乂矶£克小】）§+$.（

6、加力S所以.“一一【考点】考查对图形的认识，数列通项公式的求法，三角形相似等知识4 .对于项数为网的有穷数列数集qj,记力；=皿盯和。：,：q:=I二尸。，即为为丐、名、4 .中的最大值，并称数列包是向j的控制数列.如1、品工、5、5的控制数列是1、扑5、5.（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为二、3、4、5、5,写出所有的口；（2）设心/是区的控制数列，满足q+A.+二二（已为常数，入、2、”、*I）.求证：瓦二Q工；八.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）数列为：讣3工、回回;2、卧至、闾、2；倒、卧4、5、3|；2、B、4、44;2、3、耳5.；（2）因为=ni3x

7、rJ,3；timETf的田：.叫m_J,所以如二冬.因为弋=,氏t一_上C,所以门,W一2="苴T一葭“?"，即，T3,因此，5 .（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列白，的前n项和满足，且&又=0+2）：打后V*（1）求/的通项公式；（5分）（2）设数列，满足点产-1：=1,并记工为鼠的前n项和，求证：%+1>瑛式/+印町.（7分）【答案】（1）,同的通项为4-细1（2）证明见解析【解析】解：由勺=4=,泅+。应十力，解得丐或丐-2,由假设%=5>1,因此勺=2,6又由"e=l-r二工况17s.n-z冤7弧”，得即日一心一3三口或心.士

8、,因4>D故d,三心不成”,舍去.k.-HRE-rinr.是，旭|因此3,从而mj是公差为3,首项为工的等差数列,从而因此鼠7】=匕却二，.二2L_.七53k-1）3m+2令“喷=T二5二一二,二一二，贝1但7%:一一二'"31?才373"1一加K/（n）例事双捐门尸因加+WT知+$x加+切=珈-7nD，故河虱瓦丽特别地-_-20，从而其+1噩式/+：）&：/A。.证法二：同证法一求得力及三.，由二项式定理知，当L>0时，不等式Qy），1+3成立.1*(1V由此不等式有37；+1=101,21+i1+ib.0J58光十二cf/禁=I可；-7r二心

9、氐式孔+0瓦（力学-53n-I证法三：同证法一求得&及7;.人，36立加一47匕”15£三什可%5编一1363ff47翡+11因:匕、至二L克三.因此其、_<££；更上.31-1弱十】'.''"'2从而江+1=1口野二乙£二上-34>1昵，评<广1任例+0=1畛区十3）'2?jjj-l1-证法四：同证法一求得%及”.下面用数学归纳法证明：.当昨二1时，三工7二1。4二，Idc.+j）=Ug;55因此式%十孙,结论成立.假设结论当14时成立，即阳+1>1%刈）.则当握上一1时

10、，汉.1+1/式2_；+*=也一1+独t一凤：（%一句>1%色一外一108式*一一句一地7=,lop-r_因（3卡+打？-04+习（3*二;J-9k-7、Q.故"i'F_=>。.Fmiy从而旺三ggjQ.i二3J.这就是说，当x=Hl时结论也成立.综上过+】少g式七比对任何制7_成立.%+4rn6,已知各项均为正数的两个数列悒J和9J满足：“7=.=；,H=RF,TI,忆早孰，：（1）设k="=，心，求证：数列宁.:是等差数列；%产"I（2）设*7*,且石j是等比数列，求叫和工的值.【答案】（1）见解析（2）-7【解析】（1）根据题设一二

11、76;"，和兀.=14%，求出江.卜父,从而证明而得证。（2）根据基本不等式得到1<、”方,用反证法证明等比数列口J的公比。从而得到瓦IF.V'的结论，再由九”三,冬知色）是公比是4的等比数列。最后用反证法求出J_":设等比数列.的公比为g,由卜广口知一心,下面用反证法证明1若则3-*的工JF,当心1叫£时，%=%注3,与（*）矛盾若口yr则的二子.当心出口*时，心计l通/yi,与（*）矛盾。.I+:综上所述，1。.q吗1件工"!,:.WfW。又.£l-用三走I口；*1,.旧是公比是正的等比数列。%当中至少有两项相同，与忖矛盾。”

12、产袅【考点】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用，指数募和根式的互化,数列通项公式的求解，注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数若已知数列5的前力项的均倒数”为列的综合题，从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点、重点问题，在训练时，要引起足够的重视。7 .定义：称-为改个正数昼二是二总的均倒数勒“一也£一1(I)求数列kJ的通项公式；(n)设式_。q,试求数列/的前制项和【答案】(I)4=时】(n北=4修”片，山【解析】(I)由已知得=-./+a+4=制(1"4。=用a4-+a5In-1'''&

13、#39;3分当ti三二时，=另一切_；=4阵一1当件二时也成立，二%=4.一16分(n)7；=3x2+7x2a+llxf+-+(4n-l)x2"(1)=3x2?+7x3fl+llx2*+-+(4fl-l)x2-1(2) 9分由(1)-(2)得一几二b+4,(2W4尸)一0打一1)“1；=i4肛一$|-工3+1(512分8 .在各项土不为0的数列4中，若。广1,电=g，贝ij的心=()A1o1clclA.B.C.D.402-4028402?4031【答案】C【解析】数列r的各项均不为0,故将二口依仁二%；峭.十%，两边同除以口齐附外:得，-1+,二数列_!_是首项为1,公差为2的等差数

14、列，=4029,.$.1=!_,故o聊1ajt/二%03?巧JO29选C.9 .列an的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(p,q为常数，n6N*),a1=2,a2=1,83=q一3p.(1)求p,q的值；(2)求数列an的通项公式；(3)是否存在正整数m,n,使寸一成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m,n)；若不存在，说明理由.【答案】(1)卜道；|g=2(2)an=.工(3)存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为：(1,1),(2,1),(2,2),(3,2)(3,3),(3,4).F，flIS1方8+if3-2£3+-iffn=.【解析】(1)由题意，知/即，

15、二解之得2(4分)fs.=pS：+(2)由(1)知，Sn+1=2Sn+2,当n>2时，Sn=Sn1+2,一得，an+1=an(n>2),(6分)an又a2=al5所以an+1=；an(n6N),所以an是首项为2,公比为；的等比数列，所以*白.(8分),即2n(4m)>2,所以m<4,且2<2n(4m)<2m+1+4,(*),因为m6N*,所以m=1或2或3.(12分)当m=1时，由(*)得，2<2n><8,所以n=1；当m=2时，由(*)得，2<2nX2<12,所以n=1或2;当m=3时，由(*)得，2<2n<20,所以n=2或3或4,综上，存在符合条件的所有有序实数对(m,n)为：(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4).(16分)【命题意图】本题考查等比数列的通项公式及等比数列的前n项求和公式等基础知识，意在考查学生运用数形结合思想、转化与化归思想以及综合分析问题解决问题的能力以及运算能力.10.单调递增数列褊的前打项和为品，满足及，_科).(1)求名，.，并求数列Sj的通项公式；q为奇哉(2)设O=1,求数列的前2门项和.产一1的偶数【答