数形结合数学思想

1、数形结合数学思想数形结合思想然后作出两个函数的图象，由图求解.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围.(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围.(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系.(4)构建函数模型并结

2、合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式.(5)构建立体几何模型研究代数问题.(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(7)构建方程模型，求根的个数.(8)研究图形的形状、位置关系、性质等.应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域.(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图),热点一利用数形结合思想讨论方程的根【例1(2014山东)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的

3、取值范围是()A.(0,；)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+8)解先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象，如图所示，当直线g(x)=kx1与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为2，故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为己，1).思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形车t化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.x2+bx+c,x<0,变式训

4、练(1)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程12,x>0,f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4答案解析由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,数形结合数学思想热点二利用数形结合思想解不等式、求参数范围例2已知奇函数f(x)的定义域是X|XW0,xCR,且在(0,+8)上单调递增，若f(l)=0,则满足Xf(x)<0的X的取值范围是解得解作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知xf(x)<0的x的取值范x2+4x+2,x<0,b=4,c=2,f(x)=£2,x>0.作出函数y=f(x)及y=x的函数

5、图象如图所示,围是(一1,0)U(0,1).思维升华求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式由图可得交点有3个.、一x一(2)万程sin2x的解的个数是4A.5B.6C.7D.8解在同一平面直角坐标系中画出y=sin一xx和y=4的图象，如下图JiinTTJt中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.变式训练(1)设人=(乂，y)|x2+(y-1)2=1,B=(x,y)|x+y+m>0,则使A?B成立的实数m的取值范围是解集合A是一个圆x2+(y1)2=1上的点的集合，集合B是

6、一个不等式+y+m>0表示的平面区域内的点的集合,要使A?B,则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x+y+m=0应与圆相切或相离(在圆的下方),而当直线与圆相切时有yLi,又m>0,所以m=J21,观察图象可知y=sinxn和y2=的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限故m的取值范围是m>J21.也有3个交点，在加上原点，共7个交点，所以方程sinx:有7个解.数形结合数学思想(2)若不等式9<k(x+2)，2的解集为区间a,解令yi=-x2,y2=k(x+2)->/2,在同一个坐标系中作出其图象，因一成的解集为a,b且ba=2.结合图象知b=

7、3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(4)(2013课标全国I)已知函数f(x)=*x?+2x,xW0,若|f(x)|>ax,则a的取值范围是()ln(x+1>x>0.A.(8,0B.(巴1C.-2,1D,-2,0解函数y=|f(x)|的图象如图.当a=0时，|f(x)|>ax显然成立.当a>0时，只需在x>0时,又因为点(一2,m)在直线上,ln(x+1)nax成立.2V2+J2所以k=匚=啦.1+2比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度.(3)不等式|x+3|-|x-1|<a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()显然不存在a>0

8、使ln(x+1)Rax在x>0上恒成立.A.(8,1U4,+8)b.(8,2U5,+8)当a<0时，只需在x<0时，x22x>ax成立.C.1,2D.(巴1U2,+oo)即a>x2成立，所以a>-2.-4(x<3)解f(x)=|x+3|-|x-1|=22x+2如图，可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要(-3<x<1(x*)综上所述：2WaW0.故选D.(5)设关于。的方程J3cos。+sin。+a=0在区间(0,2兀内有相异的两个实根a、1或a>4.正确选项为A.(1)求实数a的取值范围；(2)求a+3的值.-、一兀a.一.兀解(

9、1)原万程可化为sin(叶&)=,作出函数y=sin(x+g)(xC(0,2兀助)图象.22ITTTz?由图知，方程在(0,2冠有相异实根”，3的充要条件1-1<-a<1,2是彳厂即一2vav43或一3Vav2.aw亚22，,一.一a一(2)由图知：当一V3<a<2,即一万6.ji,.a.兀,直线y=j与二角函数y=sin(x+4)的图象23数形结合数学思想|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，|3X1

10、+4X1+8|此时|PC|=J22=3,3+4从而|PA|=|PC|2|ACf2=2j2.所以(S四边形PACB)min=2X'X|PA|X|AC|=2.交于c、D两点，它们中点的横坐标为,所以丁=£所以叶片y.d2=|3-0-1|2)(.2)2=2.当一2vav弧即一趣61，寸，直线y=微与三角函数y=sin(x+3)的图象有两交点A、B,.a+37r_tt一.tt.77r由对称性知，不一=5所以叶综上所述，叶片9或r26333热点=利用数形结合思想解最值问题【例3(1)已知P是直线l:3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A、

11、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为.(2)已知点P(x,y)的坐标x,y满足F2y、序0'则x2+y26x+9的取值范围是()l|x|-y1w0,A.2,4B.2,16C.4,10D.4,16解)画出可行域如图，所求的x2+y26x+9=(x3)2+y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x-y-1=0(x>0)的距离d的平方，最大值为|QA|2=16.P沿直线3x+4y+8=0向左上方或11PAC的面积SrFpac=2A|AC|=2，取值范围是2,16解从运动的观点看问题，当动点右下方无穷远处运动时，直角三角形数形结合数学思想x-

12、y+K0,变式训练(1)若实数x、y满足x>0,收2,则y的最小值是可行域如图所示.又"勺几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.x由图知，过点A的直线OA的斜率最小.x-y+1=0,2-0y联立,得A(1,2),所以koA=2.所以的最小值为2.y=2,1-0x解析./AOB=90°,.点O在圆C上.设直线2x+y4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+y-4=0的距离，点C在以O为焦点，以直线2x+y4=0为准线的抛物线上,当且仅当O,C,D共线时，圆的直径最小为|OD|.12X0+0-414又OD|=一证圆C的最小半径为答案当/AOB

13、=(2) (2013重庆)已知圆Ci：(x2)2+(y3)2=1,圆C2：(x3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆Ci,C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为()A.5亚-4B.V17-1C.6-2亚D.历解设P(x,0),设C1(2,3)关于x轴的对称点为G'(2,3),那么|PC1|十|PC2|=|PC1'|十|PC2|刁CC2|=aJ(2-32+(-3-4f=5点而|PM|十|PN|=|PC1|+|PC2|4'524.(3) (2014江西)在平面直角坐标系中，A,B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y4=0相切，则圆C面积的最小值为()A.4兀B.3兀C.(6-25)TtD.5兀544圆C面积的最小值为71)2=:5兀,(4) (2013江西)过点(寸2,0)引直线l与曲线y=>/1x2相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为.111解析,.SaAOB="OA|OB|sinZAOB="sinZAOB<".,SaAOB面积最大.此时O到AB的距离d=4.设