整理常见曲面

1、精品文档第三章常见曲面§3.1球面和旋转面1.1球面的普通方程球面方程的建立首先建立球心在点M0(X0,y0,Z0),半彳至为R>0的球面方程。根据以下充分必要条件M(x,y,z)在球面上uM0M=R,2222x-X0：ITy-y°：ITz-Z0):=R,(3.1)展开得x2y2z22blx2b2y2b3zc=0,(3.2)其中,h=-x),t2=_%,t3=-z)c=%2+y。2+z02R2。(3.1)或(3.2)就是所求球面方程,它是一个三元二次方程，没有交叉项(xy,xz,yz项)，平方项的系数相同。反之，任一形如(3.2)的方程经过配方后可写成:(x+b2+(

2、y+b2j+(z+b3j+c-b12也2f2=0,.222222.当h+b2+b3AC时，它表小一个球心在(-bi,-b2,-b3),半径为vbi+b?+4c的球面；当b12+b22+b32=c时，它表示一个点(_b1,_b2,b3)；当42+b22+2<c时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面)。1.2球面的参数方程，点的球面坐标如果球心在原点，半径为R,在球面上任取一点M(x,y,z),从M作xOy面的垂线，垂精品文档精品文档足为NN,连OMQN。设x轴到ON的角度为邛，ON到曲的角度为6（M在xOy面上方时，e为正，反之为负），则有lx=Rcos二cos:,(3.3)Q6,其中中称

3、为经度,y=Rcos二sin;:,0,:二2二，一-<.22|z=Rsin*（3.3）称为球心在原点，半径为R的球面的参数方程，有两个参数日称为纬度。球面上的每一个点（除去它与z轴的交点）对应唯一的对实数（日W）,因此但严）称为球面上点的曲纹坐标。因为空间中任一点M（x,y,z2在以原点为球心，以R=OM1为半径的球面上，而球面上点（除去它与z轴的交点外）又由它的曲纹坐标®，邛）唯一确定，因此，除去z轴外，空间中的点M由有序三元实数组（R,8W）唯一确定。我们把（R,e,邛）称为空间中点M的球3T3T面坐标（或空间极坐标），其中R>0,-<e<,0<p&

4、lt;2jt。点m的球面坐标（RH中22，与M的直角坐标（x,y,z的关系为x=RcosHcosQR之0,<y=RcosHsinQ-<9<,（3.4）22z=Rsim,0_2二1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程F（x,y,z）=0,曲面的参数方程是含有两个参数的方程：x=x（u,v）,，y=y（u,v）,aWuWb,cWvd,（3.5）、z=z（u,v）,其中，对于（u,v）的每一对值，由（3.5）确定的点（x,y,z心此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由（u,v）的某一对值（3.

5、5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5）,曲面上的精品文档精品文档点(可能要除去个别点)便可以由数对(u,v)来确定，因此(u,v)称为曲面上的曲纹坐标。空间中曲线的普通方程是两个三元方程的联立：F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线，曲线的参数方程是含有一个参数的方程：x=x(t),<y=y(t),a<t<b.(3.6)、z=z(t),其中，对于t(a<t<b)的每一个值，由(3.6)确定的点(x,y,z而此曲线上，而此曲线上任一点的坐标都可由t的某个值通过(3.6)表示。例如，球面x2+y2+z2=R2与xOy平面相

6、交所得的圆的普通方程为：x2y2z2=R2,z=0.而这个圆的参数方程是:x=Rcos:y=RsinQ1.4旋转面球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面。下面研究更一般的情形。一、旋转面的定义定义3.1一条曲线上每个点M。绕l旋转得到一个圆，称为纬圆，纬圆与轴垂直，过l的半个平面与旋转面的交线为经线(或子午线)。经线可以作为母线，但母线不一定是经线。已知轴l过店Mi(Xi,y1,Zi),方向向量为v(l,m,n),母线的方程为:精品文档精品文档F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0二、旋转面的方程的求法点M(x,y,z庇旋转面上的充分必要条件是M在经过母线r上某一点M0(xo,

7、yo,zo)的纬圆上(如图3.2)。即，有母线上的一点M0使得M和M0到轴l的距离相等(或到轴上一点Mi的距离相等)；并且M0M_Ll。因此，有Fx0,y0,z0=0,(3.7)Gx0,y0,z0=0,l(x-x0)+m(y-y0)+n(z-4)=0.从这个方程中消去参数x0,y°,z°,就得到x,y,z的方程，它就是所求旋转面的方程。xyz-1例1:求直线一=2=绕直线x=y=z旋转所得的旋转面的方程。210解：设Mi(xi,yi,zi)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过Mi的纬圆方程为i(x-xi)i(y-yi)i(z-zi)=0,222222xyz(i)=x

8、iyi由于Mi(xi,yi,zi)在母线上，所以又有小=y_472一i一0即xi=2yi,zi=i,由(i),(2)消去xi,yi,zi得所求旋转面方程为22292xyz-=(xyzT)。5三、坐标平面上的曲线绕某坐标轴在旋转所得旋转面的方程精品文档精品文档现在设M(X1,%，乙)旋转轴为z轴，母线在yOz平面上，其方程为fx,y=0,x=0,则点M(x,y,z底旋转面上的充分必要条件是:“丫0,4)=0,x0=0,2,22,2x+y=%+y0,1(zz0)=0.消去参数x0,y0,Zo,得f(±Jx2+y2,z)=0。(3.8)就是所求旋转面的方程。由此看出，为了得到yOz平面上的

9、曲线的旋转面方程，只要将母线在yOz平面上的方程中y改成x2+y2(3.8)r绕z轴旋转所得,z不动。坐标平面上的曲线绕坐标轴所得旋转面方程都有类似的规律。四、应用举例例3.1母线ry2=2pz,x=0,绕z轴旋转所得旋转面方程为这个曲面称为旋转抛物面(如图3.4)。例3.2母线r2X2ab2z=0,=1,精品文档精品文档绕x轴旋转所得曲面方程为22yz2=1°b2这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4）。绕y轴旋转所得曲面方程为2L=1b2这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.5）。例3.3圆222x-az=r,八0二r：二a.y=0,绕z轴旋所得曲面为（土,'x2+y2-a

10、）+z2=r2,(x2+y2+z2+a2-r2)=4a2(x2+y2),这个曲面称为环面（如图3.6）。例3.4设li和12是两条异面直线，它们不垂直，求12绕li旋转所得曲面的方程。解设11和12的距离为a,以11和12的公垂线为x轴，且命名12与*轴的交点（a,0,0）,建立一个右手直角坐标系。设12的方向向量为v（1,m,n）因为12与x轴垂直，所以ve=0,得wf1=0。因为12与1i异面，所以V不平彳T于63,于是m=0。因此可设v的坐标为（0,1,b）。因为11与12不垂直，所以ve3¥0,于是b¥0。因此，12的参数方程为x=a,y=t,一二二t二二.z=bt

11、,精品文档精品文档点M在旋转面上的充分必要条件是'x0=a,y0=t,4二忖，2,22,2x+y=x0+y01z-4=0.消去参数x0,y0,z0,t得2222zxy二a-,b2,2ab这是一个旋转单叶双曲面。作业习题3.1:2(4),4,6,9(3,6,9),11(1,3)。§2柱面和锥面2.1 柱面方程的建立定义3.2一条直线l沿着一条空间曲线C平行移动时所形成的曲面成为柱面.1成为母线,C称为准线。按定义，平面也是柱面。对于一个柱面，它的准线和母线都不唯一，但母线方向唯一(除去平面外)与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。柱面的方程的建立。彳设一个柱面的母线方向为v(1

12、,m,n),准线C的方程为：F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,精品文档精品文档下面我们根据点M(x,y,z)在此柱面上的充分必要条件求这个柱面的方程。点M(x,y,z)在此柱面上的充分必要条件是M在某一条母线上，即，有准线IMo(xo,y0,zo)使彳导M在过Mo且方向为v的直线上。因此，有T(xo,y0,zo)=0,G(Xo,y°,Zo)=O,x=xlu,y=yo+mu,z=zonu,消去xo,yo,zo,得F(x-lu,y-mu,z-nu)=o,G(x-lu,y-mu,z-nu)=o,再消去参数u,得到x,y,z的一个方程，就是所求柱面的方程。例1:柱面的准线方程为x2

13、y2z2=1,2x22y2z2=2,而母线的方向数为-1,o,1,求柱面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是准线上的任意点，所以过M1的母线方程为x-x1y-y1z-z1?-1o1且有x；y；z2=1,2x22y；z2=2.再设x一斗yy1z-4=t,-1o1C上一点(1)精品文档精品文档Xi=x+t,yi=y,Zi=zt,(2)将(2)代入(1)中得匕tis"，2(xt)22y2(z-t)2=2,解(3)得t=z,(4)将(4)代入(3)中得所求柱面为,、22,(X+z)+y=1,如果给的是准线C的参数方程x=f(t),y=g(t),a<t<b,(3.8)z=h(t

14、),同理可得柱面的参数方程为x=f(t)lu,«y=g(t)+mu,a<t<b,-scucF(3.9)z=h(t)nu,2.2 圆柱面，点的柱面坐标现在来看圆柱面的方程。圆柱面有一条对称轴l,圆柱面上每一个点到轴l的距离都相等，这个距离称为圆柱面的半径。圆柱面的准线可取成一个圆C,它的母线方向与准线圆垂直。如果知道准线圆的方程和母线方向，则可用2.1中所述方法求出圆柱面的方程。4如果知道圆柱面的半径为r,母线方向为v(|,m,n),以及圆柱面的对称轴l0经过点Mo(xo,yo,zo),则点M(x,y,z)在此圆柱面上的充分必要条件是M到轴lo的距离等于r,精品文档精品文档

15、MMov一v，由此出发可求得圆柱面的方程。特别地，若圆柱面的半径为r,对称轴为z轴，则这个圆柱面的方程为(3.10)x例2:已知圆枉面的轴为1匕1=三，点P(1,_2,1)在此圆柱面上，求圆柱面方程。-2-2解：法一同例1.法二：因为轴的方向向量为v(1,-2,-2),轴上的定点为Mo(0,1,-1),而圆柱面上的点为Mi(1-2,1),所以M0Ml(1,3,2),因此点Mi(1,2,1)到轴的距离为M0MlMv-32U-2-2-2-1-2再设M(x,y,z)为圆柱面上的任意点，则有M0Mv=、.布,化简整理得所求圆柱面方程为_2_2_2_8x+5y+5z+4xy+4xz8yz18y+19z-

16、99=0。空间中任意一点M(x,y,z)必在以r=，x2+y2为半径,以z轴为对称轴的圆柱面上。显然这个圆柱面的参数方程为04?:二2二，-二：二u；二.x=rcos9,y=rsin二z=u,精品文档精品文档因此，圆柱面上的点M被数偶(仇u)所确定。从而空间中任一点M被有序三元实数组(r,du)所确定。(r,6,u)称为点M的柱面坐标。点M的柱面坐标与它的直角坐标的关系是：x=rcos.y=rsin二，r_0;0三u；2二；-二；u；z=u,2.3 柱面方程的特点定理3.1若一个柱面的母线平行于z轴(或x轴，或y轴)，则它的方程中不含z(或x,或y);反之，一个三元方程如果不含z(或x,或y)

17、,则它一定表示一个母线平行于z轴(或x轴，或y轴)的柱面。证明：设一个柱面的母线平行于z轴，则这个柱面的每条母线必与xoy面相交，从而这个柱面与xoy面的交线C可以作为准线，设C的方程是f(x,y)=0,z=0.点M在此柱面上的充分必要条件是：有准线C上一点M0(x0,y0,z0)使得M在过M0且方向为¥(0,0,1)的直线上，因此有f(x0,Vo)=0,zV0,x=x0,y=y。，z=z°u,消去x0,V0,z0,得f(x,y)=0,z=u,由于参数u可以取任意实数值，于是得到这个柱面的方程为精品文档精品文档f(x,y)=0。一、-、._,反之，任给一个不含z的三兀万程g

18、(x,y)=0,我们考虑曲线C:Ig(x,y)=0,z=0为准线，以z轴方向为母线方向的柱面，由上述议论知，这个柱面的方程为g(x,y)=0。因此，方程g(x,y)=0表示一个母线平行于z轴的柱面。母线平行于x轴或y轴的情形可类似讨论。2.4 锥面方程的建立定义3.3在空间中，由曲线C上的点与不在C上的一个定点M0的连线组成的曲面称为锥面。M。称为顶点，C称为准线，C上的点与M。的连线称为母线。一个锥面的准线不唯一，与每一条母线都相交的曲线均可作为准线。锥面方程的求法。设一个锥面的顶点为M0(x0,y0,z0),准线C的方程为-LF(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,我们来求这个锥面的方

19、程。点M(x,y,z)在此锥面上的充分必要条件是：M在一条母线上，即，准线上有一点MJoyiZ)使得Mi在直线M°M上。因此，有T(x1，yi,4)=0,G(x1,y1,)=0,xi=%(x-x0)u,yi=y°+(y-yO)u,zi=4(z-z0)u,精品文档精品文档消去Xi,火，。得F(X)(x-x0)u,y0+(y-y0)u,z0(z4)u)=0,G(%(x-x0)u,y0+(y-y0)u,z(z-4)u)=0,再消去得到x,y,z的一个方程，就是所求锥面的方程。例：锥面的顶点在原点，且准线为-22xy/=1.、一«a2b21'，求锥面的方程。z二c

20、解：设Mi（xi,y，zi）是准线上的任意点，所以过Mi的母线方程为xyzxiyizi(i)且有22土.幺db2Z=c(2)将z1=c代入（1）得cxcyxi=一，%=一，z(3)将（3）代入（2）的第一式得所求的锥面方程22土.上a2b22z_2oc2.5圆锥面圆锥面定义：对于圆锥面，它有一根对称轴l,它的每一条母线与轴l夹的锐角都相等，这个锐角称为圆锥面的半顶角。与轴l垂直的平面截圆锥面所得的交线为圆。如果已知准线圆方程和顶点M0的坐标，则用2.4节所述方法可求得圆锥面方程。圆锥面的方程的求法。精品文档精品文档如果已知顶点的坐标和轴l的方向向量v以及半顶角a,则点M（x,y,z）在圆锥面上

21、的充分必要条件是:M0M,v)=久或n-a因此，有cos；M0M,vcosa,(3.12)由此可求得圆锥面的方程。例3.5求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。I解：显然这个圆锥面的顶点为原点O,设轴l的方向为V,因为三根坐标轴为母线，所以由（3.12）得cosev=cos，e2,v=cos:e3,v因此，轴l的一个方向向量v的坐标为（1,1,1）或（1,1,1）或（1,1,1）或（1,1,1）。考虑v的坐标为（1,1,1）,其余三种情形可以类似讨论。因为点M（x,y,z）在这个圆锥面上的充分必要条件是cos；OM,v=cose,v于是得xy+yz+xz=0。这就是所求的一个圆锥面的方程精品文档

22、精品文档2.6锥面方程的特点方程(3.13)的特点是：每一项都是二次的，称为二次齐次方程。如果令F(x,y,z)=xy+yz+xz,则有22F(tx,ty,tz)=tF(xy+yz+xz)=tF(x,y,z),(3.14)关系式(3.14)可反映方程(3.12)是二次齐次方程的这一特点。一般地，有定义3.4F(x,y,z)称为是x,y,z的n次齐次函数(n是整数)，如果Ftx,ty,tz=tnF(x,y,z)对于定义域中一切x,y,z以及对于任意非零实数t都成立。此时，方程F(x,y,z)=0称为x,y,z的n次齐次方程定理3.2x,y,z的齐次方程表示的曲面(添上原点)一定是以原点为顶点的锥

23、面。证明：设F(x,y,z)=0是n次齐次方程，它表示的曲面添上原点后记作S。在S上任取一点Mo(xo,yo,zo),Mo不是原点。于是直线OMo上任一点M1#0的坐标(x1，y1，乙)适合x1=xot,yy1=y0t,t手0.(3.15)乙F,从而有F(x,y1，4)=F(x0t,y0t,z。t)=tnF(%,y。'=0。(3.16)因此M1在S上。于是整条直线OM0都在S上，所以S是由过原点的一些直线组成的，这说明S是锥面。定理3.3在以锥面的顶点为原点的直角坐标系里，锥面可以用x,y,z的其次方程表示。精品文档精品文档作业习题3.2:3,4(2,3),8,10。§3.3

24、二次曲面我们已经知道二次方程2222xyxy2r-1-0,21-0,x2py=0abab2y_b2分别表示椭圆柱面、双曲柱面和抛物柱面，而二次方程2x十2a表示二次锥面，现在再研究几个二次方程表示的图形。3.3.1椭球面方程z2b2=1(a,b,c>0),c表示的图形称为椭球面。它有以下性质:对称性。因为方程（3.17）中用x代x,方程不变，于是若点P（x,y,z）在椭球面（3.17）上，则P点关于yOz面的对称点（-x,y,z）也在此椭球面上，所以此椭球面关yOz面对称。同理，由于（3.17）中用-y代y（-ztz访程不变，所以此椭球面关于xOz面（xOy面）对称。因为方程（3.17）

25、中同时用-*代*,用-y代y,方程不变，所以图形关于z轴对称。类似的理由知，图形关于y轴，x轴也对称。因为（3.17）中同时用-x代x,-丫代丫，-z代z,方程不变，所以图形关于原点对称。总而言之，三个坐标面都是椭球面（3.17）的对称面，三根坐标轴都是它的对称轴，原点是它的对称中心。（2）范围。由方程（3.17）立即看出：精品文档精品文档x<a,y<b,z<co形状。曲面（3.17）与xOy面的交线为:-22xy/-122，abz=0.这是在xOy面上的一个椭圆。同理可知，曲面（3.17）与yOz面（xOz面）的交线也是椭圆。用平行于xOy面的平面z=h截曲面（3.17）得

26、到的交线（称为截口）为:-222上;1上a2b21c2，z=h.当h<c时，截口是椭圆；当h=c时，截口是一个点；当h>c时，无轨迹。（4） 等高线。把平行于xOy面的截口投影到xOy面上得到的投影线称为等高线（见图3.5）。3.2单叶双曲面和双叶双曲面方程222xyz2+%-2=1,（a,b,c>0）,abc表示的图形称为单叶双曲面。它有下述性质：（1）对称性。三个坐标面都是此图形的对称平面，三根坐标轴都是它的对称轴，原点是它的对称中心。（2）范围。由方程（3.18）得：2x2a22yz+-=1+>1,212一I，bc精品文档精品文档所以此曲面的点全在柱面的外部或柱面

27、上。(3)形状。此曲面与xOy面的交线为-2土a224=1b2,z=0,这是一个椭圆，称为此曲面的腰椭圆。此曲面与xOz面，yOz面的交线分别为:它们都是双曲线。y=0；此曲面的平行于xOy面的截口为2-21,cx=0.a2b2二1z=h,这是椭圆，并且当h增大时，截口椭圆的长、短半轴:1T均增大。(4)渐近锥面。锥面精品文档精品文档土工a2b2(3.19)称为单叶双曲面(3.18)的渐近锥面。用平面z=h截此锥面，截口为x272yb2z=h,这个椭圆的长、短半轴分别为ha''=ac,b“=bO。因为ca'-a=吟a1hcc所以hm(a'-a''

28、)=0。这说明，当h无限增大时，单叶双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面的截口椭圆任意接近，即，单叶双曲面与它的渐近锥面无限地任意接近。双叶双曲面。方程222xyz,，-=一1,(a,b,c>0),abc表示的图形称为双叶双曲面。它有下述性质：(1)对称性。关于坐标面、坐标轴、原点对称。(2)范围。由(3.20)得Zc。(3)形状。此曲面与xOy面无交点；与xOz面，yOz面的交线分别为:精品文档精品文档=1,Z-zzc=1,x=0;它们都是双曲面。用平面z=hQh之c上截此曲面得到的截口为-222xyh.二=-i222,Sabcz=h,这是椭圆或一个点。(4)渐近锥面。锥面22a2yb2也是

29、双叶双曲面(3.20)的渐近锥面。3.3椭圆抛物面和双曲抛物面方程22=2z,(p,q0),pq(3.21)表示的曲面称为椭圆抛物面。它具有下述性质：(1)对称Txoz面，yoz面是它的对称平面；z轴是对称轴。(2)范围：z>0o(3)形状：它与xoz面，yoz面的交线分别为：x2=2pz,y=0;y2=2qz,x=0,这些都是抛物线。用平面z=h(h20)去截此曲面得到的截口为:精品文档精品文档222x+yoh十=2h,pqz=h,它们是椭圆或一个点（见图3.18）。方程22xy=2z,（p,q>0）,（3.22）pq表示的曲面称为双面抛物线（获马鞍面）。它具有下述性质：（1）对

30、称性：xoy面，yoz面都是双曲抛物面（3.22）的对称平面；z轴是它的对称轴。它与oy的交线为:222pqz=0,这是一对相交直线（过原点）。双曲抛物面（3.22）与xoz面，yoz面的交线分别为:x2=2pz,y2=-2qz;y=0,x=0,这些都是抛物线。（2）形状：用平面z=h（h#0）去截此曲面，得到的截口为：22以=2hpq、z=h这是双曲线，当h>0时，实轴平行于x轴；h<0时，实轴平行于y轴（见图3.19）。精品文档精品文档当平行线移动到抛物线y=-2qZJx=0八,X2=2DZ,4、,使它的顶点沿抛物线«XPZ移动时，便得到马鞍yV。面(3.22)。这是

31、因为，点M0(x0,y0,z0)在此轨迹上的充分必要条件是：M在以此抛物=2pz,=0,上的一点Mo(Xo,y0,Z0)为顶点且轴平行于z轴，形状、开口与一样的抛物线，即有2X0=2pz0,y0=0,2y-2q(z-z。),x二X。，-'2q(z-2X2p),2J=2zq3.4二次曲面的种类到面前为止，我们学过的二次曲面有以下十七种。(一)椭球面1椭圆面精品文档精品文档2上b2=12虚椭球面3点（二）双曲面4当叶双曲面5双叶双曲面（三）抛物面6椭圆抛物面7双曲抛物面2yb2=-1（四）二次锥面8二次锥面精品文档22土Xa2b222a2b22x-2a2z-2c2z-2c2z-2c2z精品

32、文档2x-2ab22z-2c（五）二次柱面9椭圆柱面10虚椭圆柱面11直线12双曲柱面13一对相交平面14抛物柱面15 一对平行平面16 一对虚平行平面2x-2a精品文档b2b222xyC22ab2x2apy精品文档17一对重合曲面x2=0。作业习题3.3:4,6(2,4),7。§3.4直纹面一、直纹面的定义S上；并定义3.4一曲面S是直纹面，如果存在一族直线使得这一族中的每一条直线全在且S上的每个点都在这一族的某一条直线上。这样一族直线称为S的一族直母线注：二次曲面关于直纹面的分类。直纹面：二次柱面（九种）；二次锥面（一种）；单叶双曲面；双曲抛物面。不是直纹面：椭球面（三种）；双叶

33、双曲面；椭圆抛物面。二、单叶双曲面和双曲抛物面的直纹性：定理3.4单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面。证明设单叶双曲面S的方程是a2b22z2c=1,(3.23)点M0（x0,y0,z0比单叶双曲面S上的充要条件是222=1.X0,yZ02.22abc移项并且分解因式得精品文档精品文档i国十包f包.包”=1+厄丫1,(ac人acjVb人bJ(3.24)刈.m1+y0acb.y°xoZ01-bacxozody01acb1+迎,xo_z0bac因为1+,与1-(不全为零，所以下述方程组担幺X1+泗Y=0,acb,Ii1-3x-ix°-z0y=0.,bac(3.25)(3.26)(

34、3.27)是X,Y的一次齐次方程组。由（3.25）知，（2.27）有非零解，即有不全为零的实数N0,v0使得4包+亘1/(1+加)=0,01acJ飞b。1-丛+、0江区=0.bac这表明点M0在直线匕-+-+v0'1+-y=0,lacjVbJ1+x_Z=0f01bJYacJ0.(3.28)精品文档精品文档上。现在考虑一族直线:+I1+-=0,(3.29)=0.(3.29)其中R,v取所有不全为零的实数。若（3，*）与（N2,v2）成比例，则它们确定族中的同一条直线，若它们不成比例，则它们确定不同的直线。所以直线族（3.29)实际上3.29)iX1zI'ac+、1+X=0,1b(

35、3.30)+-.义-马ac=0.只依赖于一个参数：N与Y的比值。上面证明了：单叶双曲面上的任一点在直线族（的某一条直线（3.28）上。现在从族（3.29）中任取一条直线11，它对应于（片，环），且在li上任取一点M1（xl,y1,则有因为3,Vi不全为零，所以（3.30）式说明二元一次齐次方程组Y=0,M1(x1,%,乙)(3.31)有非零解，从而（3.31）的系数行列式等于零。由于由本证明的开始部分知,在单叶双曲面S上。所以，S是直纹面，且直线族（3.29）是它的一族直母线。类似地，用（3.26）可得S的另一族直母线:'/x+z'+lac)储：1+)kvllb)Xz"

36、;Ilac)=0,二0,(3.32)其中也¥取所有的不全为零的实数。精品文档精品文档类似地方法可以证明双曲抛物面也是直纹面。若它的方程是则它有两族直母线:(3.33)yIVp上z川ppJq2=0,(3.34)=0,z=0,(3.35)2._x_y,pq=0,其中K取所有实数。三、单叶双曲面、双曲抛物面的直母线性质：定理3.5:单叶双曲面的直母线有如下性质：(i)同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线共面；(ii)过单叶双曲面(3.23)上某一点M。，某一族中有且仅有一条直母线;(iii)经过一条直母线的某一平面也必经过属于另一族的一条直母线;(vi)同族中任意三条直母线不能平行于同

37、一平面。证：(i)任取单叶双曲面(3.23)的二条u-族直母线xzxzyUi(rc)=Ui(1-b),Ui(一-)=Ui(1li:ac精品文档精品文档UiUiUi一UiUiUiUicU2U2U2一U2Ui-UiUi-UiFUiUiF-Ui-UiU2-U2U2-U2FU2U2r-U2一U2iabc4,.、八(uiu2-u1u2)丰0。abcU2aU2b一U2所以li,l2异面同理可证不同族中任二直母线共面。(ii)略。(iii)任取一U-族直母线Iu：u(-)=U(i9acb/xzy、U(一-一)二U(i工acb则经过lu的平面Tt的方程为:vu1-+-1lacj.uS"«I

38、b力IlacjUV-一ac-Vi-y所以冗过一V-族直母线Iv：v%"ilacJIb,b-(Vi)任取三条U族直母线li：li：1xzUi-+-lacj=Ui则li的方向向量为精品文档=Uiii+y:"i=123。ib,i222i22(Ui-Ui),UiUi,(Ui+Ui),bcacab精品文档由行列式1人(ubc1.,(U：bc1(ubc4,2U1)2、一u2)2U1U1ac2U2U2ac2U3U3ac1.(u1ab1/(U2abab(U322.22abc(U1U2-U2U1)(U2U32Ui)U22)2U3)22.22abc2U12U22-U12-U22U1U1U2U2

39、2U12U12U3-u3U3U322232U22U3-U3U2)(U3U1-U3U1)0所以三直线不平行于同一平面。定理3.6:双曲抛物面的直母线有如下性质：(i)同族中任二直母线异面，不同族中任二直母线相交;(ii)过双曲抛物面上一任点M0,一族中有且仅有一直母线;(iii)同族中的所有直母线均平行于一定平面。证明：仅证(iii)对u族直母线lb=2U，=Z,112u其方向矢为,1，-1,'I,所以该直母线平行于平面bx+ay=0。baab222xyz例：求过单叶双曲面-2+今1=1上的点(6,2,8)的直母线方程。9242162222解：单叶双曲面-J=1的两组直母线方程为9242

40、162=vi1-yJx+z；134)I2v二t13342把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求得0：口=1:2与1=0,代入直母线方程得=0.精品文档精品文档；4x12y+3z24=0,与1y=2,4x3y-3z-6=0;4x-3z=0.作业习题3.4:3,4,6,11。§3.5曲面的交线，曲面所围成的区域（1）斜二测法（即斜二等轴测投影法）让z轴铅直向上，y轴水平向右，x轴与y轴、z轴分别成135°角.规定y轴与z轴的单位长度相等；而x轴的单位长度为y轴单位长度的一半（图3.22）.（2）正等测法（即正等轴测投影法）让z轴铅直向上，x轴、y轴、z轴两两成120°角；规定