高等材料力学第三章-应变状态ppt课件

1、第三章第三章 应变形状应变形状物体变形位移与应变的根本关系几何方程应变形状分析位移的单值延续性质 目录目录3.1 3.1 变形与应变概念变形与应变概念3.2 3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向3.3 3.3 应变协调方程应变协调方程3.1 变形与应变概念变形与应变概念 由于外部要素 物体内部各点空间位置发生变化 位移方式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍坚持初始形状相对位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改动，而且改动了物体内部各个点的相对位置。载荷或温度变化位移位移3.1 变形变形2),(),(zyxMzyxMu=xx，y，z x=ux，y，z v=yx，y，z y=vx，y

2、，z w=zx，y，z z=wx，y，z 位移位移u，v，w是单值延续函数是单值延续函数进一步分析假定位移函进一步分析假定位移函数具有延续的三阶导数数具有延续的三阶导数一点的变形经过微分六面体单元描画一点的变形经过微分六面体单元描画微分单元体的变形，分为两部分讨论微分单元体的变形，分为两部分讨论正应变正应变棱边的伸长和缩短棱边的伸长和缩短 切应变切应变棱边之间夹角直角改动棱边之间夹角直角改动3.1 变形变形3微分单元体的变形微分单元体的变形3.1 变形变形4正应变与位移正应变与位移3.1 变形变形5切应变与位移切应变与位移3.1 变形变形6xwzuzvywyuxvzwyvxuzxyzxyzyx

3、几何方程 位移分量和应变分量之间的关系 几何方程又称柯西方程微分线段伸长正应变大于零微分线段夹角减少切应变分量大于零3.1 变形变形7 几何方程位移导数表示的应变 应变描画一点的变形，但还缺乏以完全描画弹性体的变形 缘由是没有思索单元体位置的改动 单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。3.1 变形变形83.1 变形变形9刚性转动位移刚性转动位移S =ui +uj +uk S = 转动分量转动分量3.1 变形变形10刚性转动与刚性转动与纯变形位移纯变形位移位移为坐标的函数 3.1 变形变形11刚性转动与刚性转动与纯变形位移纯变形位移N点的位移由

4、三部分组成：点的位移由三部分组成：1伴随伴随M点作平动位移。点作平动位移。 2绕绕M点作刚性转动在点作刚性转动在N点点产生的位移。产生的位移。3由于由于M点及其临近区域的点及其临近区域的变形在变形在N点引起的位移。点引起的位移。zyxzyxwvuzzyzxyzyyxxzxyxxyxzyzddd212121212121ddd000ddd微分单元体的刚性转动与协调相关微分单元体的刚性转动与协调相关刚体转动刚体转动位移增量位移增量变形位移增量变形位移增量位移增量是由两部分组成的位移增量是由两部分组成的3.1 变形变形12 变形经过应变描画变形经过应变描画 坐标变换时，应变分量是坐标变换时，应变分量是

5、随之坐标改动而变化。随之坐标改动而变化。 应变分量的转轴公式应变分量的转轴公式3.2 主应变与主应变方向主应变与主应变方向应变形状应变形状新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为3.2 主应变主应变23.2 主应变主应变3应变分量的转轴公式应变分量的转轴公式ijjjiijinn应变张量应变张量333231232221131211212121212121zzyzxyzyyxxzxyxij应变张量一旦确定，那么恣意坐标系下的应应变张量一旦确定，那么恣意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变形状就完全确定。变分量均可确定。因此应变形状就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改动，

6、但作为坐标变换后各应变分量均发生改动，但作为一个整体，所描画的应变形状并未改动。一个整体，所描画的应变形状并未改动。主应变与应变主轴主应变与应变主轴 切应变为切应变为0的方向的方向 应变主轴方向的正应变应变主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变43.2 主应变主应变5主应变确定主应变确定应变主轴方向变形应变主轴方向变形NSdS3.2 主应变主应变60)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx应变形状特征方程l，m，n齐次线性方程组齐次线性方程组非零解的条件为方程系非零解的条件为方程系数行列式的值为零数行列式的值为零 0212121212

7、121zzyzxyzyyxxzxyx032213JJJ展开展开 3.2 主应变主应变7主应变确定主应变确定应变不变量ijzxyzxyxzxyyxzyxiiJJJ322221)(41第一，第二和第三应变不变量 一点的应变形状与坐标系选取无关，因此坐一点的应变形状与坐标系选取无关，因此坐标变换不影呼应变形状是确定的。标变换不影呼应变形状是确定的。 应变不变量就是应变形状性质的表现应变不变量就是应变形状性质的表现3.2 主应变主应变8应力张量应力张量应变张量应变张量应力不变量应力不变量应变不变量应变不变量主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似类似各向同性

8、资料，应力主轴和应变主轴是重合的各向同性资料，应力主轴和应变主轴是重合的公式比较公式比较3.2 主应变主应变9 弹性体一点体积的改动量3.2 主应变主应变10 变形前：V=dxdydz 变形后： 体积应变体积应变3.2 主应变主应变11.zwyvxuzyxVVV*V=dxdydz 体积应变体积应变3.2 主应变主应变12.zwyvxuzyxVVV*0, 表示微分单元体膨胀，表示微分单元体膨胀，0, 单元体受紧缩，单元体受紧缩，=0，物体变形后的体积是不变的。，物体变形后的体积是不变的。体积应变体积应变3.3 应变协调方程应变协调方程 数学意义： 几何方程6个应变分量经过3个位移分量描画 力学意

9、义变形延续 弹性体恣意一点的变形必需遭到其相邻单元体变形的约束3.3 应变协调应变协调2例例3-1 3-1 设设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,=gxz =gyz =0,求其位移。求其位移。解：解：)(232yfxu显然该应变分量没有对应的位移。要使这一方程组不矛盾，那么六个应变分量必需满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。 xxux3yyvy2)(2xgyvxyxgyfyuxvxy)( )( 3.3 应变协调应变协调3l 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，那么六个应变分量必需满

10、足一定的条件。l 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得)(22222yuxvyxyxxyyxxy23.3 应变协调应变协调4u 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u 前后两式相加并减去中间一式，那么zyuzyxxyxzyz22对x求一阶偏导数，那么 zyzyxxxxyxzyz22)(分别轮换x,y,z，那么可得如下六个关系式 3.3 应变协调应变协调5u 将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数u 前后两式相加并减去中间一式，那么yxzyxzzxzyxyzyzyxxzxxzzyzyyxyxzxyxzyzyxyxzyzxx

11、yxzyzxzzxyzyzxyxy2222222222222222222)(2)(2)(应变协调方程圣维南 Saint Venant方程 3.3 应变协调应变协调6变形协调方程的数学意义使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。变形协调方程的物理意义物体变形后每一单元体都发生外形改动，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成延续体，其间将产生缝隙或嵌入景象。为使变形后的物体坚持延续体，应变分量必需满足一定的关系。 3.3 应变协调应变协调7证明证明应变协调方程是变形延续的必要和充应变协调方程是变形延续的必要和充分条件。分条件。变形延续的物理意义，反映在数学上那么要求变形延续的物

12、理意义，反映在数学上那么要求位移分量为单值延续函数。位移分量为单值延续函数。目的目的假设应变分量满足应变协调方程，那假设应变分量满足应变协调方程，那么对于单连通域，就可以经过几何方程积分求么对于单连通域，就可以经过几何方程积分求得单值延续的位移分量。得单值延续的位移分量。单连通域单连通域物体内任一条物体内任一条闭曲线可以收缩到一点闭曲线可以收缩到一点而不越出界外而不越出界外. .3.3 应变协调应变协调8证明证明利用位移和转动分量的全微分，那么利用位移和转动分量的全微分，那么zzyyxxxxxxddddzyxzzuyyuxxuuyxzzxyxd)21(d)21(ddddd轮换轮换x , y,

13、zx , y, z，可得，可得dudu，dvdv和和dwydwy，dwz dwz 3.3 应变协调应变协调9如经过积分，计算出如经过积分，计算出 zzyyxxzzyyxxzzyyxxzyxwwzyxvvzyxuuzzzPPzzyyyPPyyxxxPPxxxxyzyxzPPxyzyzxyPPyxzzxyxPP0ddddddddddd)21(d)21(d)21(dd)21(d)21(d)21(d00000000000是单值延续的，那么问题可证。是单值延续的，那么问题可证。 保证单值延保证单值延续的条件是续的条件是积分与积分积分与积分途径无关途径无关 3.3 应变协调应变协调10)21()21()2

14、1()21()21()21()21()21()21()21()21()21(yxzxyzxyzzyxzzxyzzxyzxyyxyzyzxyyxzyxzxzxyxyxzyzxxzyxyzzyxyxy根据格林公式根据格林公式zyzyzyxyxz)(21zyzzyyyzzxyyzx2121)(21zyxxyxzx回代3.3 应变协调应变协调11)()(21yuxvzxwzuyxzvywxx)(21zzyyzyxzyyzzyyzxyxzPPxxd)21(d)21(d)(2100回代到第四式回代到第四式 xx单值延续的必要与充分条件是单值延续的必要与充分条件是 )21()21()21()(21zyzzy

15、yzyxzyyyyzyzzyyzxyxzzxzyxyzyzyyxyxyzyzyzyz2222222)(同理讨论同理讨论wywy，wzwz的单值延续条件，可得其它的单值延续条件，可得其它4 4式式变形协调方程。变形协调方程。由此可证变形协调方程是单连通域位移单值延由此可证变形协调方程是单连通域位移单值延续的必要和充分条件。续的必要和充分条件。 3.3 应变协调应变协调12变形协调方程变形协调方程单连通域位移单值延续的必要和充分条件单连通域位移单值延续的必要和充分条件多连通域位移单值延续的必要条件多连通域位移单值延续的必要条件充分条件是位移的延续补充条件充分条件是位移的延续补充条件3.3 应变协调应变协调13位移边境条件位移边境条件 q应变满足变形协调方程，保证弹性体内部应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值延续。的变形单值延续。q边境变形协调要求边境位移满足位移边境边境变形协调要求边境位移满足位移边境条件。条件。 q位移边境条件位移边境条件临近外表的位移或和变临近外表的位移或和变形与知边境位移或变形相等。形与知边境位移或变形相等。3.3 应变协调应变协调14 假设物体外表的位移知，称为位移边境 位移边境用Su表示。 假设物体外表的位移 知 边境条件为,wvu 称为位移边境条件ww