称为正弦波的三要素

1、第第十十章章 正正弦弦稳稳态态分分析析 从从8-8 看出，线性时不变动态电路看出，线性时不变动态电路在正弦信号激励下，若电路的特征根在正弦信号激励下，若电路的特征根为负，其响应中的固有响应，随时间为负，其响应中的固有响应，随时间将逐渐衰减为零，而最后只剩强制响将逐渐衰减为零，而最后只剩强制响应（即正弦稳态响应） ，满足这种条件应（即正弦稳态响应） ，满足这种条件的电路称为正弦稳态电路。本章的重的电路称为正弦稳态电路。本章的重点是介绍如何用向量法分析正弦稳态点是介绍如何用向量法分析正弦稳态响应。响应。 10-1 正正弦弦电电压压和和电电流流 一一、 正正弦弦电电压压和和电电流流的的表表达达式式

2、众众所所周周知知， 正正弦弦电电压压是是周周期期的的按按正正弦弦规规律律随随时时间间交交变变的的电电压压。 本本书书采采用用 cos 函函数数表表示示正正弦弦电电压压和和电电流流， )tcos(I) t ( iim 式中式中 Im是正弦电流的振幅，表示正弦波是正弦电流的振幅，表示正弦波变化范围的最大值；变化范围的最大值； 是角频率，表示每是角频率，表示每秒变化的弧度数， 单位为弧度秒变化的弧度数， 单位为弧度/秒 （秒 （rad/s） 。） 。 由由 于于 正正 弦弦 波波 的的 一一 个个 周周 期期 对对 应应 于于 2，即即 2T，所所 以以 与与 周周 期期 T 和和 频频 率率 f

3、的的 关关 系系 为为 f2T2 ) t ( imImI 2T T 2)rad( t ti i 是是正正弦弦电电流流的的初初相相， 代代表表) t ( i在在t=0的的相相位位。若若i 为为正正值值，则则) t ( i的的正正最最大大值值发发生生在在 t=0 以以前前， 若若i 为为负负值值， 则则) t ( i的的正正最最大大值值发发生生在在 t=0之之后后。 i(t) 2 tIm-Imo例如例如)90tcos(ItsinI) t ( iomm I IM M， 称为正弦波的三要素，若给出称为正弦波的三要素，若给出表达式或波形，即可确定这三要素；表达式或波形，即可确定这三要素；若给出三要素，则

4、可写出表达式或绘若给出三要素，则可写出表达式或绘出波形。出波形。 ,例例 设设V)30t2sin(10) t (u0 ，求以，求以 cos函数表示的初相函数表示的初相u 。 解：解：)9030t2cos(10) t (u00 V)60t2cos(10o 0u60 例例 求求A)6t 2sin(2)4t 2cos() t ( i 的的 Im, 和和 。 解：原式解：原式t2sin025. 1t2cos29. 06sint2cos26cost2sin24sint2sin4cost2cos) t ( i )29. 0025. 1tgt2cos()025. 1()29. 0(122 )8 .105t2

5、cos(06. 10 0m8 .105, s/rad2,06. 1I 二二、同同频频率率正正弦弦波波的的相相位位差差 两点说明：两点说明： （1）规定相位差）规定相位差 ； （2）若算出）若算出 ，则实际相位差应为，则实际相位差应为 2 设设)tcos(I) t (i1m11 )tcos(I) t (i2m22 则则2121)t()t( 称称为为) t (i1与与) t (i2的的相相位位差差，即即同同频频率率正正弦弦波波的的相相位位差差就就等等于于它它们们的的初初相相差差。 若若0 ，同同相相；0 ，1i超超前前2i； 0 ，1i滞滞后后2i； ，反反相相。 例例 设设A)43tcos(3)

6、 t (i1 ， A)2tcos(5)t(i2 求求1i与与2i的相位差的相位差 解：解： 45)2(43 则则43245 i11i滞滞后后2i43 ，或或2i超超前前1i43 。 例例 设设A)30t100cos(10) t ( i0 ， V)15t100sin(2) t (u0 求求) t ( i与与) t (u的的相相位位差差 。 作作业业： （P440 页页）10-2，10-5，10-6 解解： )105t100cos(2)9015t100cos(2)t (u000 V)75t100cos(2)180105t100cos(2000 000457530 （ ) t ( i滞滞后后) t

7、(u ） 三三、正正弦弦电电压压电电流流的的向向量量表表示示 tsinjtcosetj （式式中中1j ） 即即)eIm(tsin),eRe(tcostjtj 正正弦弦电电压压： eURe)tcos(U) t (u)t( jmm eURee .eURetjmtjjm 式中的复数式中的复数 mjmmUeUU称为正弦电压称为正弦电压) t (u的相量。的相量。 （此相量是用极坐标表示的复数，（此相量是用极坐标表示的复数，也可用直角坐标表示该复数，如图所示） 。也可用直角坐标表示该复数，如图所示） 。 即相量是由正弦量的振幅和初相所构成的即相量是由正弦量的振幅和初相所构成的一个复数。其中振幅是复数的

8、模，初相是复一个复数。其中振幅是复数的模，初相是复数的幅角。数的幅角。 给给出出正正弦弦量量的的表表达达式式，就就可可确确定定该该正正弦弦量量的的相相量量，反反之之，给给出出一一个个相相量量及及其其 ，就就可可写写出出正正弦弦量量的的表表达达式式。 +jo sinjUm mmUU cosUm+jo sinUm mmUU1 cosUm sinjUm mmUU cosUm例例如如 A605IA)60t314cos(5) t ( i0m0 V505UtV314cos5) t (u0m 又如又如 A)60t2sin(10) t ( i0 A)150t2cos(10) t ( i0 A15010I0m

9、以上各式中的符号“以上各式中的符号“”是表示左边的正弦”是表示左边的正弦量与右边的相量是相互对应关系，即量与右边的相量是相互对应关系，即) t ( i的相的相量是量是mI，若已知，若已知A605I0m ，则所对应的正弦，则所对应的正弦电流为（设电流为（设s/rad314 ） A)60t314cos(5eIRe) t ( i0t314jm ) t ( i与与mI不能写成等号。不能写成等号。) t ( i是时域表达是时域表达式，而式，而mI常称为频域表达式。常称为频域表达式。 例例：设设已已知知V305U0m ，且且 2 V1505U0m mU所所代代表表的的正正弦弦电电压压为为 V)150t2c

10、os(5) t (u0 正弦量之间的运算与相量之间的运算关系有正弦量之间的运算与相量之间的运算关系有如下引理：如下引理：(1)唯一性引理唯一性引理设设i i1 1(t) I(t) I1m1m , i , i2 2(t) I(t) I2m2m若若i1(t)=i2(t), 则则I1m=I2m反之，若反之，若I1m=I2m, 则则 i1(t)=i2(t) 9 (2) (2) 线性引理线性引理 设设i1(t) I1m , i2(t) I2m则则 a1i1(t)+a2i2(t) a1I1m+a2I2m (3).微分引理微分引理 设设mI) t ( i eIjReeIdtdReeIRedtddtditjm

11、tjmtjm mIjdtdi , m222I)j (dtid mnnnI)j (dtid 例例 求求A)6t2sin(2)4t2cos() t ( i 的的Im， 和和 。 （前前面面举举过过的的一一例例） 解解：)73. 1 j1(707. 0j707. 0120241I0m 08 .10506. 1025. 1 j29. 0 )8 .105t2cos(06. 1) t ( i0 即即 Im=1.06， =2 rad/s， =105.80 例例 若若V)36t2cos(3) t (u0 ，求求 33dt) t (ud？ 解解：0m363U) t (u 33dt) t (ud所所对对应应的的相

12、相量量为为 0000035424)9036(243624j363)2j ( )54t2cos(24dt) t (ud033 四四、 正正弦弦电电压压电电流流的的有有效效值值 在在周周期期变变化化的的电电压压、电电流流中中是是用用有有效效值值而而不不是是用用振振幅幅值值表表征征其其大大小小。 1、 有有效效值值的的定定义义 有有效效值值是是将将周周期期变变量量（如如电电流流 i）和和直直流流电电流流 I 在在一一个个周周期期内内通通过过同同一一电电阻阻所所消消耗耗的的能能量量作作比比较较来来度度量量的的： iRIR对对 i T02T0idt) t (iRdt) t (pW 对对 I WI=PT=

13、RI2T iRIR若在一个周期内若在一个周期内 Wi=WI， 就平均作， 就平均作功功的能力，这两个电流的大小是相的能力，这两个电流的大小是相等的，则等的，则 I 的数值称为周期的数值称为周期 i 的有的有效值，即效值，即 T02dt) t (iT1I T02T0idt) t (iRdt) t (pW WI=PT=RI2T 2、正正弦弦波波有有效效值值与与振振幅幅值值的的关关系系 可可以以导导出出mmI707. 02II ，mmU707. 02UU 城城市市照照明明供供电电电电压压 220V 即即指指有有效效值值，其其振振幅幅值值为为 V311Um 作作业业： （P440 页页）10-2，10

14、-5，10-6，10-8，10-9 3、 有效值相量有效值相量I和和U 由正弦波的有效值和初相所构成的极由正弦波的有效值和初相所构成的极坐标复数称为有效值相量， 它与振幅相坐标复数称为有效值相量， 它与振幅相量的关系为量的关系为 I2I2IImm 今后， 除非特别申明， 相量均指有效值今后， 除非特别申明， 相量均指有效值相量。相量。 10-2 正弦稳态响应正弦稳态响应 一、一、 在在8-8 中已讨论过一阶电路在中已讨论过一阶电路在正弦信号激励下的响应为（参见该正弦信号激励下的响应为（参见该节及习题节及习题 8-68） 特特解解或或强强制制响响应应齐齐次次解解或或固固有有响响应应)tcos(I

15、Ke) t ( imt 对于第一项，若对于第一项，若 0（即特征根（即特征根s0） ， 这是暂态响应， 第二项便是正） ， 这是暂态响应， 第二项便是正弦稳态响应。弦稳态响应。 确定正弦稳态响应的过程及方法，确定正弦稳态响应的过程及方法，是首先假设一个正弦函数， 然后将该是首先假设一个正弦函数， 然后将该正弦函数代回微分方程， 这涉及三角正弦函数代回微分方程， 这涉及三角函数的微分函数的微分,积分和化简， 当微分方程积分和化简， 当微分方程的阶数很高时， 计算的阶数很高时， 计算mI和和 并非易事。并非易事。当正弦量用相量表示后， 用相量法求当正弦量用相量表示后， 用相量法求解微分方程的正弦特

16、解， 就变得比较解微分方程的正弦特解， 就变得比较容易。容易。 二二、 用用相相量量法法求求解解微微分分方方程程的的特特解解 t=0RC+_ucis以以 RC 一一阶阶电电路路为为例例. 图图中中) t ()tcos(I) t (iisms 求求) t (uc的的特特解解) t (ucp。 首先建立首先建立0t的微分方程的微分方程 )tcos(IuR1dtducismcc 其解其解cpchucmtcuu)tcos(UKe) t (u 其中齐次解其中齐次解cpu为什么是为什么是 tKe不再赘不再赘述，如何确定待定常数也不再说明，述，如何确定待定常数也不再说明，现只讨论如何用相量法求特解现只讨论如

17、何用相量法求特解) t (ucp，即即cmU和和 u 各等于多少。各等于多少。 t=0RC+_ucis设设ucmcmcpUU) t (u ，ismsmsII) t (i &将将cpu代入原微分方程，并两端取相量，由微代入原微分方程，并两端取相量，由微分引理得分引理得 smcmIU)R1cj ( 上式称为原微分方程的复数方程。上式称为原微分方程的复数方程。 （这是一（这是一个代数方程）由复数方程得个代数方程）由复数方程得)R1cj/(IUsmcm t=0RC+_ucis)tcos(IuR1dtducismcc 由复数运算，很容易得出由复数运算，很容易得出ucmcmUU ，进，进而求得上述

18、电路的特解（即正弦稳态响应） 。而求得上述电路的特解（即正弦稳态响应） 。由初始条件可确定由初始条件可确定chu中的待定常数中的待定常数 K，于是，于是求得全响应求得全响应) t (uc。 显显而而易易见见，由由于于相相量量法法求求特特解解是是将将微微分分方方程程化化成成代代数数方方程程来来求求解解，因因此此，可可适适用用于于高高阶阶常常系系数数微微分分方方程程在在正正弦弦激激励励下下的的特特解解。 例例 10-5 已已知知V)30t2cos(2) t (u0s ，求求) t ( i的的正正弦弦稳稳态态响响应应。 解： （解： （1）以）以) t ( i为变量的微分方程：为变量的微分方程： s

19、tud)( i5 . 01dtdii )120t2cos(4)30t2sin(4dtdui 2dtdidtid00s22 1 1H i(t) 1H i(t)0.5F+_us （2）其其复复数数方方程程为为： 0m21204I 22j)2j( 得得0000m1521352212042j21204I A)15t2cos(2) t ( i0 作业： （作业： （P441 页）页）10-11，10-13 即即)120t2cos(4)30t2sin(4dtdui 2dtdidtid00s22 10-3 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 在上一节中，虽然相量法将微分方程在上一节中，虽然相量法将

20、微分方程在正弦激励下的特解化成了复数方程的求在正弦激励下的特解化成了复数方程的求解，但对高阶电路，微分方程的建立就是解，但对高阶电路，微分方程的建立就是一件很困难、麻烦的工作。对正弦激励下一件很困难、麻烦的工作。对正弦激励下的电路，能否象直流激励下的电阻电路那的电路，能否象直流激励下的电阻电路那样，用观察法直接写出复数方程，回答是样，用观察法直接写出复数方程，回答是肯定的， 只要引入肯定的， 只要引入 KCL、 KVL 和元件和元件 VCR的相量模型，那时，电阻电路的所有分析的相量模型，那时，电阻电路的所有分析方法将推广到正弦稳态电路。方法将推广到正弦稳态电路。 一一、 KCL 的的相相量量形

21、形式式 m11I,i m2, 2Ii m33I ,i 因因此此，在在正正弦弦电电路路中中，KCL 可可直直接接用用相相量量写写出出，即即除除正正弦弦电电流流瞬瞬时时值值满满足足 KCL 以以外外，其其相相量量也也满满足足 KCL。但但注注意意，电电流流的的振振幅幅值值和和有有效效值值不不满满足足 KCL。 0iii321 若若三三者者都都是是同同频频率率的的正正弦弦波波，则则 0eIReeIReeIRetjm3tjm2tjm1 可以写成可以写成 0e )IIIRe(tjm3m2m1 0IIIm3m2m1 或或0III321 二二、KVL 的的相相量量形形式式 CU +_+ - + -+-RuL

22、uSuRU LU CusU 即即：除除正正弦弦电电压压瞬瞬时时值值满满足足 KVL 以以外外，其其相相量量 （振振幅幅相相量量或或有有效效值值相相量量） 也也满满足足KVL。仍仍注注意意，振振幅幅和和有有效效值值不不满满足足 KVL。 同同样样有有： ) t (u) t (u) t (u) t (uscLR smcmLmRmUUUU 或或scLRUUUU 例例 ： 上上 图图 电电 路路 中中 ， 已已 知知tcos100) t (us ，tsin30) t (uL ，)180tsin(150) t (u0c 求求)t(uR +_+ -+ -+-SuRuLuCu作作业业： （441 页页）10

23、-17，10-18 解解：cmLmsmRmUUUU 其中其中0sm0100U ， 30j9030U0Lm ， 150j9150U0cm 0Rm502 .156120j10030j150j100U 即即 )50tcos(2 .156) t (u0R 注： （欧拉公式）注： （欧拉公式） sinjcosej j9010 ，118010 10-4 RLC10-4 RLC元件电压电流关系的相量形式元件电压电流关系的相量形式 上式的含义是：上式的含义是： （1） RIU 或或mmRIU 即即U与与I或或mU与与mI符合欧姆定律符合欧姆定律 （2）iu ,即电压即电压 u 与电流与电流 i同相。同相。 R

24、iu 若若)tcos(I2)t ( i ，则，则)tcos(RI2) t (u IRU 或或mmIRU （电阻（电阻 VCR 的相量形式）的相量形式）一、一、 电阻元件电阻元件iRu+_ 两端取相量，由微分引理得两端取相量，由微分引理得ILjU （电感元件电感元件VCR 的相量形式）的相量形式） 若若)tcos(I2)t(iiL ，则，则)90tcos(LI2) t (u0iL 二、二、 电感元件电感元件dtdicu + u _ iL上式意味着上式意味着0iumm90LIULIU 或或 ., 0u),(0,u,u,I ,L,L,)2(LLL等等效效为为短短路路电电感感此此时时直直流流当当一一定

25、定时时当当电电感感对对电电流流的的阻阻力力随随 (3) uL超前超前iL900. （1)1)对相量对相量U U和和I I，j Lj L有有“电阻的含义；电阻的含义； iC+ -u三三、 电电容容元元件件 由此可见：由此可见： （1） j C 有“电导”的含义；有“电导”的含义； (2) c， cI，当，当 c 和和 U 一定时，一定时， cI,当当0 （直流） ，（直流） ，0Ic ，电容等效为开，电容等效为开路，这正是直流稳态时，电容应有的表路，这正是直流稳态时，电容应有的表现。现。 等等式式两两边边取取相相量量，由由微微分分引引理理得得 UcjI 上上式式意意味味着着 0ui90cUI d

26、tduc) t ( i (3) icci超超前前cu 900。 若若)tcos(U2) t (uuc 则则)90tcos(cU2) t (i0uc 例例 已知电流表已知电流表 A1、A2 的读数如图，求电的读数如图，求电流表流表 A 的读数。的读数。 ?A A10A1 A10A2 RC解解：设设并并联联支支路路两两端端电电压压00UU 则则A010I01 ，A10jA9010I02 A451 .1410j10III021 即即电电流流表表 A 的的读读数数为为 14.1A。 例例 已知已知A)30t5cos(25) t ( i0 ， 求求) t (us。 4 2H 2H 0.5F+_iSu解解

27、：A305I0 则则V10j3 .173020I4U0R V3 .43j251205030525jILjU00L& V73.1j16025.05j305cjIU00c &V4 .975257.51j7 . 6UUUUcLRs V)4 .97t5cos(252) t (u0s 四四、 阻阻抗抗与与导导纳纳 欧欧姆姆定定律律的的相相量量形形式式元件元件或或N I U 1、 阻阻抗抗的的定定义义 jXR)(IUIUIUZiumm （1） Z 虽然是两个相量之比，但虽然是两个相量之比，但 Z 不是相不是相量，通常是一复数，有模和幅角或实部和虚量，通常是一复数，有模和幅角或实部和虚部，实部为电阻成分，虚部为电抗成分。部，实部为电阻成分，虚部为电抗成分。 (2).阻抗值取决于电路结构、 元件参数阻抗值取决于电路结构、 元件参数及电源频率。阻抗的单位为欧（及电源频率。阻抗的单位为欧（ ） 。）