数列求和的8种常用方法最全

1、求数列前n项和的8种常用方法一.公式法(定义法)：1.等差数列求和公式：Sn(a1n2na1n(n1)d21,即前n项和为中间项乘以项数。这个公特别地，当前n项的个数为奇数时，S2kl(2k1)ak式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：(1)q1,sn(2)q1,Snna1;na11q3 .可转化为等差、4 .常用公式：n1q等比数列的数列;,特别要注意对公比的讨论;(1)1-n(n1);2(2)k21122232(3)k311323331n(n1)(2n6n2；21)1-n(n31-)(n1)；2(4)(2k11)(2n1)n2.已知10g3x解：由1og3x10g231xn的前n

2、项和.log2310g3x10g32由等比数列求和公式得Snxx2例2设Sn1一S的最大值.(n32)Sn1解：易知Snf(n)1n(n2Sn1),=(n32)Sn111，Sn1一(n1)(n2nn234n6412)当、.n64n34n,，即n882)250<n1508时,.倒序相加法：如果一个数列an1f(n)max-.50,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（&an）.例3求sin21sin22sin23解：设S

3、sin21sin22sin23将式右边反序得sin288sin289的值2一sin88.2一sin89_2Ssin289又因为sinx+得22S(sin1S=44.52sin288cos(902、cos1)例4函数fx2_2_sin23sin22x),sin2x2cosX1.2.sin1（反序）(sin222cos2)(反序相加)22(sin89cos89)=89f201211ff201220111，一f-f1的值.2.错位相减法：适用于差比数列（如果an等差bn等比，那么anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以bn的公比q,向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和如：等比数列的前n

4、项和就是用此法推导的.例5求和：Sn13x5x27x3(2n1)xn1解：由题可知，（2n1）xn1的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xn1的通项之积设xSn1x3x2一得(1x)Sn5x3,1即：（1X）Sn.q(2n1)xn1一Sn(2n(1x)7x4(2n1)xn2x2x22x32x4n12x-(2n1)xn1x1)xn(1x)1（设制错位）2xn1(2n1)xn(错位相减)462n解：由题可知,2Sn222222222n2n44,前n项的和.的通项是等差数列2n的通项与等比数列42n的通项之积一得,Sn423(1n22n16236241)Sn2空.2n2n2n122212n1222

5、3242n2n122n2n2“1（设制错位）（错位相减）四.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.适用于-，其中an是各项不为anfn1常见裂项公式anan1c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。其基本方法是(1)(2)1n(n1)11n(nk)anan1danan1）（an的公差为d）;(3)an.an111n(n（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）1(n1)(n2)?(4)an(2n

6、1)(2n1)12nan2(2n)2(2n1)(2n1)系);(5)n2n(n1)12n2(n1)nn(n1)12n1n2n1一二n,则Sn(n1)2n1(n1)2n(6)sin1cosncos(n1)tan(n1)tann;n11(n1)!n!(n1)!(8)常见放缩公式：2（n1n）2(n求数列12：2、3n、,的前n项和.n1解：设an则Sn（裂项）12.2.3=(,2.1)(,.3,2)（裂项求和）例7求和Sn(2nJ1)(2n1)例8在数列an中,ananan1，求数列bn的前n项的和.解:1n12nn1222n18(1nnn1)n1（裂项）数列bn的前n项和(-n（裂项求和）-11

7、1Sn8(1-)()2231、=8(1)n1=里n1例9求证:解：设S1cos0cos11cos0cos1sin1cosncos(n1)11cos1cos21cos1cos2tan(n1)cos88cos891cos88cos89tanncos1.2.sin1（裂项）cos0cos11,(tan1sin11ft(tan89coslcos2cos881cos89（裂项求和）tan0tan0)(tan2tanl)(tan3tan2)tan89tan88sin1原等式成立cotlcos1一sin21变式求Sn11153516313解：112121)1513(131(131、1351351)-1631

8、57(11179111)()111-(-)235257279111111)(35)(57)(79)-（1）2949五.分段求和法：例10在等差数列an中a0前n项和.23昌522,求：（1）数列an前多少项和最大；（2）数列an六.分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可111例11求数列的刖n项和：11,-4,7,二73n2,aaa111解：设Sn(11)(4)(-y7)(-3n2)aaa将其每一项拆开再重新组合得-111Sn(12F)(1473n2)aaa（分组）当a1a=1时

9、，Snn(3n1)n2_(3n1)n2当a1时,121an12n(3n1)naa1n(3n1)n=2a12的前n项和.解：设akk(k1)(2k1)2k33k2knn32Snk(k1)(2k1)=(2k33k2k)k1k1将其每一项拆开再重新组合得nnnSn2k33k2kk1k1k1=2(1323n3)3(1222n2)(12n)22_n(n1)n(n1)(2n1)n(n1)=2222_二n(n1)(n2)21 111变式求数列1，,2，,3,，n，的刖n项和.2 482n（分组求和）（分组）（分组求和）解:S1；112-3-48(123n)1111(22223引1-n(n2七.并项求和法：在

10、数列求和过程中，将某些项分组合并后即可转化为具有某种特殊的性质的特殊数列，可将这些项放在一起先求和，最后再将它们求和，则称之为并项求和.形如an1nfn类型，可采用两项合并求.利用该法时要特别注意有时要对所分项数是奇数还是偶数进行讨论例13求cos1°+cos2°+cos3°+cos178°+cos179°的值.解：设&=cos1°+cos2°+cos3°+.+cos178°+cos179°:cosncosQ80n)(找特殊性质项).&=(cos1°+cos179

11、76;)+(cos20+cos178°)+(cos3°+cos1770)+(cos89°+cos91°)+cos900(合并求和)二0例14数列a,斛：设S2002由今a4a7n:a1:ai1,a21,a51,a8a23,3,1a23,a32,an2an1anS求S2002.a3a33,aa92,62,a2002an22,a。an1an可得1,a113,ai22,a6k1,a6k1S2002=1,a6k23,a6k3a6k2aa2(a1a2999a6k3a3a3(a1993a2000a6k2a6k4；a2002a6)a1994a2001a6k32,a6k

12、(a7a6k5aa2002a6k46kasa1998)乳)'a1999a20003,a6k62（找特殊性质项）（合并求和）(a6k1Ia2001a6ka2002例15在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求10g3al10g3a2解：设Sn10g3a110g3a210g3期由等比数列的性质mnpqamanapaq和对数的运算性质logaMlogaNlogaMN得Sn=(log3a110g3a10)(log3a2(log3a1a10)(log3a2a9)10g3910g3910g3910g3a9)(log3a5a6k6)10g3a10的值.（找特殊性质项）(log3a510g3a6)

13、(合并求和)a6)二10变式求和Sn122232425262299221002.八.利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例16求111111114之和.n个111,（找通项及特征）（分组求和）解：由于11119999(10k1)k个19k个191111111111=1(1011)1(1021)-(1031)1(10n1)99991123n1(10110210310n)-111199n个1110(10n1)n91019=1(10n1109n)81例17已知数列an:an解：V(n1)(anan1)8(n1)8(n1)(n3)1，求(n1)(anan1)的值.n1=8(n1)(n13)(nn11)(anan1)变式求555555解：:anSn9595815910110110n(n2)(n14(-n1n1二4(3=1335557-n个51510