数学知识体系

1、局中数学基础知识整合第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分定积分与微积分单调性函数的基本性质列表法解析法T使解析式丁意义及实际意义'/常用换元法求解析式J观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、*重要不等式、三角法、图象法、线性规划等-1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。*2.复合函数单调性：同增异减。1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(->=f(x)还是-f(x).、*2.奇函数图象关于原点对称，若x=0有意义，则f(0)=0.«3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立。,f(x+T)=f(x);周期

2、为T的奇函数有:f(T)=f(T/2)=f(0)=0.1'二次图数、基本小等式，河勾图数、二用图数/界住、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。定义、图象、性质和应用c三0(c为常数?(xn)=nxn*inx)=cosxfcosx)=sinx；,怕xhakbh1尊尸x|na；(e'尸.*导数概念f导数应用导数的四则运算法则*定积分概念简单复合函数的导数微积分基本定理基本初等函数求导f,)g(x)可导的，则有：(1)f(xkg(X广(x%0gyf懦馅件上)但闻f凹卬二函数的极值与最值广*L曲线的切线-Ha变速运动的速度L詈生活中最优化问题L产函数的单调性研究定义及几何意义1.曲

3、线上某点处切线，只有一条；切线不一定只一条，要设切点坐标。曲边梯形的面积变力所做的功和式的极限定理含意定理应用Tf<x产=fx干该区间递增，f'xfxF该区间递减1 .极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点;2 .闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。2.过某点的曲线的1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限;+性质一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程;3.比较区间端点函数值与极值，找至最大(最小)值。2.用公式。士fg(xdx；a口：二caf(xdx=F(b”F(a件顿一莱布尼兹公式f1.求平面图形面积;、一三四!2.在物理中的应用(1)求变速运动的较

4、程：(2)求变力所作的功；W=jF(xx第三部分三角函数任意角的三角函数任意角三角函数定义一三角函数线角区别第一象限角、锐角、小900的角任意角与弧度制;单位圆同角三角函数的关系一平方关系、商的关系r诱导公式*奇变偶不变，符号看象里r公式正用、逆用、变拶广及“1”的代换和（差）角公式寸化简、求值、证明（恒等司）二倍角公式正弦函l=sinx余弦函l=cosxr三角函数的图象正切函鹦=tanxy=Asin(3+6性质描点法（五点作图法）几何作图法定义域、值域单调性、奇偶性、周期性对称性对称轴（正切函数除外）经过函数图象的最高（或低）点且垂盘轴的直线对称中心是正余弦函数图象的零点，正函数的对称中心为

5、ki（,0）（keZ）图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不'；图象也可以用五点作图法；用军体公换求暴调区间（那符号）；最小正周的=铃；对称锹=他上史3,对称中心为旦二？,b）（kZ）.附为国-三角函数模型的简单应用生活中、建筑学中、航海中、物理学中第三部分三角函数与平面向量第四部分数列解三角形面积实际应用向量的概念正弦定理平面向量概念+等差数列Q等比数列11Sabcah.absinC.B-22-2sinA-sinB-sinC-适用范围：已知三边，解三角形；已知两边和它们的夹角，解三角形。'P(P-a-b俨-c其中=abCR是外接圆半径-4R1

6、-a：；b4crr是内切圆半径零向量与单位向量解的个数是一个?两个？还是无解?a-b-cP二厂一(1)解三角形时，三条边和f三个角中“知三求二”。(2)解三角形应用题步骤：先准确理解题意，然后画出示意图，再合理选择定理求解。尤其理解有关名词，如坡角、坡比、仰角和俯角、(方位角、方向角等。)表不线性运算加、减、数乘一几何意义及运算律a'|b：:ab=0”：为-yy2=0a/b:b1=，0a：*：的丫2y1=0a；。数列的定义通项公式递推公式anW3n的关系q/Qan,。常见递推类型及方法*常见的求和方法数列应用Snng(a1+an尸0展.am+an=ap+aq=2am5-2qan4r_a

7、n数an1,an=S1,nVSn-Snrn之2Gn=&+(n-1d=amn1.=Panq逐差累加法逐商累积法构造等比数列an七构造等差数列寺P11Ian1-Sn=na(q3l时；)同二qU2aman-apan1;常数an-aq-am.nF等差中项:等比中项:化为±±二p一,*书转化为qqq一M公式法：应用等差、等比数列的前n项和公式)倒序相加法分组求和法H裂项相消法.错位相减法,自然数的乘方和公式：n1n区k小运iZk：=H呻+1)'c1n(n+阴n+13q1_qn1an=a1q-amq2an1=an-an.22ani=anan2第五部分第六部分立体几何与空

8、间向量一次函数z=ax+by_b构造余率：zxa厂几何意义：z是直线二ax+by-z=0在x轴截距的a倍，y轴上截距的b.+构造K巨离z口正_a2*yb2一元一次：ax>bf分a>0,a<0,a=0(b>0b<0)讨论一元二次不等式*ax2+bx+c>0(aw0)分a>0,a<0,A>0,A=0,A<0讨论一元高次不等式,xixx2y，(xKn产(<0Ji仁fq)g(x拜且g(x产x系数化为正，“穿根法”，奇穿偶不穿绝对值不等式分式不等式fxx-zgjxyfxygxj1及僻个衿十产个芋里A-g(x)|f(xUg(x|f(x|j4

9、g(xlj形如|x-a|华7至，可分段讨论或用色对值几何意义求解.)人指数对数不等式I利用性质转化为代数不等式，二底数a的讨论J相交_ainPjzij平行卜m町A&-异面直线所成的角范围；（00,900“空间的角>中|an.二|a.n；cos-1n2；一|ni|n；直线与平面所成的角asin71二面角点到平面的距离an空间的距离直线与平面所成的距离A平行平面之间的距离a，0异面直线所成的角里A射影法二面角*垂线法垂面法通过做二面角的棱的垂面,两条交线所成的角即为平面角共面向量空间向量的利用三垂线定理作出平面角，解直角三角形求角共线向量定理V二面角甘勺大小为co沿S'+Sa

10、b=，LOP'=OAT范围；00,900f范围；00,1800BC0退出弟六部分立体几何与空间向量上一页退出相互之间的转化直线与平面所成的角cost=cosncos?;.空间向量与立体几何空间向量及其运算*立体几何中的向量方法加减运算空间向量的数乘运算空间向量的数量积运算空间向量的坐标运算定理空间向量基本定理平行与垂*直的条件向量夹角向量距离一直线的方向向量与法向量向量法证两直线平行与垂直求空间角*求空间距离点到平面的距离：d=，pW3b共面=p=xa+yb,a,b示共线)、或AP=xAB+yA(COP=OA+xAB+yACjxOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)>空间任一

11、向量p=xa+yb+zdja,b,c不共面）*推论：设OABC是不共面四点，则对任一点P有lOP=xOA+yOB+zOC(x,y,zR)ab：=b=aa00,八三R;aIbab=0I-cosa,b=*AB=RAB1.求异面直线的夹角8：cos8,一一I引bnMp|为平面q1的法向量,|n|',M三:匕P：'、线面距、面面距都可转化为点面距.2.直线与平面的夹角力cosiaa”1an（a为直线方向向量，n为平面法向量）直线的方程-nV.圆的方程-nV第七部分解析几何0耻第七部分解析几何小(0阿-*圆的方程点和圆的位置关系.直线和圆的位置关系.圆和圆的位置关系空间直角坐标系标准方程

12、：(x-a)2+(y-b)2=r2一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)俨AB为直径圆方程:_x2汽y_乃p_yz尸J,元二次方帝点在圆内=d<ry（"一aj弋y0-b）靖点在圆上=d一a*y0-b）=r2点在圆外：=d.r：=5-a2邨0巨2相离Ax2:：；Bxy：uCy2：uDxUEy：uF-0表示圆的充要条件是：A二C二：0B=02：uE2-4F.0相切T相交4Am，或<r=J'1y2'',4x22-4x1x2几何法：|ab=2.r2-d2弦长公式：代数法：|AB|=*$1x1-2相切*«）利用两圆方

13、程组解的个数是0,1,2；、.一（2*1T或<1+2u相交；d=r1七仁J外切；d3r七内切:Q，1由"2：外离；0<d«加-r内含一空间两点间距离、中点坐标公式第七部分解析几何几种常见的直线系：（1）共点P,x。，y0p线系:y_y0=k（x_x0）；特殊地y=kx+b表示过点（0,b）的直线系，不包括y?由（2）平行直线系：ykx+b（k为参数）表不斜率为k的平行直线系；Ax+By=九（？为参数）表不与已知Ax+By+C=0平行的直线系；Bx-Ay=九（一为参数）表示与已知Ax+By+C=0垂直的直线系.（3）过两直线交点的直线系：0为参数»x+B

14、y+C1+”Azx+By2+C2尸0（不包括I2）Ax+By?+C2+j4Ax+By+C1)=0"包括L；几种常见的圆系:（1）同心圆系：|x_a2犬y_b=r2(a,r为参数平x2+y2+Dx+Ey+F=0)E为常数，F为参数,第七部分解析几何(2)圆心在x轴上的圆系：(x_a)+y2d7a,r为参数x2+y24Dx+F=0(D,(3)圆心在x轴上的圆系：x2*y_b=r2p,r为参数/x2十y2+Ey+F=0(E(4)过原点的圆系：(x_aJ4y_b2a2+b2或x2+y2+Dx+Ey=0;(5)过两已知圆交点的圆系：x2+y2-+D1x+E1y+F1+j._(x2+y2+D2x

15、+E2y+F2或x2+y2-+D2x4E2y+F2+逑2+y2+D1x+E1y+F1/(不含C1j其中?为参数直线与圆锥曲线的位置关系:F为参数，且F为参数，且AAx4By4C皿、，一,、,二1.直线l：Ax4By4CR,二次曲线C：的位置关系：交点个数与方程组有几组解一一对应，一1f（x,y/。其交点坐标就是方程组的解；2弦长：|AB.，1铲i211k为直线l的斜率）3.椭圆上M%,y0y处的切线为：替塔H4双曲线上M0,y。*处的切线为：子4y=1-V圆锥曲线对称性问题椭圆定义及标准方程几何双曲线/范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）渐近线（双曲线）、准线、离心率。（通径、

16、焦半径）*抛物线性质“相切相交*弦长相离直线与圆锥曲线的位置关系定义|MFJ4MF?=2a(常数2a>|F-1F2|=2c)标准方程xy7十士个22b>0a时椭圆变J*圆，x?+y/二ayx/图形yM(x0,y0)M(x0,y°bLxJx中心(0,0)(0,0)顶点(±a,C),)(0,此)(0,±a)(士b,0)焦点e二c,0)(0,tc)对称轴x轴，y斗由；原点x轴,y轴;原点范围-a<x：<a;-b<y<b-b<x<b;-a<y<a准线方程x二卫-c,ay=±-c焦半径|MFj=a+ex0

17、；|MF2|=aex.|MF1=a+ey0;|MF2|=a-ey°离心率e=c(0<e<1,其中c2=a2_b2je_»1,椭圆越扁；e_»0,越圆:|长轴短轴2a叫做椭圆的长轴,a叫做长半轴长；2b叫做椭圆的短轴，b叫做短半轴长；通径过焦点垂直于长轴匕向椭圆的弦。通径长=£b2特别提示：1.2a4c时，轨迹是线段；2a逑曲，轨迹不存在；2.焦点弦AB-AFJ-：|BF1-2aex2;3.椭圆的焦点永远在长轴上;.圆锥曲线定义|MF1-JMF2|=2a(常数2a<2c=F1F2I)标准方程222等=1(a>0,b>0)22y

18、x_.才-p一=1(a>0,b>0)图形3_M(xftyo)Fi/cRxx中心(0,0)110,0)顶点也,0)（。由）焦点住c,。）(0,坳对称轴x轴,y轴；原点x轴,y轴;原点范围1x|之a,ywRy|>a,x=R准线方程x=+-cy二:±a-c焦半径MFfc右支上：|MFj上不-+a;|MF2|二ex-a；M左支上:|MFj=4ex'+a);|MF2|=-(e%-a)M在上支上|ME|=ey)+a;|MFj=ey)a;M在下支上|MFj=4ey)+a);|MFj="(eya)渐近线,by=±-xay=±a-x实轴虚轴2a叫

19、做双曲线的实轴，a叫做实半轴长；2b叫做双曲线的虚轴，b叫做虚半轴长；离心率e=c(eA1,其中c2=a2+b2)a-.e>1,越大，e双曲线开口越大，e越小开口越小。G寺别提示：1.2a=2c时，M点的轨迹是两条射线；2a>2c时轨迹不存在；2.双曲线焦点永远在实轴上;22223.等轴双曲线方程：x2_y2=a2或y2_x2=a2,其中en5,渐近线y二十;4.共瓶双曲线：二一二1与上=二1,-abba同渐近线，四个焦点共圆，且二十LT;5.若直线与双曲线只有一个交点，则直线与双曲线相切或直线与渐近线平行。Le：e；/圆锥曲线抛物线xr-1上一页工/第八部分排列、组合、一项式定理

20、、>理与证明,计数原理定义平面与定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。即|MFd标准方程y2=2px(p>0y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)简图川薪0%)f*M(x0,yO吸1M(xc,y0)*x1本铲00)1焦点但0I2JI'P-了)I2)顶点(°,0)(0,0)(0，0)(0,0)准线方程通径端点71Lx=x=£1P+p)2pbnT*2J对称轴x轴x轴y轴加范围x>0,yRRxM0”Ry>0,xRy<0,xR焦半径MF|=x0甘|mfIPY1=2-x。lMFl=丫0+

21、TlMFl=ip-y01离心率e=1特别提示：1.抛物线定义中定点F不能在定直线l上，否则轨迹是过定点且垂直于l的直线;2.p的几何意义是焦点到准线的距离，p越大，抛物线开口越大；3.直线与抛物线只有一个公共点时，则直线与抛物线相切或直线与抛物线对称轴平行或重合。证明N=m1,m2一»mn-IN=m1*m2*mn推理与证明m-mnm两个Cn=Cn性质：pm,m+rmCn牛CnCn上一页0退出古典概型*对立事件+独立事件随机变量正态分布若YjX4bT则随机抽样*用样本估计总体条件概率两点分布内离散型随机变量的分布列二项分布超几何分布r期望、方差/nR虫立重复试验恰好、发生k次的概率：,

22、p)_E(X=P；D(x尸'_pjn,p；Ex=np；Dx=np1pf.n(k>c：pk0_p/*密度曲线及3。原则PX=kC；c简单随机抽样系统抽样分层抽样4抽签法L随机数表法共同特点：抽样过程中每个个体被抽到的可能性(概率)相等.r-c：nEX=;xpi;甲忌X)p频率分布表和频率分布直方图L样本频率分布估计总体*样本数字特征估计总体总体密度曲线茎叶图期望、方差及标准差+众数、中位数和平均数复数的分类一复数的概念复数相等共轲复数复数的加法复数的减法复数的运算复数的乘法复数的除法复数的向量表示数系的扩充提示：虚数不能比较大小;几何意义及对应复数z=a+bi/共施复数的性质：一、设zz=a牝i,zz=a-bi(a,bWR)则宅二z；(2)z才仁力实数;(3)z=u且z#0£虫纯虚数；(4)zJzu；(5)Z1。拄；(6)ZiZ2=ziZ2；性质应用n的共轲复平面内的点Z(a,b)平面向量oZZi(z2=0);z2=zJnWN.：(i)设g=-好则有近-句母T,0W邹2二时2T，1地,如HE3土依Rn三N).2.i,ii4i-i.i-i(2)i.=2;1i1T壬"i.i=2；i_in；i.i'心数模的运算性质：设z1、z2C<(1)|z1的率切期十z2；|zi七22+i-22=24物zj2；(3)如果n