整理二元函数极限的求法

1、精品文档二元函数极限的求法数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.1 言多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多，因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困又T求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐，其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本

2、文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.1.2 元函数极限的定义定义1设E是R2的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对E中的每一点(x,y),通过规律f,在R中有唯一的一个u与此对应，则称f是定义在E上的一个二元函数，它在点(x,y)的函数值是u,并记此值为f(x,y),即u=f(x,y).有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数x=Jr2-x2-y2就是一个上半球面，球心在原点，半径为R,此函数定义域为满足关系式x2+y2MR2的x,y全体，即D=(x,y)|x2十y2«R2.又如,Z=xy是

3、马鞍面.知道多元函数的定义之后，在我们求多元函数极限之前我们必须知道多精品文档精品文档元函数极限的定义定义2设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数f(M尸f(x,y)在点M0(X0,y0卢E附近有定义.如果Vs>0,m6a0,当0<r(M,M0)<6时,就称A是二元函数在M0点的极限.记为J叫(M产A或fM>AM>M0.定义的等价叙述1:设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数f(M产f(x,y)在点M0(X0,y。产E附近有定义.如果V>0,第>0,当0<7(x-X0f+(y-y0)<S时，有f(x,y)-A<&,

4、就称A是二元函数在M0点的极限。记为Jimf(M)=人或f(M尸A(MtM0定义的等价叙述2:设E是R2的一个开集，A是一个常数，二元函数f(M户f(x,y)在点M0(x°,y0产E附近有定义.如果Vs>0,而a0,当0<xx°|<6,0<y-y0且(x,y)¥(x°,y°)时，有f(x,y)-A<£,就称A是二元函数在M0点的极限.记为lim(M)=A或MMgfM>AM>M0.注：(i)和一元函数的情形一样，如果jjmf(M)=A,则当m以任何点列及任何方式趋于乂0时，”乂)的极限是A;反之

5、，M以任何方式及任何点列趋于M。时，f(M)的极限是A.但若M在某一点列或沿某一曲线tM0时，f(M)的极限为A,还不能肯定“乂)在乂0的极限是A.二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂.精品文档精品文档3.二元函数极限的计算方法二元函数极限是在一元函数极限的基础上推广得来的，两者之间既有区别又有联系.在极限的运算法则上它们是一致的，但随着变量的增加，二元函数极限的求解比一元函数复杂得多.现总结出一些常用的二元函数极限求解的方法，对后面含有更多变量的多元函数极限的求解打下基础.3.1 利用二元函数极限的定义求解例1求（殁,。”所一,一+,，

6、.-2,2T解：当（x,y产（0,0）时，（x+y）sin?十yI<|x+y<x+任意地给定一个正数名，取5=|，则当x<6,y<6,并且（x,y）#（0,0）时,有（x+yJsinx2+y2I-0<|x+|y<®,所以HW“x+yFin3.2 利用极限的运算法则求解二元函数的极限的运算法则有着和一元函数类似的运算法则例2求x22xyy2x-y解：由于x22xy+y2=xy2,则x2-2xyy2）|x-y|=±（lim0x-limQy）=0.1.3 利用初等函数的连续性求解精品文档精品文档二元初等函数在定义域内都是连续的.由二元函数极限的

7、定义可知，若f为二元初等函数,R(x0,y0)是函数f定义域内一点,则3叫0f"=f"0.4lnxey例3求limj.x，y/，°,'x2y2lnxey解：因为f(x,y)=,.是初等函数,而(1,0)是其定义域内的点,x2y2lnxeylim=f1,0,-ln2.x,y>1,0x2y21.4 利用无穷小量的相关结论求解一元函数关于无穷小量的某些结论对于二元函数同样适用，例如无穷小量的倒数是无穷大量，等价无穷小替换，无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量.sinx3y3例4求(XJmoo,.解：(x,yp(0,0)时,sin(x3+y3£1

8、(x3+y3).故sinx3y3xjim，0,0xy，0xy/40x2一xyy2=0.1.5 利用两边夹法则求解精品文档精品文档类似于一元函数极限的两边夹法则，可证明二元函数极限的两边夹法则.设f(x,yg(x,y例h(x,y)在区域D上有定义,诲,y)是D的内点或界点gx,y<fx,y<hx,y)，若"期,yo)g(x，y尸A，limx,y.%,y0hx,y尸A则有“丸0尸一尸儿求lim2x，yK；x-xyy解：由x2+y2>2xy可得x+y1lx+y|lxl+|y|11x2-xy+y2-x2+y2-|xy|-2|xy|-|xy|x|ylimL一py箔<成国

9、|y|；11=limlimx二冈y，y=0,所以lim22x,y，二二x-xyy=0.1.6 利用重要极限公式求解有时我们可以利用一元函数的重要极限sinxlimx°x接求解二元函数的极限例6解：令t=x3+y3,则(x,v尸(0,0)时30,从而精品文档精品文档lim.x3y3x,yjp，0xy33xy=limxy0,0xysinx3y3lim33X"0,0x3y3.22.sint=limx-xyy.lim一x，y.°，0t0t=0.解:、1求lim11xsiny1)lim1+(x，y")lxy；,y1lim1优的大xyxyxsinysinyxy.-y

10、lim|x,yIxy.=lim11口ftJ二e,sinylimx，yjI-；：y.siny=lim=0.y-3：yxsiny1+,.xyJ=e0=1.3,7把二元函数的极限转化为一元函数的极限定理1z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某空心邻域内有定义，cosa,sina是向量(x-%,y-y0)的方向余弦，若四f仇+tcos«,y°+tsin«)=A，则有:(1)若(xy；mxyf(x,y)=A,则A与U无关;(2)若A与口有关，则limjx,yjmy。2f(x,y)不存在.例8求m3,2±3髯春精品文档精品文档解：此极限中xo=3,y0=2tco

11、s：工itsin;limf3tcos：,2tsin：=lim22t0tcos：工i-itsin：2.22-=呵tsin.：>cos-=0.从而x-3y-2iim22o.x-3y-23.8利用换元法.22s1nxyxy求limx，y>0,0xy.22解:sinxyxylimx，y0，。xysin|xyxy：Ixy1ylm0,0xysin|xyxy：lxyxysinxyxy-Rm0，。fx+y卜,用0,0)xy(x+y)令1=xy(x+y),因为(x,y)t(0,0)所以tT0,则sin|xyxy,0xyxy=lim/.t0t所以sinxyxy(xj%0俨+y卜用,。)xy(x+y)=

12、0，精品文档精品文档-22sinxyxylim:0.x，y30,oxy例10求(X/以00,x十y)ln(x2+y2)解：令x=rcosH,y=rsin仇贝ij0E(x+y)ln(x2+y2,=2r(cos9+sin8)lnr<4rInr.Inr、其中limrlnr=lim-洛必达法则lim(-r)=0.故由两边夹法则知：r_0r_01r_0r22limxylnxy=0.x,yF；0,0在求某个具体极限时，往往是多种方法的综合运用.如在上面的“重要极限”中的两个例子，实际上也运用到了换元法，在“换元法”的例子中用到了两边夹法则以及洛必达法则.但要注意在使用洛必达法则时，必须把原极限转化为

13、相应的一元函数的不定式极限.4.综合运用由上我们知道二元函数的求法有很多种，同一个题目可以有多种做法也可能是几种方法的综合.因此，我们要灵活运用二元函数极限的计算方法例1试应用"定义证明方法1证明：因为x,yT(0,0)时,0<|x2yx2y2x“22xy-2x-x从而Tea0,取6=8，则当0<|x<6,0<|y<6时,精品文档精品文档所以方法1的证明中用的是方形邻域.如果用圆形邻域，则证明如方法2.方法2证明：因为<x2+y2,y<x2+y2,所以x2yx2y2万于是对于Va>0,取6=苍贝当0<Jx2+y2时,0x2y2方法

14、3证明：令x=rcose,y=rsin日,则(x,y尸(0,0)时,rT0.所以r2cos2-.rsin口从而VwA0,取6=w，当0vr时，有所以精品文档2xy2.2xyEr<6=£,精品文档例1主要是运用二元函数极限的定义来解决问题例2求闻“x2+y2解：因为c22.,20Mxyln(xy2222x2y2一422lnxy令t=x2+y2,则222心xylimx,y)0,04=lim12lntt,-04=0.22Inxy所以22xylimxyx,y三,Q0x2y2lnx2*y2=limex,y>0,00二e=1.例2中用到的是两边夹法则以及换元法的综合x0yJ0x2y2

15、解法1:设P=，x2+y2,x=Pcos"y=Psin8,则y-xxlim-精品文档精品文档：2|Qsin二-cos【cos二=lim':isin二-cos二cos?解法2:y-xxx22xyx2y2x2y2x2y22x2y2一x2y2=2,x2y2.lim2x0y0x2y2=0,所以limx0y0y-x、。.,x2y2求lim2xy2±lx+y)解:xy=0,所以二yj：xy242x+yJ=0.精品文档精品文档X2例5求limk+1I*.XIXX2解:1x-ylim11+.xX*1一二e.从上述中的几个例题中可以看出，求解二元函数极限的方法不外乎那么几种.因此，总

16、结出二元函数极限的计算方法是很有必要的.至于三元以至更多元的函数，其极限理论一般地都可由二元函数类推而出.多元函数理论是一元函数理论的发展，但从一元函数转到二元函数，会出现某些原则上是新的东西.比如，二元函数会出现累次极限和重极限的问题.在这里就不一一叙述了.结束语本文通过对比一元函数极限的性质和求法，总结出二元函数极限计算的一些常用方法，并给出了相应的例题加以说明.求极限的方法有很多，通过总结出常用的计算方法，让我们做题时知道如何下手.精品文档精品文档致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指

17、导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的.在这里首先要感谢我的导师柴国庆老师.柴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导.我的论文刚开始写得不尽如意，但是柴老师仍然细心地纠正其中的错误.除了敬佩柴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作.然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励.此次毕业论文才会顺利完成.最后感谢我的母校湖北师范学院大学四年来对我的大力栽培.精品文