整理多元函数微分

1、第八章多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。一、教学目标与基本要求(1)理解多元函

2、数的概念。(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。(5)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。

3、二、教学内容的重点及难点：重点：1 .多元函数的极限与连续；2 .偏导数的定义；全微分的定义3 .多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4 .多元函数的极值与最值的求法5 .二重积分概念，二重积分的计算。难点：1 .多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2 .多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3 .由方程组确定的隐函数的求导法则；4 .条件极值的求法5 .对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1 .多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2 .多

4、元复合函数的求导法则的应用；3 .由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4 .利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5 .将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6 .利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。7 .二重积分概念的深刻背景8 .二重积分的换元积分法9 .重积分的实际应用 8.1 元函数的基本概念一、内容要点1 .平面点集n维空间2 .多元函数的概念3 .多元函数的极限4 .多元函数的连续性二、教学要求和注意点教学要求:1 .理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2 .了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质

5、。教学注意点:多元函数的极限与一元函数极限的定义表面上看起来非常相似，但也有不同的地方，要特别提醒学生注意，一元函数的方向极限只有两个，即左极限和右极限，但多元函数的方向极限有无限多个，动点可以沿着直线的方向趋于定点，也可以沿着曲线的方向趋于定点，这意味着多元函数的极限较一元函数的极限复杂得多。说明1:把一元函数的概念推广到多元函数之前必须把多维空间的领域概念解释清楚，因为多元函数许多与一元函数不同的特殊性质是由多维空间中的领域性质决定的。往往学生自以为已经掌握了多元函数的概念，遇到实际问题还是理解不了。说明2:多元函数的极限是比较难理解的概念，要分清二重极限与二次极限的区别与两者的关系。说明

6、3:在多元函数的范围内仍有基本初等函数和初等函数的概念。一、平面区域首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：1、 邻域：给定平面内P0(X0,Y0)点，和某数60,以Po点为圆心，为6半径作圆，该圆内所有点的全体，即(x,y)(x-x0)2+(y-y0)22,称为P0点的邻域，记做：U(P0,6),简记U(P0);2、 内点：在平面点集E,存在区的一个邻域U(P0)，使得U(P0)uE,则称P0为E的内点；3、 开集：平面点集E内的所有点都是内点，则称点集E为开集；4、 边界点：在平面上，存在某个点P,在P的任何邻域内，都含有点集E的点,又含有不是点集E的点，则称点P为点集E的边界点。【

7、注】：1、点P可以在点集E内，也可以不在。2、点集E中孤立在外的点，称为孤立点，规定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。5、 连通：如果点集E内的任意两点都能用全属于E的折线连接起来，则称E为连通的。6、 区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。7、 有界无界区域：对于平面点集E,如果存在一个以原点为圆心的圆盘D,使EuD,则称为有界区域，否则称为无界区域。8、 聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集E的点，称P为点集E的聚点。内点聚点2边界点【注】：平面点集中点的关系如图淇中:不一定是表示一定不是表示一定是M是边界点，聚点，不是向点点集E点集E

8、/N为孤立点(边界点)，但非聚点.F点是聚点*是内点，但不是边界点4二元函数的极限和连续性1、二元函数定义1:设有变量x,y和z,如果当变量x,y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x,y的二元函数，记作：z=f(x,y),其中x,y称为自变量，z称为因变量。自变量x,y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。【注】1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数(nJ)；2、定义1中，当x,y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称z=f(x,y)为单值函数，但有时侯取值不222是唯一的

9、，这时我们称z=f(x,y)为多值函数。如：z+y+z=9。一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。3、二元函数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即z=f(x，y)1x1,y1中，x,y的取值范围。如：z=f(x,y)=J,，其中的定义01x2,1|y2域就是D=x,y=x,y|x|E2,y2。其二：我们给定的函数z=f(x,y),使得z有确定取值的(x,y)的取值范围。如：z=f(x,y)=arcsin(x2+y2),其定义域为：D=(x,y)|x2+y202、二重极限定义2：设Po(xo,y)为函数z=f(x,y)定义域D的聚点，如

10、果当定义域内任意一点P(P。除外)，以任何方式趋近Po时，即：PtPo,都有f(P)tA,则称f(x,y)在白P0二重极限为A。-6语言表示：Vs0,至0,当0m|PF0=J(xXo)2+(yyo)26时，恒有：f(P)-A=f(x,y)-A0(2)、limx0y)o22xy(x-y)1xy解：(1)：lim(1+xy严xy=lim(1+xy)xy6nxyx；0x0xylim_x/tanxy=eyT=e=e(2):22x-y22xy22x-y22xy22xy/二122xy22xy(x-y)y0ymxx0极限。注二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存鱼11、R例111)

11、显然有：lim(xsin+ysin)=0+0=0,但是一次极限不存在。X.0yxy0(2)、上面例题说明极限不存在。但是其二次极限xy2f2f(x,y)=x2+y2,x2+y2k在(o,0)处的二重cx2y2=00lim(limf(x,y)=lim(limf(x,y)=o。-c-oyo四、函数的连续性及性质定义3：设Po是函数z=f(x,y)定义域D上的聚点，且PowD,如果:limf(x,y)=f(xo,yo),则称函数zx.xoy.y。=f(x,y)在点Po(x0,yo)连续，否则称该点为不连续点。xy22【例】：任由上面例题可知f(x,y)=x十y02x2xy2=oy2=o在(0,0)处

12、是不连续的。【注】：1、等价定义：函数z=f(x,y)在点Po(Xo,yo)连续Ulimf(x,y)=f(x0,yo)=limf(xox.xo.X0y,yoy,0:x,yoy)=f(xo,yo)(2)、利用多元函数的连续性来解决极限问题。(1)、求极限.xy-1lim：1xy解：lim.xy1x1x1=2,且lim(xy-1)=ox1x1原极限=o性质1、(最大值和最小值)若函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，则函数f在D上有界，并且能取得最大值与最小值。性质2、(介值定理)：设函数z=f(x,y)在有界闭区域D上连续，若P1(x1，y1)，P2(x2,y2)D,且f(x1,y)f(x2

13、,y2),则对任何满足不等式f(x1,y)kf(x2,y2)的实数k,总存在Po(xo,yo)点，使得f(x0,yo)=k。特别：取得函数可以取得最大值与最小值之间的一切值。8.2偏导数、内容要点1.偏导数的定义及其计算法fx(xo,y0)=翦fax,y0)-f(xcy0)口除y0)=iym.02.高阶偏导数xf(xo,yoy)-f(xo,yo)二、教学要求和注意点教学要求:理解多元函数偏导数的概念，并会求具体多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数，知道多元函数的连续性与偏导数之间的关系。教学注意点：在一元函数中，可导的要求比连续的要求更高，即可导必连续，但连续不一定可导。而对多元函数而元，偏导数存

14、在时，多元函数却不一定连续，这是多元函数与一元函数的本质差别，应让学生举出反例，如22xy:02,2-xy=0xyf(x,y)=x2y2,0说明1:多元函数的连续性要给出两种定义，补上精确的定义方式(即用“e-6”语言的定义方式，以便让学生能深刻理解多元函数连续的意义。说明2:闭区域上连续函数的性质与一元函数的情形几乎完全相同，不必多做解释。说明3:说明多元函数连续性和偏导数存在没有直接关系，这一点与一元函数的情形是根本不同的，原因是偏导数只有一维的变化概念，极限至少是二维的变化概念。说明4:混合导数与次序无关的条件在初等函数的范围内是很容易满足的，不必过分强调它的条件。说明5:在二元函数的情

15、况，函数在某一点可微的几何意义就是曲面在这一点有切平面存在。说明6:函数在某一点可微可以保证函数在该点的连续性和偏导数存在，但不能保证偏导数在这一点连续，可以举出反例。说明7:在所有介绍的条件中，偏导数的连续性是最强的。函数的偏导数在某一点连续可以保证函数在这一点可微、连续和偏导数存在。二偏导数概念偏增量：；Zx=f(x0x,y0)-f(x0,y0)ZyF(x0,y0y)-f(x0,y0)全增量：z=f(X0.:x,yg.:y)_f(Xg,yo)定义1：设函数z=f(x,y)在P0(x0,y0)的某邻域U(P0内有定义，仪X0+Ax)wU(P0)。若lim.x,0f(x。&x,y0)-f(x0

16、,y0)存在,则称z=f(x,y)在P0(x,y)点关于x的偏导数存在，且其极限值为其在该点的偏导数。记做：Zjx8、(x0,y0)二x或者fx(x0,y)、Zx(x,y),即:(x(),y0)fx(x0,y0)=l.imf(x：x,y)-f(x0,y)同理：fy(x0,y0)=lim,y-0f(x0,y0：y)-f(x0,y。)偏导(函)数：如果函数z=f(x,y)在D内的每一点(x,y)都有偏导数,则称fy(x,y)、fx(x,y)为z=f(x,y)的两个偏导(函)数。2、偏导数的计算【注】1、求z=f(x,y)对x的偏导数时，将y视为常数，对x求导数。求z=f(x,y)对y的偏导数时，将

17、x视为常数，对y求导数。L,L,2、偏导数的符号三、乌是一个整体，不像生可以看成dy除以dx。二x二ydx【例】(1)、设z=工x一z则求，:x二x二y.y二z视y为常数，则.:z:xy、.，_.二x又x=-，视z为常数，则二y又y=xz，视x为常数，则=z。；z同时，由上面计算可知邑至汉=工1.Z=-W芸x曳=1。尤其注意在不一x二y二zxztx：y：z等号的左边表达式是错误的。(2)、设z=x2-2xy+3y3在点(1,2)处的偏导数。，包,汉(1,2)6y(1,2)解:jz:x=2x-2y(1,2)=24=2;(1,2)以,.:z:yxy2(3)、设f(x,y)=x2+y2，X2cx02

18、y2yk0。求f在(0,0)处的偏导数。=0_一2_一一-2x9yu-236=34.(1,2)解：因为函数在整个定义域内表达形式不一样，所以在这里我们只能根据定义来求解。20,0)=眄f(0，x,0)-f(0,0)=lim&=0XTLxfy(0,0)=lmf(0,05f(0,0m&=03、求z=f(x,y)在P0(x,y)的偏导数的方法y=y0,得到f(x,y0),在对x求R方法一1：首先求出其偏导函数fx(x,y)、fy(x,y),在代入该点的坐标值(x,y。)。R方法二1：比如求fx(x0,y0)时。通常我们先代入x导数得fx(x,y0),再代入x=x。(x-1)2xy，、【例】：z=f(

19、x,y)=arctan-sin(yn)十ecos(yn),求fx(1,1)。解：f(x,1)=ex,fx(x,1)-exfx(1,1)=e4、偏导数存在和函数连续的关系偏导数存在函数连续y一*表示不一定成立(1)例题：f(x,y)=xy222xx+y，20xy2二0在(0,0)处的偏导数存在,但不连续。(2)例题：f(x,y)=人+Jy,在(0,0)处连续，但是偏导数不存在。5、几何意义fx(x0,y0)表示：曲面z=f(x,y)与平面y=y0相交的曲线Cx,在平面y=y。内在x=x0处的切线斜率。其中：Kx=fx(x0,y0)=tan：Ky=fy(x,yO)=tanP,如图所示:、高阶偏导数

20、一、，2z定义：设有函数z=f(x,y),称Jx:.:z=()，:x；x；：2z=_L(z)为函数的二阶纯偏导：:y:ys.二，、：2z数，而称fxy(x,y)=；:xfy=(),.y二xfyx(x,y)-2)zjy.:x=(欠)为函数的二阶混合偏fxjy导数。二2z【注】-4.x一一.2.一:z:z二z二z二z黄,丰.x二xcx：y二y二x定理1:若函数z=f(x,y)的两个混合偏导数在区域D内连续，则两者相等。【例】二xyyx,求二:x-2,zo.:x；:y解：z二xyyxyInx-xIny二e，_Nylnxxlny三二ex-2二z一2:x二zylnxxlnyy7Te-三+(+lny)2;

21、x-2二z:x,:y11yxy=xyy(Iny)ylnx-xlnyex(Inx+一)。y三、综合习题【94-1】：z=f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数都存在，是z=f(x,y)在(x。/。)连续的()。(A):充要条件(B)充分非必要条件(C)非充分非必要条件。解：由上面可知，答案是(C)92-11：f(x,y)=xy22x+y02x2x2y2y00,在(0,0)处()二0(A)连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)不连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在解：由上可知，答案是(C)【94-1】x.xf(x,y)=esin-，求2_二z加司(2)解：；:x二一e_xXcosy

22、.x:y-ecosyx.X/cos-e(-sin)(A)3fy2冗=2(2,1)en2z代入，得一；x:y 8.3 微分一、内容要点1 .全微分的定义；2 .全微分在近似计算中的应用二、教学要求和注意点教学要求:1. 理解全微分的概念，2. 会求全微分，3. 了解全微分存在的必要条件和充分条件，4. 了解全微分形式的不变性，5. 了解全微分在近似计算中的应用。教学注意点:要求学生对全微分的原始定义f(xox,yOy)T(Xo,y0)=AxByo(P)有很好的理解。在一元函数中，可导与可微是等价的。但对多元函数而言，可微一定可导，可导却不一定可微。另外，还要让学生知道，但对多元函数而言，可微一定

23、连续。判断全微分存在的充分条件是偏导数连续。说明：复合函数的求导是微分运算中的最基本的法则，务必熟练应用。一、概念定义：设z=f(x,y)在P(x,y)的某邻域U内有定义，对VP1(x+Ax,y+Ay)eU(P),若:Az=f(xo+Ax,yo+Ay)-f(x,yo)=A义+BAY+O(P)其中P=d(Ax)2+(Ay)2,A,B为与Ax,Ay无关的常数，则称z=f(x,y)在P(x,y)点的全微分存在，或者称其在该点是可全微分的，记其全微分为dz,且dz=AAx+BAy。同一元函数类似，在这里规定，dx=Ax,dy=Ay,即：dz=Adx+Bdy。二、概念的关系定理1：可微函数一定连续。(R

24、注1：不连续的函数一定不可微。)证明：设z=f(x,y)在P(x,y)处可微分，则：Az=AAx+BAY+O(P)limz=lm(A.xByO(：)=AoBoo=o/vo?yoz=f(x,y)在P(x,v)处连续。定理2：可微函数的偏导数一定存在，且dz=dx+dy=zxdx+zydyxy证明：设z=f(x,y)在P(x,y)处可微分，则,z=f(xo+Ax,yo+Ay)f(xo,yo)=A4x+BAY+O(P),对X/(x+Ax,y+Ay)wU(P),因为A、B与Ax、丫无关,所以令&y=0,上式依然成立。既z=f(x二x,y)-f(x,y)=Ax0O(x)z1风行:lxmo(AO|：xz)

25、=Ao=A=一x二x同理：令Ax=0,得至U：B。二y一,一,二z,；z.dz=dxdyx二y【注】(1)、讨论函数z=f(x,y)在P(x,y)处是否可微的方法:升.z-ZxX-Zyy右：limi;一=0,则z=f(x,y)在P(x,y)处可微分。kox2y2否则不可微分。xy【例】：讨论f(x,y)=x2+y2,02x2x2y2y00在(0,0)处是否可微分。=0解：由前面可知：fx(x,y)=fy(x,y)=0z-fx(0,0).：x-fy(0,0).：y=J2.x二lim-yAy二lim的”叫该极限不存在。Ex2+2把(“+削2产z=f(x,y)在(0,0)处不可微。(2)、证明函数不

26、可微的一些特殊方法：1、函数不连续一定不可微；2、如果一个偏导数不存在，则不可微。上面例题的证明方法2:因为函数在(0,0)点不连续，所以肯定不可微。定理3:若函数的偏导数连续，则函数可微分。证明：z=f(x二x,yy)_f(x,y)=f(x+Ax,y+Ay)f(x,y+&y)+f(x,y+Ay)f(x,y),由Lagrange中值定理:f(xx,yy)-f(x,y二y)=fx(xx,yy)xf(x,y+Ay)-f(x,y)=fy(x,y+3包户丫,其中Oc%1偏导数连续l1m0fx(x*：x,yy)=fx(x,y)/v-0lxm0fx(x,yy)ufy(x,y),：y0fx(xx,yy)=f

27、x(x,y);ify(x,y12y)=fy(x,y);2其中，lima1=0,limu2=0代入：，z=fx(x,y)xfy(x,y)：y：1x12y由于：llm匕，0姐,Ax2+犷.：z=fx(x,y).：xfy(x,y).：yO(P)函数可微。:函数在（x,y）点的关系函数有连续的偏导数点可微,表示不1定有表示一定有函数可微分：1、f(x,y)=22(xy)sin(2x2x2y2y:0，在(0,=00)偏导数存在，但是偏导数不连续;2、f(x,y)=Vx+3/y在(0,0)点;43、f(x,y)=5xy02x2x2y2y:04,、在(0,0)。=0【例】(1)求dz；(2)求dz|(i,2

28、)解:x2y2zx=e(x2+y2)22xzyx2y21/2二e(x2+y2)T22y22xydz=e(x2+y2)2(xdx+ydy)dz二1(1,2)=35(2dxdy)【例】求u=xyz的全微分4AA解：=yz,=xz,=xy显然这三个函数在空间中任意一点（x二y二zx,y,z)点军连续，u=xyz在每一点均可微，其全微分:dz=yzdx+xzdy+xydz。8.4多元复合函数的求导法则一、内容要点1 .复合函数的中间变量均为一元函数的情形设z=f(u,v),u=2t),v=中，则z=fW(t)W(t),且dz；zdu；zdv=出ju出A出2 .复合函数的中间变量均为多元函数的情形设2=

29、f(u,v),u=邛(x,y),v=W(x,y),则z=f中(x,y)N(x,y),且z二z二utz:V=+x二u二x二v二x.-z二z二u二zcv=r:二u二ytvcy3 .复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形设2=f(u,v),u=9(x,y),v3(y),则z=fW(x,y”(y),且；z；z；:u:xFuFx.z.:z.:u.zdv=r.:y；:u：:y：:vdy二、教学要求和注意点教学要求:1 .会求复合函数的中间变量均为一元函数的情形2 .理解并会求复合函数的中间变量均为多元函数的情形3 .会求复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形教学注意点:多元复合函数

30、的求导法则实际上是一元复合函数求导法则的推广，都是所谓的链锁法则，要求学生掌握其本质，重点要掌握和理解复合函数的中间变量均为多元函数的情形。具体求导时，最好能画出变量之间关系的树形图。、全导数定理1：设u=e(x),v=3(x)在点x处可导，z=f(u,v)在x对应的点(u,v)处有连续的偏导数。则一元函数z=f(u(x),v(x)在点x处可导，称其为全导数。且dz：:zdu：zdv一=一一十或者dxtudx二vdxdzdx：:fduffdv=十-:udx；:vdx公式(1)。称公式(1)为全导数公式。证明：由于z=f(u,v)有连续的偏导数，则z=f(u,v)可微。dz=du+dv,又u,-

31、u二vv关于x可导。从而du=4(x)dx,dv=9(x)dx。代入可得:dz汗du汗dv-十*dx:udx：vdx【例】：(1)、y=u解：=v.:u:Vv=uInu:v口du、，且：一=-sinx,dxdvdx=2sinxcosx=sin2xdy=-sin3x(cosx)dx2,;2_c0sxsinxsin2x(cosx)Incosx二、复合函数微分法.2,、dyu=cosx,v=sinx,求。dx定理2：设函数u=u(x,y),在其对应的点处有连续的偏导数，则v=v(x,y),在点(x,y)处有偏导数，函数z=f(u,v)z=f(u(x,y),v(x,y)在点(x,y)处有对关于x和y的

32、偏导数，且有下列公式:zcz二u二zcvfcu.f:v11t.一x二u二x二v:义cu二xcv二xjuf：:v:yfvfy公式(2);z二z二u二z二v二f=+1-=y二u二y二v二y二uR注1:连线相乘，分线相加。记忆方法：如图2fz【例】y=u,u=2x+y,v=x+3y，求一fx-:z：:z：:u；z；vvv.=vu2uInu1解:x:u:x二v二x2，-2=2(x3y2)(2xy)x3V,(2xy)x3yln(2xy)【注】在实际解题过程中，我们防止出现不便，所以一般习惯有以下记号：=f1,二u&=f其中1,2是根据题设z=f(u,v)中，u和v在函数中排在第个来决定，此点务-：v必记

33、清楚。定理3：设函数u=u(x,y),v=v(x,y),在点(x,y)处有偏导数，函数z=f(x,y,u,v),则：函数z=f(x,y,u,v)在点(x,y)处也有偏导数。且:z；:f；:f；u；:f；:v二一=fif3U1f4V1:x；x；:u；x；:v；x:z甘.:f；u.:f.:v=flf3U2f4V2:y；ycu二y；v；y开ff,其中:_Ti?_f3?_f4?.:x_:u.:v记忆方法：如图【注】：1、三是二元函数z=；xR法则1连线相乘，分线相加。一一.f一f(x,y,u(x,y),v(x,y)关于x的偏导数。而三是四；x元函数f(x,y,u,v)关于x的偏导数。【例】：w=F(x

34、+y+z),z=f(x,y),y=(x),其中f,gW有连续的导数或者偏导数。求dxdu/dydz斛：令u=x，y，z,=1-dxdxdx又因为包=.：(x),比=1.10电二日.f：(x)dxdx二x二ydxex二y又：dw=F(u)包=F(x+y+z)1+(x)+且+且中(x)。dxdx二x二yR注上题中的w函数是一元函数【例】设z=f(x,Y),求立,全。xex二yzyy解：一=f1f2(-卷)=f1Tf2.xxxz1同理：一二f2。：:yx【例】：f(x,y)连续偏导数,f(1,1)=fx(1,1)=1,fy(1,1)=2,z=f(f(x,y),f(x,y),汉(i,i)解：令u=f(

35、x,y),v=f(x,y)z开；u：:f：:v.z=f(u,v),二；:x：:u；:x；:v；:x=fi(f(x,y),f(x,y)fi(x,y)f2(f(x,y),f(x,yfi(x,y)其中：fi=fx,f2=fy=ii+2,i=3石x(i,i)：2u【例】：u=f(x,y,z),z=g(x,y),求：:x：:y加:u工dx工dy工；zz斛：=fif23=fiif20f3.xdxdx；x；xgdxFgdy.=fif3=fif3gig20=fif3gi二xdx二ydx一2.:u二一Lfi(x,y,z)f3(x,y,z)gi(x,y,z)kfi3g2gif32g2f3g2.xry二y=fi2g

36、2fi3gig2f32gi2f3三、全微分不变性(形式)设z=f(u,v)有连续的偏导数，无论u,v是自变量还是中间变量，都有：dz=fu(u,v)dufv(u,v)dv证明：(i)、当u,v为自变量时：(由定理i显然成立)；(2)当u,v为中间变量时：z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)。=z=f(u(x,y),v(x,y)1z：z二dz二一dxdy:xcy二z二f二u二f二v二z二f二u二f二v一=+一一=+-x二u二x二v二x-:u：:y：:v：:yf；:u;:f:V-f；:ufjv=dz=dxdy；:u：:xV；xjujyVjyf-u-uf-v”二dxdydxdyL._

37、l.u二x二y二v；x二y又du=-udx十四dy,dv=dx+dy；xjy；xjydz=fu(u,v)du+fv(u,v)dv【例89-1：设函数z=f(2xy)+g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导，g(u,v)2z具有二阶偏导数，求上。jxjyz斛：一二2f(2x-y)gi(x,xy)ygz(x,xy).x-2-:z二2f(2x-y)gi(x,xy)yg2(x,xy).x:y二y-2十:z求Ocxcy-2f(2x-y)xgi2(x,xy)gz(x,xy)xyg22(x,xy)。【作业】：设z=f(2xy,ysinx),其中f(u,v)具有二阶偏导数, 8.5 隐函数的微分法一、内容要

38、点1 .由一个方程F(x,y)=0确定的隐函数的导数dy=三；由一个方程F(x,y,z)=0dxFyzF_zFv确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数=，=-dxFz:yFz2.由方程组确定的隐函数的导数二、教学要求和注意点教学要求:1 .会求由一个方程确定的隐函数的导数2 .会求由方程组确定的隐函数的导数教学注意点:在计算由方程组确定的隐函数的导数时，要注意区分哪些是自变量，哪些是因变量，一般来说，有多少个方程就可以确定多少个因变量，剩下的全是自变量。说明：隐函数的求导虽然没有很多难点，但产生错误的几率很大。主要的原因还是运算规则掌握得不好，最好能记住几个求导的公式。隐函数为一个方程的形式F(

39、xoy0)=0,定理1：设F(x,y)在(x,y0)的某个邻域U内有连续的偏导数，且Fy(x0,y。)y=f(x),满足y0=f(X0),且yX=FxFy证明:这里仅仅证明yxFxFy对函数F(x,y)=0,两边关于x求导数得:FxFyyx=0=yxxyxxFxFyR补充1:如果F(x,y)的二阶偏导数都连续，则d2ydx2也存在，并且有:d2ydx2也dxdxdxFxFy,其中dxFxFydFxdx-FxdFydxdFx(x,y)FyFy2dxdx=Fxx-FxyFxFydFydFy(x,y)dxdx=Fyx-FyyFxFyFxy=Fyx。代入，整理可得结果且因为d2ydx2F(x,y)的二

40、阶偏导数都连续,Fy3FyFxx2FxFyFxy+FxFyy。0,则在U内，方程F(x,y)=0确定了唯一的具有连续的导数的函数1.一dx例万程F(x,y)=yxsiny=0,求.一一，、11解：显然F(x,y)=y-x-siny,Fx(x,y)=T,且Fy(x,y)=1-cosx,在平面上任意一点都连续，且Fy(x,y)/0,因此依据定理1,F(x,y)=0确定了一dxFy2-cosx个定义在实数域R上的连续可导函数y=f(x),且有：y=三定理2：F(x,y,z)在U(P0)内有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)/0，则由F(x,y,z)=0确定唯一的有连

41、续偏导数的函数z=f(x,y),并满足Z0=f(X0,y0)。且三_Fx：:xFz:z：yFyoFz：2z【例】：z33xyz=a3,求fxjy.*一，、3_3解：令F(x,y,z)=z-3xyz-aFx=-3yz,Fy=3xz,Fz=3z2-3xy三_Fx；x一一FzyzzZ.Fy2，二一二z-xy；yFzxz-2z-xy,z、2z、A(zy-)z-xy)-yz(2z-x)(z2-xy)2代入已求量，得.244222二zz(z-2xyz-zy).x.y(z2-xy)2【例02-4：设u=f(x,y,z)具有连续的二阶偏导数，且z=z(x,y)有方程:xex-yey=zez所确定。求du解：令

42、F(x,y,z)=zezxexyey则必二xFxxx(exe)zez.zyFxFyc(x*)-e则du一z二(f1.f3)dx(f2二x，；zf3一)dy-y代入:得du=(f1f3e(x-z)x1)dx(f2-f3ez1)dy。、两个方程的方程组定理3：设V0=v(x0,y)在P(x0,y,见，V。的某个邻域u内有连续的偏导数，其中F(x。，y0,u0,V0)=G(x0,y0,u0,V0)=0,并且F,G的雅可比行列式:-G.:U.:G;V于-U千.:v#0,则方程组:F(x.v.u.v)=0(，y，)确定了两个连续的偏导数：u=u(x,y),G(x,y,u,v)=0u：:v_uFv一，v=

43、v(x,y),且u0=u(x,y),v=v(x,y),其中一，一(或者一,一)可由对；:x；:x二y二yF=0_，-口叱、两边关于x(或y)求偏导数后，建立方程组，得出公式：课本P42。G=0(证明略)。【例】：设u222,2-x+yuv=0+fv22,求丁，丁。xy-uv=0二x二x解：由题目要求可知,u、v为x的函数。所以就题设两个方程对x求偏导数得:2x+(uxv-uvx)=0y-2uux+2vvx=0ux4xvuy4xu-yv_22，vx_222(u2v2)2(u2v2)R注1:从上面的解题过程我们发现，在学习本节内容时，不要求死记公式，一定要掌握本质内容，这样解题更加得心应手。【例99-1】：设y=y(x),z=z(x)由方程z=xf(x+y)和F(x,y,z)=0所确定，其中f和F分别具有一阶的连续导数以及一阶连续的偏导数，求解：z=xf(x+y)两边关于x求导数：dz=z；=f+xf(1+y；)dx对F(x,y,z)=0两边