方阵最小多项式的求法与应用分析解析

1、方阵最小多项式的求法与应用摘要:本文首先介绍了方阵A的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.关键词:方阵；最小多项式；不变因子MinimalpolynomialofasquarematrixanditsapplicationsFENGYu-xiang(Class1,Grade2001,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:AssociateProf.LIZhi-huiAbstract:TheminimalpolynomialofsquarematrixAisdiscussed,andfourme

2、thodsofsolutionfortheminimalpolynomialarepresented.Furthermore,theapplicationsoftheminimalpolynomialarestudied.Keywords:squarematrix;minimalpolynomial;invariantoperation一、引言文献1中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法本文试图通过对文献1中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法.与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩

3、阵和多项式均为复数域C上n阶方阵和多项式.二、最小多项式的性质及求法由哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵A,f(九)=|KE-A是A的特征多项式，则fp)=An(an+a22+ann)An,+(1)n|AE=0,即就是任给数域P上的一个n级矩阵A,总可以找到数域P上的多项式f(x),使得f(A)=0.如果多项式f(x)使得f(A)=0,我们就称f(x)为矩阵A的零化多项式.当然A的零化多项式很多的，于是我们有定义1设A亡C.，次数最低的首项为1的A的零化多项式称为A的最小多项式，记为rA（）.最小多项式有以下一些基本性质：定理11设AwCnM,则（1） A的任一零化多项式都能被中a（，J整除；（

4、2） A的最小多项式甲A（九）是唯一的；（3） 相似矩阵最小多项式相同.2.1由特征多项式求最小多项式定理21%是A的特征多项式零点的充分条件是九。为A的最小多项式中a（K）的零点.证明：见参考文献1.推论1若n阶方阵A的特征多项式被分解为不同的一次因式方幕的乘积：f（九）=（九一九1）m1a%）叫（九九s）叫，s其中入是A的相异的特征值，mi是特征值九的重数，且Zmi=n,则A的最小多项i1式具有如下形式：¥aP）=（九一九）d1（九一九2）"（九一%产，其中diwmi（i=1,2,，s）为正整数.推论1实际上给出了由方阵A的特征多项式，求最小多项式的方法.例1求矩阵21

5、1A=12112一的最小多项式.解：因为A的特征多项式为f（K）=（九1）2（%4）,根据推论1便可知，A的最小多项式有以下两种可能：（九一1）（九一4）,（九一1）2（九一4）由于1(A-E)(A-4E)=1J11-21111L11-2111-2因此，A的最小多项式为(X-1)(X-4).有时f(九)在分解时比较困难，但由推论1可知，A的最小多项式实质包含Af)(f()，f(')解:E-A|一13I-3一33-33,+13-3、4、3.2二九十4九一48九一320九一5123九十1-3-33八十1的特征多项式中的所有不同的一次因式之积，故可先求出例2求矩阵一1-33-3A-3-1-3

6、3A=I3-3-1-333-3-11的最小多项式._432f()=4-48-320-512f()=4(332-24-80)由辗转相除法求得(f()fI')=2816于是f()_443-482-320-512(f(),f()-28162-4-32=(.4)-8于是f()='43(-8)A的最小多项式有以下三种可能：(4)(-8),(4)2('-8),(-4)3('-8)(A+4E)(A8E)=0,因此A的最小多项式为(儿+4)(九8).2. 2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理31任意n阶矩阵A都存在最小多项式中Ad).证明：参见文献1.这个定理告诉我们一

7、种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是：第一步试解A°E若能解出九°,则A的最小多项式为中人化)=九一九0；若A=%E关于%无解，则做第二步试解A2=：；0E1E若能解出九°与,则A的最小多项式为A(1)-1_，0_'1，若不能解出%与%,则做第三步试解A3=0E1A2A2若能解出%,%与%,则A的最小多项式为乎A«)=一%-4九一九2九2若不能解出”,%与九2,则再做第四步试解A4=0E1A2A3A3等等，直到求出入(i=0,1,2,，m),使矩阵方程成立为止(由哈密尔顿-凯莱定理，这样的过程最多只有n步即可终止)，这时用上代替A,便得到所求最

8、小多项式甲a(').例2求矩阵111-111-10A=Io-1111011_的最小多项式.解：(1)试解A=%E,显然关于左无解.(2)试解A2=%E+%A写出方程两边的矩阵，并选择某行(某列)来求解代数方程组，以此求九°和心,例如，比较第一行(3,2,0,-1);九°E+%A的第一行为(儿°+%,%,%,%),从而的方程组I.。+%=3,1=2|A.1二0-11=-2此方程组显然无解.(3)试解A3=0E1A2A2写出防城两边的矩阵，并选择第一列来求解%,%和%,这可由此比较方程两边第一歹1：(6,7-7,-7)"1;九0E+%A+%A2的第一

9、列：(九0+9+3%,%+2%,2九2,一%2九2)'，得关于九0,%和九2的方程组：%+4+3%=6!1,2,2=7-212=-7-1-22=-7解此方程组得0=-7,1=0,'2=722因为对于上面解出的九0，3和九2,矩阵方程3792A3=A-A222成立.所以A的最小多项式为2.3利用Jordan标准型求最小多项式定理41设矩阵AwC，则A的最小多项式可以由PaO)=('-'l)dl('-2)d2('-s)ds给出，其中九i(i=1,2，s)是A的相异的特征根,di(i=1,2，s)是在A的Jordan型J中包含兀的各分块的最大阶数.证明

10、:参见文献1.推论2当A的所有特征值都相异时，A的最小多项式甲a(?J就是A的特征多项式f()=E-A.由定理4,在一般情况下,A的最小多项式可以通过求出它的Jordan标准型J获得.例3求矩阵-00000-121110_1002100000200000020-100002_A=的最小多项式.解：由A的特征多项式F(九)=正-A=(-1)3(一2)3知A有两个不同的特征值：=1,%=2(均为三重的).容易求得rank(A-E)=5,所以又t于九1=1的特征向量仅有一个，这表示对应的Jordan块的数目是1.又由于rank(A-2E)=4,对应于%=2的特征向量有2个，因此对应于%=2的Jord

11、an块共有2块.故A的Jordan标准型为：-111111|212一2一可见J中包含儿=1的块的阶数d1=3,包含九2=2的Jordan块的最大阶数d2=2,因此A的最小多项式为：彳a()=('-1)3('-2)22.4利用不变因子求最小多项式引理14A的最小多项式是A的初等因子的最小公倍式.因此只要对A的若当标准型,i=1,2,，s1九i.,现在对任一多项式f(九)有证明：相似矩阵有相同的最小多项式和初等因子矩阵J证明即可.设I"%J2，其中Jin.我们已知Jj的最小多项式是(九-九-f(J1)f(J)=f(J2)f(Js)一因止匕f(J)=0当且仅当f(J1)=f

12、(J2)=3=f(Js)=0.这就是说，f(九)是J的化零多项式f(九)是J1J2,，Js的化零多项式，进一步，g(K)是J的最小多项式必须g(九)是Ji,J2,，Js的化零多项式，因此是的最小多项式的公倍式；另一方面，这些Ji的最小多项式的任一公倍式必须是J的化零多项式，因而被g(九)整除.故J的最小多项式必须是J1,J2，Js的最小多项式，即J的初等因子（儿-儿）"（九-"I2（九KSV的最小公倍式.定理54A的最小多项式恰为A的最后一个不变因子.证明由于A的最后一个不变因子dn（九）具有性质弓伍）|dn（九），i=1,2,，n-1,所以dn（，4中包含了A的初等因子所

13、有互异的指数最高一次因式的幕，它恰是A的全部初等因子的最小公倍式，于是命题得到证明.例5证明九000an1-1九00anA（儿）=0-1九0an/000九a?000-1九十a1-_.nd的不变因子是1,1，1,f（Q,其中f（九）=九n+a1Kn，+an/九+an.证明：因为AW的左下角的n-1阶子式为（1）n，所以DnQ）=1,于是D1（1）=D2（'）=,=Dn（'）将A（K）的第二，第三，第n-1行，第n行分别各乘以7、九2,，炉：炉都加至第一行上，依第一行展开即得：Dng）=A（X）=N+4非，+an儿+an一n因此，A（九）的不变因子是1,1，,1,f（1）.由定理5

14、可知，A的最小多项式实质为A的最后一个不变因子dn（?J,而dn（，）=""，其中Dn（九）为A的n阶行列式因子，故可得求A的最小多项式的Dn4（）方法.例6求矩阵九-1的最小多项式.解：D4A()-1.50-100-1九十2A®)右上角有一个三级子式所以0-1-10-1223324'50-100-1324.5一3-10-6-34100,求A解：f(1)=KEA=(九1)3,由A-E=0,而(AE)2=0,知A的最小多项式g(1)=(X-1)2,所以A不能对角化.但我们有100('-1)2q()(a'b)d1=1,d2=1,d3=1,d4=

15、J,23所以A(九)的不变因子是1,1,1,K4+2九3+3九2+4九+5,它的最小多项式为九4+2九3+3九2+4九+5三、最小多项式的应用这一节我们将讨论最小多项式的一些应用3.1求矩阵的高次幕例7已知用待定系数法令九=1,a*b=1,对上式求导后再令九=1,解得a=100,b=-99201-1000-600因止匕，A100=100A-99E=100-499-300100500300_3.2判断矩阵是否可逆例8设g。)是矩阵A的最小多项式.h(，J是任意多项式，证明：h(7J可逆的充要条件是(h()g(-)=1证：若(h(，)g(九)=1,则存在u(，)v(，“)，使h(')u(')g(')v()=1于是h(Qu(Q=E,故|h(A)产0,从而h(Q可逆.反之，当h(K)可逆时，设(h(7)g*)=dg),于是h(九)=u(八)d(九)，g(九)=v(九)d(九)从而有0=g(A)=v(A)d(A),h(A)=u(A)d(A)(*)因为|h(A)|#0，所以|d(A)产0,即d(A)可逆，这就有等式(*)推出v(A)=0,并进一步得到v(九)=g(