311方程的根与函数的零点 (2)

1、 一元二次方程一元二次方程 的根与二次的根与二次函数函数 的图象有什么关系？的图象有什么关系？)0(02acbxax)0(2acbxaxy方程方程 有两个实数根：有两个实数根：0322 xx3, 121xx)0 , 1(0 , 3 观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象次函数的图象322xxy函数函数 与与x轴有两个交点：轴有两个交点：0 , 3)0 , 1( 观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象次函数的图象方程方程 有两个相等的实数根：有两个相等的实数根：0122 xx函数函

2、数 与与x轴有一个交点：轴有一个交点：122xxy121 xx)0 , 1 ()0 , 1 ( 观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象次函数的图象方程方程0322 xx函数函数 与与x轴：轴：322xxy无实根无实根无交点无交点无交点无交点 上述关系对一般的一元二次方程上述关系对一般的一元二次方程 及其相对应的二次函数及其相对应的二次函数 也成立也成立)0(02acbxax)0(2acbxaxy 一元二次方程一元二次方程 的根与二次函数的根与二次函数 的图象的关系：的图象的关系：)0(02acbxax)0(2acbxaxy 判判 别别

3、式式方程的根方程的根图图 象象与与x轴的轴的交点交点0)0 ,(1x)0 ,(2x21,xx021xx )0 ,(1x0无实数根无实数根无交点无交点 二次函数的图象与二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次轴的交点和相应的一元二次方程根的关系，可以推广到一般情形方程根的关系，可以推广到一般情形 为此，先给出函数零点的概念为此，先给出函数零点的概念 对于函数对于函数 ，把使，把使 的实数的实数x叫做函叫做函数数 的的零点零点（zero point）)(xfy 0)(xf)(xfy 方程方程 有实数根有实数根0)(xf函数函数 的图象与的图象与x轴有交点轴有交点)(xfy 函数函数 有零点有零点

4、)(xfy 当两个零点重合时，我们称这个零点为二重零当两个零点重合时，我们称这个零点为二重零点点方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点 一般地，对于不能用公式法求根的方程一般地，对于不能用公式法求根的方程 来说，我们可以将它与函数来说，我们可以将它与函数 联系起来，利联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根用函数的性质找出零点，从而求出方程的根0)(xf)(xfy 由此可知，求方程由此可知，求方程 的实数根，就是确定的实数根，就是确定函数函数 的零点，也就是函数的零点，也就是函数 的图象与的图象与x轴

5、的交点的横坐标轴的交点的横坐标)(xfy 0)(xf)(xfy 观察二次函数观察二次函数 的图象，能发现函的图象，能发现函数数 在区间在区间 上有零点，计算上有零点，计算 与与 的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？32)(2xxxf32)(2xxxf 1 , 2)2(f) 1 (f0)2(f0) 1 (f0) 1 ()2(ff零点 函数函数 在在内有零点，它是方程内有零点，它是方程 的一个根的一个根32)(2xxxf) 1 , 2(0322 xx在区间在区间 上是否具有这种特点呢？上是否具有这种特点呢？4 , 20)2(f0)4(f0)4()2( ff零点

6、函数函数 在在 内有零点，它是方程内有零点，它是方程 的一个根的一个根32)(2xxxf)4 , 2(0322 xx 我们能从二次函数的图象看到零点的性质：我们能从二次函数的图象看到零点的性质： 1二次函数的图象是连续的，当它通过零点时二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（非二重零点），函数值变号（非二重零点），函数值变号 2相邻两个零点之间的所有函数值保持同号相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 对任意函数，只要它的图象是对任意函数，只要它的图象是连续不间断连续不间断的，上的，上述性质同样成立述性质同样成立 如果函数如果函数 在区间在区间 上的图象是连续不断的上的图象是连续不断的一条曲线，

7、并且有一条曲线，并且有 ，那么，函数，那么，函数 在区在区间间 内有零点，即存在内有零点，即存在 ，使得，使得 ，这个，这个c也就是方程也就是方程 的根的根 )(xfy, ba0)()(bfaf)(xfyba,bac,0)(xf0)(xfabxabxabxabx 1.函数函数 yf（x）的方程的图象在区间（）的方程的图象在区间（a，b）上必须是上必须是连续曲线连续曲线，才能用上述方法判定我们所研才能用上述方法判定我们所研究的大部分函数，其图象都是连续曲线究的大部分函数，其图象都是连续曲线 2.在区间（在区间（a，b）内，当）内，当f（a）f（b）0时，时，并并不能判定不能判定方程方程f（x）0

8、没有解没有解 3.上述方法只能判定上述方法只能判定f（x）0解的存在，即至少解的存在，即至少有一解，但有一解，但不能判断具体解的个数不能判断具体解的个数 例例1 求函数求函数 的零点个数的零点个数62ln)(xxxf例例1 求函数求函数 的零点个数的零点个数62ln)(xxxf解：列表解：列表x123456789f(x)-4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972描点作图描点作图由图可知由图可知 ， ，0)2(f0)3(f即即0)3()2( ff 说明这个函数在区间（说明这个函数在区间（2，3）内）内有零点有零点 由于函数由于函数 在定义域在定义域 内是内是增函数，所以它仅有一个零点增函数，所以它仅有一个零点)(xf), 0( 你能给出这你能给出这个函数是增函数个函数是增函数的证明吗？的证明吗？ 判断函数零点个数的一般步骤：判断函数零点个数的一般步骤： 1用计算器或计算机列出用计算器或计算机列出x、f（x）的）的对应值表对应值表； 2用描点法作出用描点法作出函数的图象函数的图象； 3取区间取区间a，b，判断判断f(a)f(b)0是否成立；是否成立； 4判断函数判断函数f(x)的的单调性单调性； 5结