工程力学(基础力学、材料力学)17第15章

1、（13）刚刚体体的的平平面面运运动动第第15章章 刚体的平面运动刚体的平面运动 15-1.刚体平面运动分解为平动和转动刚体平面运动分解为平动和转动 15-2.平面图形上点的速度平面图形上点的速度 速度瞬心速度瞬心 15-3.平面图形上点的加速度平面图形上点的加速度（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(13) 内内 容容 提提 要要2.平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动3.平面图形上各点的速度平面图形上各点的速度1.刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程5.平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度4.速度瞬心速度瞬心（13）刚刚体体的的平平面面运运动动刚体的平动刚体的平动定义定义

2、: 刚体运动时刚体运动时, 体内任何直线均保持体内任何直线均保持 与其原来位置相平行与其原来位置相平行. 刚体的定轴转动刚体的定轴转动定义：定义：刚体运动时刚体运动时,体内有一直线保持不动体内有一直线保持不动, 而整个刚体绕着这一直线转动而整个刚体绕着这一直线转动,则此则此 刚体的运动称为定轴转动刚体的运动称为定轴转动.（13）刚刚体体的的平平面面运运动动1.平面运动及其分解平面运动及其分解(1)平面运动的定义平面运动的定义 在运动过程中在运动过程中,刚体上任刚体上任一点离某一固定平面的距一点离某一固定平面的距离始终保持不变。即刚体内离始终保持不变。即刚体内任一点始终在与该固定平任一点始终在与

3、该固定平面平行的某一平面内运动。面平行的某一平面内运动。OAB(图图1)O (图图2) 图图1中的中的AB杆和图杆和图2中的圆轮中的圆轮O 均作平面运动。均作平面运动。平动平动定轴转动定轴转动平面运动平面运动（13）刚刚体体的的平平面面运运动动M 设一刚体作平面运动设一刚体作平面运动,体体内每一点都处在与固定平内每一点都处在与固定平面面M平行的平面内运动。平行的平面内运动。若作一平面若作一平面N与平面与平面M平平行行,并以此去截割刚体得并以此去截割刚体得一平面图形一平面图形S。可知该平。可知该平面图形面图形 S 始终在平面始终在平面 N内内运动。运动。 因而垂直于图形因而垂直于图形S的任一条直

4、线的任一条直线A1A2必然作必然作平动。故平动。故 A1A2 的运动可的运动可用其与图形用其与图形 S的交点的交点 A 的的运动来替代。运动来替代。因此刚体的平面运动可以简化为平面图形因此刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面在其自身平面 N 内的运动。内的运动。平面运动平面运动xyoNSA1A2A（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(2) 运动方程运动方程设平面图形设平面图形S在固定在固定平面平面Oxy内运动。内运动。SxyoAO xo yo 图形图形S的位置完全由其上的位置完全由其上 任一线段任一线段O A的位置来确定。的位置来确定。xo = f1(t)yo = f2(t) =

5、f3(t)刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程O 称为基点称为基点而而O A的位置取决于点的位置取决于点 O 的的坐标坐标 xo , yo 以及与以及与x轴的夹角轴的夹角 。 （13）刚刚体体的的平平面面运运动动例例1. 车轮纯滚动，轮心车轮纯滚动，轮心 C 速度为速度为V0 。 试建立车轮的运动方程。试建立车轮的运动方程。v0 y CM x t 时刻时刻yCRt=0时刻时刻M车轮的运动方程：车轮的运动方程：xC=vCt； yC=R； = vCt R讨论：讨论：（1）C固定时，为定轴转动；固定时，为定轴转动；（2） 不变时，为平动。不变时，为平动。（13）刚刚体体的的平平面面运运动动SxyoA

6、O xo yo xo = f1(t)yo = f2(t) = f3(t)刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程O 称为基点称为基点若若 等于常数等于常数,则刚体作平动。则刚体作平动。若若xo 和和yo 分别等于常数分别等于常数,则刚体作定轴转动。则刚体作定轴转动。 由此可知由此可知: 刚体的平面运动包含着刚体的平面运动包含着 平动和转动这两种基本运动。平动和转动这两种基本运动。（3）平面运动的分解）平面运动的分解（13）刚刚体体的的平平面面运运动动SA x y O A xyoSA x y O 刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解建立静系建立静系Oxy并在平面图形并在平面图形S上选取基点上选取基点

7、O 以基点以基点O 为原点建立为原点建立平动坐标系平动坐标系O x y （13）刚刚体体的的平平面面运运动动 刚体的平面运动刚体的平面运动 (绝对运动绝对运动)xyoSA x y O SA x y O A 随同基点的平动随同基点的平动 (牵连运动牵连运动) 绕着基点绕着基点O的转动的转动 (相对运动相对运动)结论：平面图形结论：平面图形S的绝对运动可分解为随基点的平动的绝对运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动。和绕基点的转动。（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(4) 有关基点选取的讨论有关基点选取的讨论ABSSA B 设在时间设在时间 t内平面图形内平面图形S从位置从位置运动到位置运动到位

8、置,相应地直线相应地直线AB随之运动到随之运动到A B 的的位置。位置。（13）刚刚体体的的平平面面运运动动ABSA SA B B 12B为基点：为基点：A为基点：为基点：（13）刚刚体体的的平平面面运运动动平面图形随基点平动的速度和加速度与基点平面图形随基点平动的速度和加速度与基点的选取有关。的选取有关。ABSA SA B B 12因为因为A、B两点的运动轨迹一般来说是不同的，两点的运动轨迹一般来说是不同的，且它们的速度和加速度也各不相同，因此：且它们的速度和加速度也各不相同，因此：（13）刚刚体体的的平平面面运运动动平面图形随基点转动的角速度和角加速度平面图形随基点转动的角速度和角加速度

9、与基点的选取无关。与基点的选取无关。ABSA SA B B 12由几何关系可知由几何关系可知: 1 = 2由此推得由此推得: 1 = 2 1 = 2 （13）刚刚体体的的平平面面运运动动结论结论: 在同一瞬时在同一瞬时,图形绕任一基点转动的角速度和图形绕任一基点转动的角速度和 角加速度都是相同的。角加速度都是相同的。P308 平面运动随同基点的平动规律与基点的选平面运动随同基点的平动规律与基点的选择有关择有关,而绕基点的转动规律与基点的选择无关。而绕基点的转动规律与基点的选择无关。（13）刚刚体体的的平平面面运运动动3. 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度vMOvoxyoMx y O v

10、o vM(1) 速度合成法速度合成法 若已知图形上某点若已知图形上某点O 的运的运动动,在某瞬时该点的速度为在某瞬时该点的速度为vo ,图形的角速度为图形的角速度为 ,如图所示。如图所示。由由 va= ve + vr 可得可得ve = vovr = vMO = OM vM = vo + vMO (1) 求求M点的速度？点的速度？（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(1) 速度合成法速度合成法（基点法）基点法）vM = vo + vMO (1) vMOvoxyoMx y O vo vM平面图形上任一点的速度平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕等于基点的速度与该点绕基点转动的速度的矢量和基

11、点转动的速度的矢量和vMO = OM 其中：其中：（13）刚刚体体的的平平面面运运动动vM = vo + vMO (1) vMOvoxyoMx y O vo vM(2) 速度投影法速度投影法把把(1)式向式向O M方向投影得方向投影得: (vM)OM = (vo)OM + (vMo)OM (2) 平面图形上任意两点的速度平面图形上任意两点的速度,在该两点连线上在该两点连线上的投影彼此相等。的投影彼此相等。vMcos =vo cos 速度投影定理速度投影定理（13）刚刚体体的的平平面面运运动动例例2. 试判断下列情况的可能性。试判断下列情况的可能性。 已知：已知：ABCD为正方形，为正方形，vA

12、=vB=vC=vDAvA vB BC vC vD D答：答：答：答： AvA vB B C vC vD D 不可能不可能可能可能 = 45（13）刚刚体体的的平平面面运运动动（3）瞬时速度瞬心瞬时速度瞬心 (1)问题的提出问题的提出 既然基点是任选的既然基点是任选的,若选取速度等于零的点为若选取速度等于零的点为基点基点,问题将大大的简化。问题将大大的简化。 那么那么, 在某一瞬时在某一瞬时,图形图形上速度等于零的点如何确定上速度等于零的点如何确定? vM = vo + vMO (1)vMO vo xyoMx y O vo vM (1)式是应用基点法（速度式是应用基点法（速度合成法）求平面图形上

13、任一合成法）求平面图形上任一点速度的合成公式点速度的合成公式（13）刚刚体体的的平平面面运运动动 一般情况下一般情况下,在平面图形中在平面图形中,每一每一瞬时都唯一地存在着速度等于零的瞬时都唯一地存在着速度等于零的点。该点称为平面图形在此瞬时的点。该点称为平面图形在此瞬时的瞬时速度中心。简称速度瞬心。瞬时速度中心。简称速度瞬心。 CNMvM = vC +vMC= vMC=(CM)vMvN若若vC = 0，则，则C点为点为速度瞬心速度瞬心取取C为基点：为基点：vN = vC +vNC= vNC=(CN)（13）刚刚体体的的平平面面运运动动 CNMvM =(CM)vMvNvN =(CN) 图形上任

14、一点的速度大小图形上任一点的速度大小与该点到速度瞬心与该点到速度瞬心C的距离的距离成正比成正比,其速度方位垂直于其速度方位垂直于该点与速度瞬心该点与速度瞬心C的连线。的连线。 C又称为平面图形的瞬时又称为平面图形的瞬时转动中心。转动中心。 CM和和 CN称为称为瞬时转动半径。瞬时转动半径。刚体的平面运动又可刚体的平面运动又可看作是平面图形绕瞬心看作是平面图形绕瞬心的瞬时转动。的瞬时转动。（13）刚刚体体的的平平面面运运动动AvA 速度瞬心可在平面图形内速度瞬心可在平面图形内,也可在平面图形外。也可在平面图形外。且它的位置不是固定不变且它的位置不是固定不变,而是随着时间变化的。而是随着时间变化的

15、。C(a)当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时当平面图形沿某一固定面作无滑动的滚动时, 图形上与固定面的接触点图形上与固定面的接触点C即为该图形的瞬心。即为该图形的瞬心。vAAC(2) 速度瞬心的确定速度瞬心的确定（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(b) 已知在某瞬时图形上任意两点已知在某瞬时图形上任意两点A和和B速度的方位且它们互不平行。则速度的方位且它们互不平行。则通过两点通过两点A和和B分别作速度分别作速度vA 和和 vB 的垂线，其交点的垂线，其交点C即为瞬心。即为瞬心。COABvAvB（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(c) 已知在某瞬时图形上已知在某瞬时图形上A和和B两点的速

16、度互相平行两点的速度互相平行,且且垂直于垂直于A B的连线的连线 ,但速度大小不等。则此时但速度大小不等。则此时AB直线与直线与两速度矢量两速度矢量 vA和和 vB 的终端连线的交点的终端连线的交点C 即为瞬心即为瞬心。CABvAvBvBvAABC（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(d) 已知在某瞬时图形上已知在某瞬时图形上A 和和 B两点的速度的方位互相两点的速度的方位互相平行平行,但不垂直于但不垂直于A B的连线。此时瞬心在无穷远处。这种的连线。此时瞬心在无穷远处。这种情况称为情况称为瞬时平动瞬时平动。 OBAvBvAvC= vAC（13）刚刚体体的的平平面面运运动动图示曲柄连杆滑块机构

17、，设图示曲柄连杆滑块机构，设曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转动，转动，OA=R，AB=L，求在该瞬，求在该瞬时滑块时滑块B的速度和连杆的速度和连杆AB的角速度。的角速度。例题例题3.分析：分析：OA做定轴转动，做定轴转动，B做平动，做平动， AB做平面运动。做平面运动。OAB vB（13）刚刚体体的的平平面面运运动动OAB VB(1) 速度合成法速度合成法vB = vA + vBA 取取A为基点：为基点：其中：其中：VA=（OA）= R VBA=（AB）AB= L ABvAvAvBA通过求解矢量三角形，可得通过求解矢量三角形，可得VB 、VBA，进一步可求，进一步可求 AB。（13）刚刚体

18、体的的平平面面运运动动(2) 速度投影法速度投影法（vA ）AB= （vB ）ABvAcos(+-900)= vBcosvB =vAsin(+ )/ cos VAOAB vB+-900（13）刚刚体体的的平平面面运运动动(3) 速度瞬心法速度瞬心法CAB取取C为基点：为基点：C为速度瞬心为速度瞬心vA=（AC） AB vB=（BC） AB vA/ vB =（AC）/ （BC） 通过求解三角形通过求解三角形ABC，可得，可得vB ，进一步可求，进一步可求 AB。vAOAB vB（13）刚刚体体的的平平面面运运动动例题例题4 图示机构，传送带图示机构，传送带AB以以vA=2m/s 运动，同时半径运

19、动，同时半径 r =0.1m的圆柱体又沿传送带作纯滚动的圆柱体又沿传送带作纯滚动 ，在图示位，在图示位 置具有角速度置具有角速度 =15rad/s。求。求M点速度点速度vM 和和 v0。O ABvAyxMD AB： 平动平动圆柱体：平面运动圆柱体：平面运动 研究对象：圆柱体研究对象：圆柱体 基点：基点：D点点 vD= vA= 2m/s vD vD vMD vM 矢量和矢量和 vM= vD +vMD 大小大小 ? 方向方向 ? SmrMDVMD12. 22解：解：1、基点法求、基点法求vM （13）刚刚体体的的平平面面运运动动 vD= vA= 2m/s 大小大小 ? 方向方向 ? 2.12MDv

20、m s 方法一：方法一：cos453.5MxDMDmVVVssmVVMDMy5 . 145sin02 .234285. 08 . 322MxMyMyMxMVVtgsmVVV解：解：1、基点法求、基点法求vM 矢量和矢量和 vM= vD +vMD O ABvAyxMDvD vD vMD vM （13）刚刚体体的的平平面面运运动动 vD= vA= 2m/s 解：解：1、基点法求、基点法求vM 方法二：方法二：2 .233945. 0sin135sinsin8 . 3135cos222MMDMDDMDDMVVsmVVVVV2.12MDvm s 大小大小 ? 方向方向 ? 矢量和矢量和 vM= vD

21、+vMD O ABvAyxMDvD vD vMD vM （13）刚刚体体的的平平面面运运动动O ABvAyxMDvD vD vMD vM DIVD解：解：2、瞬心法求、瞬心法求vOrDIOIVVDOvO IOIVOsmrVVDO5 . 3思考：带思考：带AB不动时，点不动时，点O、M的速度如何的速度如何?1.52.12OMmvrsmvMDs （13）刚刚体体的的平平面面运运动动确定平面运动物体上点的速度方法确定平面运动物体上点的速度方法小结：小结：1、首先分析题中各物体的运动，清楚物体间的联系；、首先分析题中各物体的运动，清楚物体间的联系；2、选取一个作平面运动的物体为研究对象，恰当选择、选取

22、一个作平面运动的物体为研究对象，恰当选择 解题方法；解题方法；（1）应用基点法时，要选一运动已知的点为基点，）应用基点法时，要选一运动已知的点为基点， 作速度图；作速度图；（2）应用速度投影定理时，须注意已知条件，该方法）应用速度投影定理时，须注意已知条件，该方法 有一定局限性；有一定局限性；（3）应用瞬心法时，须先确定瞬心位置，后求速度。）应用瞬心法时，须先确定瞬心位置，后求速度。注意：每个作平面运动的物体有自己的瞬心和角速度，注意：每个作平面运动的物体有自己的瞬心和角速度， 切忌混淆。切忌混淆。（13）刚刚体体的的平平面面运运动动3、注意区别点的合成运动与刚体的平面运动、注意区别点的合成运

23、动与刚体的平面运动点的合成运动中，速度合成定理所描述的是点的合成运动中，速度合成定理所描述的是 “两个物体运动间的速度的关系式两个物体运动间的速度的关系式”。 相对运动可以是直线运动或任意曲线运动；相对运动可以是直线运动或任意曲线运动； 动系可以是平动、转动或其它运动。动系可以是平动、转动或其它运动。刚体平面运动中，速度投影定理所描述的是刚体平面运动中，速度投影定理所描述的是 “一个物体上两个点的运动间的速度关系式一个物体上两个点的运动间的速度关系式”。 相对运动是绕基点（平动坐标原点）的转动；相对运动是绕基点（平动坐标原点）的转动； 动系只是平动。动系只是平动。（13）刚刚体体的的平平面面运

24、运动动5.平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度O M aO SaMaMOaOOManOMaaM = ae + arar = aMOnOMOMaanOMOMOMaaaa 平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度三者的矢量和速度三者的矢量和.ae = aO（13）刚刚体体的的平平面面运运动动 例题例题6.6.半径为半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动, ,如图所示。已知轮心如图所示。已知轮心 A在图示瞬时的速度为在图示瞬时的速度为v

25、A及加速度为及加速度为aA 。求该瞬时车轮边缘上瞬心。求该瞬时车轮边缘上瞬心C的加速度的加速度aC 。AvAaA（13）刚刚体体的的平平面面运运动动AvAaA解解: 轮轮A作平面运动，作平面运动， C为其瞬心。为其瞬心。CRvARaAnCACAACaaaaaACAanCAaRaCA2 RanCARvaAC2 RaRAAa2RvRARvA2（13）刚刚体体的的平平面面运运动动1.平面运动的定义：平面运动的定义：在运动过程中在运动过程中,刚体上任一点离某刚体上任一点离某一固定平面的距离始终保持不变。即刚体内任一点一固定平面的距离始终保持不变。即刚体内任一点始终在与该固定平面平行的某一平面内运动。始

26、终在与该固定平面平行的某一平面内运动。2. 刚体的平面运动可分解成平动和转动这两种基本运动。刚体的平面运动可分解成平动和转动这两种基本运动。刚体刚体的平面运的平面运动动(绝对运动绝对运动) 随同基点的平随同基点的平动动(牵连运动牵连运动)绕着基点绕着基点O的转的转动动(相对运动相对运动)=+ 3.平面运动随同基点的平动规律与基点的选择有关平面运动随同基点的平动规律与基点的选择有关,而而 绕基点的转动规律与基点的选择无关。绕基点的转动规律与基点的选择无关。4.在同一瞬时在同一瞬时,图形绕任一基点转动的角速度和角加速度都图形绕任一基点转动的角速度和角加速度都 是相同的。是相同的。总总 结结 （13）刚刚体体的的平平面面运运动动5. 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度(1) 速度合成法速度合成法（基点法）基点法）(2) 速度投影法速度投影法(3) 速度瞬心法速度瞬心法nOMOMOMaaaa6.平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点 随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度三者的随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度三者的 矢量和矢量和.总总 结结 （13）刚刚体体的的平平面面运运动动重重 点点 难难 点点 1. 刚体的平面运动可分解成平动和转动这两种基本