21椭圆（一）

1、第第2章章椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线2.1椭圆椭圆创设情境创设情境 兴趣引入兴趣引入我们已经学习过直线与圆的方程知道二元一次22220(40)xyDxEyFDEF为圆的0AxByC为直线的方程，二元二次方程方程方程 下面将陆续研究一些新的二元二次方程及其对应的曲线先来做一个实验： 准备一条长度一定的线绳、两枚钉子和一支铅笔按照下面的步骤画一个椭圆： （1）如图所示，将绳子的两端固定在画板上的 和 两1F2F1F2F点，并使绳长大于 和 的距离 （2）用铅笔尖将线绳拉紧，并保持线绳的拉紧状态，笔尖在画板上慢慢移动一周，观察所画出的图形 从实验中可以看到，笔尖（即点M）在移动过程中，

2、与1F2F两个定点 和 的距离之和始终保持不变（等于这条绳子的长度） 我们将平面内与两个定点 12FF、的距离之和为常数（大于 12F F）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两个焦点间的距离叫做焦焦距距 创设情境创设情境 兴趣引入兴趣引入动脑思考动脑思考 探索新知探索新知实验画出的图形就是椭圆下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程 动脑思考动脑思考 探索新知探索新知实验画出的图形就是椭圆下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程 取过焦点 12FF、的直线为x轴，线段 1 2FF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距

3、为2c（c0），椭圆上的点与两个定点 12FF、的距坐标分别为（c，0）， （c，0），离之和为2a（a0），则 12FF，的由条件 122MFMFa，得 2222()()2xcyxcya，动脑思考动脑思考 探索新知探索新知实验画出的图形就是椭圆下面我们根据实验的步骤来研究椭圆的方程 取过焦点 12FF、的直线为x轴，线段 1 2FF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示 设M(x，y)是椭圆上的任一点，椭圆的焦距为2c（c0），椭圆上的点与两个定点 12FF、的距离之和为2a（a0），则 坐标分别为（c，0）， （c，0），12FF，的2222()()2xcyxcya，由条件 12

4、2MFMFa，得 移项得 2222()2()xcyaxcy，两边平方得 2222222()44()()xcyaaxcyxcy，整理得 222()acxaxcy，两边平方后，整理得 22222222()()acxa yaac，由椭圆的定义得2a2c0，即ac0，所以220ac ，设 222(0)acbb，则 222222b xa ya b，等式两边同时除以 22a b ，得 222210 xyabab ( )设 222acb，不仅使得方程变得简单规整，同时在后面讨论椭圆的集合性质时，还会看到它有明确的几何意义动脑思考动脑思考 探索新知探索新知222210 xyabab ( )方程（2.1）叫做焦

5、点在x轴上的椭圆的标准方程椭圆的标准方程它（2.1）所表示的椭圆的焦点是 12(0)( 0)FcF c ，并且 222acb动脑思考动脑思考 探索新知探索新知222210yxabab ( )方程（2.2）叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程椭圆的标准方程它（2.2）所表示的椭圆的焦点是 12(0)(0)FcFc， ， 并 222acb且想一想想一想 已知一个椭圆的标准方程，如何判定焦点在x轴还是在y轴？ 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例1已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10求椭圆的标准方程 解解 由于2c = 8，2a = 10，即c = 4，a = 5，所

6、以 2229bac ，由于椭圆的焦点在x轴上，因此椭圆的标准方程为 2222153xy ，即 221259xy 想一想想一想 将例1中的条件“椭圆的焦点在x轴上”去掉，其余的条件不变，你能写出椭圆的标准方程吗？ 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例2求下列椭圆的焦点和焦距 22154xy ；（1） （2） 22216xy分析分析解题关键是判断椭圆的焦点在哪个数轴方法是观察标准方程中含x项与含y项的分母，哪项的分母大，焦点就在哪个数轴 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例2求下列椭圆的焦点和焦距 22154xy ；（1） （2） 22216xy解解 （1）因为54，所以椭圆的焦点在x轴上，并

7、且 2254ab，故 2221cab ，因此 c = 1，2c = 2 所以，椭圆的焦点为 12( 10)(10)FF ，、，焦距为2 巩固知识巩固知识 典型例题典型例题例例2求下列椭圆的焦点和焦距 22154xy ；（1） （2） 22216xy（2）将方程化成标准方程，为 221816xy 因为168，所以椭圆的焦点在y轴上，并且 22168ab，故 2221688cab 因此 2 224 2cc，所以，椭圆的焦点为 12(0, 2 2)(0,2 2)FF、，焦距为4 2运用知识运用知识 强化练习强化练习1已知椭圆的焦点为12(0, 2)(0,2)FF 、，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为8求椭圆的标准方程 2写出下列椭圆的焦点坐标和焦距 2214924xy ；（1） （2） 22464xy2211216xy .1212( 5,0)(5,0)10(0, 4 3)(0,4 3)8 3FFFF（1）、，焦距 ；（2）、，焦距理论升华理论升华 整体建构整体建构 写出焦点在x轴焦点在y轴的椭圆的标准方程 焦点在x轴上的椭圆的标准方程是 222210 xyabab ( )焦点在y轴上的椭圆的标准方程是 222210yxabab ( )自我反思自我反思 目标检测目标检测学习行为学习行为 学习效果学习效果 学习方法学习方法 自我反思自我反思 目标检测目标检测 已知椭圆的焦距为6，椭圆