第六章概率分析

1、随机事件随机事件A A的频率：对随机事件进行的频率：对随机事件进行n n次观测，其中某次观测，其中某一事件一事件A A出现的次数出现的次数m m与观测次数与观测次数n n的比值。的比值。当当n n无限增大时，随机事件无限增大时，随机事件A A的频率会稳定在一个常数的频率会稳定在一个常数P P，这个常数就是随机事件这个常数就是随机事件A A的概率。的概率。 nmLimPnA 因这种概率是由随机事件因这种概率是由随机事件A出现的次数决定，故称后验出现的次数决定，故称后验概率或统计概率。概率或统计概率。古典概率模型要求满足两个条件：古典概率模型要求满足两个条件：试验的所有可能结果是有限的；试验的所有

2、可能结果是有限的；每一个基本事件出现的可能性相等。每一个基本事件出现的可能性相等。如果基本事件的总数为如果基本事件的总数为n n，事件，事件A A包括包括m m个基本事件，个基本事件，则事件则事件A A的概率为：的概率为：nmPA)(1 1的概率都是在的概率都是在0 0与与1 1之间的正数，之间的正数，即：即：0 P0 P（A A）1 12 2的概率等于零，即：的概率等于零，即：P P（A A）= 0 = 0 3 3的概率等于的概率等于1 1，即：，即：P P（A A）= 1= 1概率接近概率接近1 1的事件发生的可能性较大，而概率接近的事件发生的可能性较大，而概率接近0 0的事件发生的可能性

3、较小。的事件发生的可能性较小。互不相容事件：若事件发生，则事件就一定不互不相容事件：若事件发生，则事件就一定不发生。发生。两两互不相容事件互不相容事件和的概率等于这两个事件概率之和：和的概率等于这两个事件概率之和： BABAPPP )(nnAAAAAAPPPP2121)(互相独立事件：事件发生不影响事件是否发生。互相独立事件：事件发生不影响事件是否发生。两两积的概率等于两事件概率的积：积的概率等于两事件概率的积： BABAPPP )(nnAAAAAAPPPP2121)(去掉大小王牌，从去掉大小王牌，从5252张扑克牌中有放回的抽两张牌，张扑克牌中有放回的抽两张牌，即抽完第一张以后将所抽的牌再放

4、回去，混合好后再抽即抽完第一张以后将所抽的牌再放回去，混合好后再抽第二张。问第一次抽取红桃第二张。问第一次抽取红桃K K第二次抽取方块第二次抽取方块K K的概率是的概率是多少？第一次抽取红桃，第二次抽取方块的概率是多少？多少？第一次抽取红桃，第二次抽取方块的概率是多少？某一学生从个试题中任意抽取一题，进行口试。如某一学生从个试题中任意抽取一题，进行口试。如果抽到每一题的概率为果抽到每一题的概率为1 15 5，则抽到试题或试题的概，则抽到试题或试题的概率是多少？率是多少？ 如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一个如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再抽，则个学生都抽到试题学生再抽，则个学

5、生都抽到试题1 1的概率是多少？的概率是多少？ 525151BABAPPP6251515151514321AAAAP从从3030个白球和个白球和2020个黑球共个黑球共5050个球中随机抽取两次个球中随机抽取两次（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；分析：包括两种情况：先抽一黑球、后抽一白球；先抽一白球、后抽一黑球。先抽一白球、后抽一黑球。48. 053525253P一枚硬币掷一枚硬币掷3 3次，或三枚硬币各掷一次，问出现两次，或三枚硬币各掷一次，问出现两次或两次以上次或两次以上H H

6、的概率是多少？的概率是多少？解：可能出现的情况有：解：可能出现的情况有：HHH HHT HTH THH TTH HHH HHT HTH THH TTH THT HTT TTTTHT HTT TTT共共8 8种。每种情况出现的概率，为种。每种情况出现的概率，为则：则：P P（HHH)+P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=HHH)+P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=111122281111188882概率分布是指对随机变量取不同值时的概率的描述，概率分布是指对随机变量取不同值时的概率的描述，一般用概率分布函数进行描述。一般用概率分布函数进行描述。只有了解随机变量的概率分布，才能使统计

7、推论成只有了解随机变量的概率分布，才能使统计推论成为可能。为可能。根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为根据随机变量的取值是否连续，可将随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量。离散型随机变量与连续型随机变量。当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离当随机变量只取孤立的数值，这种随机变量称为离散型随机变量。如投掷一枚硬币散型随机变量。如投掷一枚硬币4 4次，几次正面朝上？因次，几次正面朝上？因取值只能为取值只能为0 0、1 1、2 2、3 3、4 4，故为离散型随机变量。，故为离散型随机变量。离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分离散型随机变量的概率分布称作离散分布。连续分布

8、是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率布是指连续型随机变量的概率分布，即测量数据的概率分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。分布。心理统计学中最常用的连续型分布是正态分布。考察间断型随机变量，可以讲某个值以多大的概率考察间断型随机变量，可以讲某个值以多大的概率出现，而对于连续型随机变量，这样讲是没有意义的，出现，而对于连续型随机变量，这样讲是没有意义的，因为它的取值个数是无限的，这时我们只能讲取值在某因为它的取值个数是无限的，这时我们只能讲取值在某个区间的概率是多少。个区间的概率是多少。经验分布是指根据观察或实验所获得的数据而编制经验分布是指根据观察或实验所获得的数据而编制的

9、次数分布或相对频率分布。经验分布往往是总体的一的次数分布或相对频率分布。经验分布往往是总体的一个样本。个样本。理论分布是按照随机变量概率分布函数（数学模型）理论分布是按照随机变量概率分布函数（数学模型）计算出的概率分布。计算出的概率分布。 身高分组身高分组f f0 0f fe e169-169-166-166-163-163-160-160-157-157-154-154-151-151-148-148-145-145-142-142-139-139-2 27 7 22 22 57 57 110 110 124 124 112 112 80 80 25 258 84 41 17 7 24 24

10、 60 60 104 104 130 130 114 114 70 70 31 31 9 92 222()212Xye实际次数的分布为经验分布实际次数的分布为经验分布理论次数的分布为理论分布理论次数的分布为理论分布前者其分布主体为：基本随机变量；后者其分布主前者其分布主体为：基本随机变量；后者其分布主体为样本统计量。体为样本统计量。连续型随机变量概率分布的一种连续型随机变量概率分布的一种，是在数理统计的是在数理统计的理论与实际应用中占最重要地位的一种理论分布。理论与实际应用中占最重要地位的一种理论分布。 由棣莫弗于由棣莫弗于17331733年发现；拉普拉斯、高斯也做出年发现；拉普拉斯、高斯也做

11、出了贡献，故又称了贡献，故又称。22212XYe若随机变量X的概率密度函数为：2,)XXN 则称 服从正态分布，记作： (2, 影响曲线形态的两个参数有两个：2 决定曲线的中心位置， 决定曲线的陡峭程度XX曲线相对于直线对称并在处达最大值X曲线在处有拐点X曲线以 轴为渐近线22,)0,1 )XNZN 若有 (，则有 (22212XYe即有：2212ZYe以为横坐标，为纵坐标绘制的曲线。以为横坐标，为纵坐标绘制的曲线。为概率密度，曲线下的面积为概率。为概率密度，曲线下的面积为概率。曲线以为中心双侧对称且在处达最高点；曲线拐点为正负一个标准差处；曲线的平均数为，标准差为；33从 至 之间几乎分布着

12、全部数据。曲线从最高点向左右缓慢下降向两侧无限延伸，但终不与基线相交；表中仅列有标准正态曲线下的面积，查表前应先将表中仅列有标准正态曲线下的面积，查表前应先将原始变量转换为。原始变量转换为。表中所列面积数据表中所列面积数据P P，是从到某一正的值，是从到某一正的值之间的面积。之间的面积。求求0 0至某一正的值之间的概率：直接查表；至某一正的值之间的概率：直接查表；求两个值之间的概率，两值符号相同；求两个值之间的概率，两值符号相同；求两个值之间的概率，两值符号相反；求两个值之间的概率，两值符号相反；求某一求某一Z Z值以上的概率，当值以上的概率，当Z Z0 0时；时；求某一求某一Z Z值以上的概

13、率，当值以上的概率，当Z0Z0时；时；求某一求某一Z Z值以下的概率，当值以下的概率，当Z Z0 0时；时；求某一求某一Z Z值以下的概率，当值以下的概率，当Z0ZZ=0.0250P ZZ=0.0050PZ=0.95Z1 1、在人格测验上的分数形成正态分布、在人格测验上的分数形成正态分布 一个随机样本一个随机样本n=16n=16，其均值大于，其均值大于8585的概率是（的概率是（ ）。）。2 2、某班、某班200200人的考试成绩呈正态分布，其平均数人的考试成绩呈正态分布，其平均数为为1212，标准差为，标准差为4 4。则成绩在。则成绩在8 8分和分和1616分之间的人数占分之间的人数占全部人

14、数的（全部人数的（ ）A. 34.13 B. 68.26 C. 90% D. 95%A. 34.13 B. 68.26 C. 90% D. 95%80,12,3 3、正态分布是由（）于、正态分布是由（）于17331733年发现的。年发现的。A. A. 高斯高斯 B. B. 拉普拉斯拉普拉斯 C. C. 莫弗莫弗 D. D. 高赛高赛特特4 4、从、从n=200n=200的学生样本中随机抽样，已知女生伟的学生样本中随机抽样，已知女生伟132132人，问每次抽取人，问每次抽取1 1人，抽到男生的概率是（）。人，抽到男生的概率是（）。A. 0.66 B. 0.34 C. 0.33 D. 0.17A.

15、 0.66 B. 0.34 C. 0.33 D. 0.175 5、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是、两个骰子掷一次，出现两个相同点数的概率是（ ）。）。A. 0.17 B. 0.083 C. 0.014 D. 0.028A. 0.17 B. 0.083 C. 0.014 D. 0.0286 6、依分布函数的来源，可把概率分布划分为（、依分布函数的来源，可把概率分布划分为（ ）。）。A.A.离散分布离散分布 B. B. 连续分布连续分布 C. C. 经验分布经验分布 D. D. 理论分布理论分布例例1 1：已知某年级：已知某年级200200名学生考试成绩呈正态分布，名学生考试成绩呈正态分

16、布，平均分为平均分为8585分，标准差为分，标准差为1010分，学生甲的成绩为分，学生甲的成绩为7070分，分，问全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？问全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？例例2 2：某次招生考试，学生成绩符合正态分布，平：某次招生考试，学生成绩符合正态分布，平均分数为均分数为8080分，标准差为分，标准差为1010分，要择优录取分，要择优录取25%25%的学生进的学生进入高一级学校学习，问最低分数线应是多少分？入高一级学校学习，问最低分数线应是多少分？例例3 3：某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛：某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生学生200200人，平均分为

17、人，平均分为66.7866.78分，标准差为分，标准差为9.199.19分。某生分。某生得得8080分，他在参赛中排列第几名？分，他在参赛中排列第几名？例例4 4：表：表1 1是是3 3位教师对位教师对100100名学生的学习能力所作等级名学生的学习能力所作等级评定的结果；表评定的结果；表2 2是是3 3名学生从名学生从3 3位教师哪儿获得的评定等级，位教师哪儿获得的评定等级，试将其转化为试将其转化为Z Z分数。分数。等级等级 教师甲教师甲 教师乙教师乙 教师丙教师丙 A 5 10 20A 5 10 20B 25 20 25B 25 20 25C 40 40 35C 40 40 35D 25

18、20 15D 25 20 15E 5 10 5E 5 10 5总数总数 100 100 100100 100 100学生学生 教师甲教师甲 教师乙教师乙 教师丙教师丙1 B A A1 B A A2 A B A2 A B A3 D C C3 D C C表表1表表2例例5 5：将下表中各测验题的通过率转换为难度分数。：将下表中各测验题的通过率转换为难度分数。测验题号测验题号 通过率（通过率（% %） p p Z Z+5 Z Z+5 1 99 0.49 -2.331 2.6691 99 0.49 -2.331 2.669 3 95 0.45 -I.645 3.355 3 95 0.45 -I.645

19、 3.355 5 85 0.35 -1.035 3.965 5 85 0.35 -1.035 3.965 7 80 0.30 -0.840 4.160 7 80 0.30 -0.840 4.160 9 70 0.20 -0.525 4.475 9 70 0.20 -0.525 4.475 10 50 0 0 5.000 10 50 0 0 5.000 11 20 0.30 0.84 5.840 11 20 0.30 0.84 5.840 13 5 0.45 1.645 6.645 13 5 0.45 1.645 6.645 25 1 0.49 2.33 7.330 25 1 0.49 2.33

20、 7.330 总数总数 100 100 100100 100 100例例6 6：某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力：某年级进行数学能力测验后，拟按数学能力将学生分成将学生分成5 5个组。该测验参加人数为个组。该测验参加人数为300300人，平均分为人，平均分为6060分，标准差为分，标准差为13.213.2分，问各组人数及原始分数区间都分，问各组人数及原始分数区间都是怎样的？是怎样的？分组分组 组中值组中值 f Z T f Z T 140- 142 8 2.01 70140- 142 8 2.01 70135- 137 9 1.50 65135- 137 9 1.50 65130- 132

21、 20 1.04 60 130- 132 20 1.04 60 125- 127 29 0.57 56125- 127 29 0.57 56120- 122 28 0.14 51120- 122 28 0.14 51115- 117 16 -0.17 48115- 117 16 -0.17 48110- 112 16 -0.40 46110- 112 16 -0.40 46105- 107 8 105- 107 8 -0.59 44-0.59 44100- 102 9 100- 102 9 -0.73 43-0.73 4395- 97 8 95- 97 8 -0.90 41-0.90 4190

22、- 92 7 90- 92 7 -1.06 39-1.06 3985- 87 6 85- 87 6 -1.25 38-1.25 3880- 82 6 80- 82 6 -1.46 35-1.46 3575- 77 5 75- 77 5 -1.70 33-1.70 3370- 72 5 70- 72 5 -2.12 29-2.12 29N=180 N=180 x x = 115.14 s=17.91= 115.14 s=17.91将原始数据整理为次数将原始数据整理为次数分布表；分布表；计算各组上限以下累加计算各组上限以下累加次数；次数；计算各组中点以下累加计算各组中点以下累加次数；次数；计算各组中点以下累积计算各组中点以下累积比率；比率；查正态分布表，将概率查正态分布表，将概率转化为转化为Z Z分数；分数；将正态化以后的将正态化以后的Z Z值进行值进行线性转换：线性转换：T=10Z+50T=10Z+50假设研究对象总体呈正态分布，但由于抽样误差等假设研究对象总体呈正态分布，但由于抽样误差等因素，样本的次数分布不是正态。这时需要按总体将样因素，样本的次数分布不是正态。这时需要按总体将样本分布