北师大版高中数学选修2-2第三章《导数应用》_导数与函数的极值_课件

1、北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-22-2第三第三章章导数应用导数应用一、复习一、复习: : 利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为利用函数的导数来研究函数的单调性其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 ;)(xf 解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间; 解不等式解不等式 f(x1).o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx xy y)(4xf)(1xf (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点区间的端点不能成为极值点不能成为极值点.而使函数取得最大值

2、、最小值的点可能而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点. 1理解极值概念时需注意的几点理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值总结总结 (4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1) (5)若函数f(x)在a，b上

3、有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2导数为导数为0的点不一定是极值点的点不一定是极值点o oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xfo oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf求可导函数求可导函数f(x)的极值的极值 一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是是极大极大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极

4、大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值., 0)(, 0)( xfxf思考思考(1)导数为导数为0的点一定是的点一定是 函数的极值点吗？函数的极值点吗？例如：例如：f(x)=x3f (x)=3x20f (0)=302=0 xx0f (x)+0+f(x)oxyY=x3+若若f(x0) 是极值，则是极值，则f (x0)=0。反之，反之，f (x0)=0，f(x0)不一定是极值不一定是极值y=f(x)在一点的导数为在一点的导数为0是函数是函数y=f(x)在这点取得极值的在这点取得极值的 必要条件。必要条件。例

5、例1:求求y=x3/3 4x+4的极值的极值.解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 极大值28/3 极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 4/3.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域）确定函数的定义域（2）求方程）求方程f(x

6、)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格干个开区间，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 若若f (x)左正右负，则左正右负，则f(x)为极大值；为极大值； 若若 f (x)左负右正，则左负右正，则f(x)为极小值为极小值+-x0-+x0求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值例、例、 的的极极值值？求求函函数数246x3x3xy2216)x(x)x(f/ 先先求求函函数数的的导导数数.x,xx

7、101321 、驻驻点点为为(-,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1(1,+) f/(x) f(x)0 00 00 0- - -+ + +减减减减增增增增1 10 01 1的的符符号号状状态态如如下下：、变变化化时时，当当)x(f)x(fx/ 导数为零的点不一定是极值点！导数为零的点不一定是极值点！x=-1, x=0,x=1;当x=0是函数极小值点y=0. 1 -1 f x = x 2 -1? 3 +1 x O y1yxxxX1+0-0+( )fx( )f x所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的极时，函数的极小值是小值是21,0 x

8、xx解：f(x)=所以导函数的正负是交替出现的吗？不是不是22211( )1xfxxx ，( )01fxx 时，x当 变化时，f(x),f(x)变化如下表极大值极大值极小值极小值练习练习:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小

9、值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有有极小值极小值f(a)=2a.说明说明:本题中的极大值是小于极小值的本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明这充分表明极值与最值是完全不同的两个概念极值与最值是完全不同的两个概念.练习练习:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1()1(6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (1,+) y - 0 + 0 - y 极小值极小值-3 极大值极大值3 因此因此,

10、当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 3.1.用导数来确定函数的极值步骤：用导数来确定函数的极值步骤：（1）先求函数的导数先求函数的导数 f / (x)；（2）再求方程再求方程 f /(x) = 0 的根；的根；（3）列出导函数值符号变化规律表；列出导函数值符号变化规律表；（4）利用从+ 、0、- - 判断函数极大值；判断函数极大值； 利用从- 、0、+ + 判断函数极小值；判断函数极小值； (-,a) a （a,b） b(b, +)f(x)符号 f (x) 增函数增函数+ + +- -0 00 0增函数增函数减函数减函数极大值极大值极小值极小值四、本课总结四、本课总结: : 2.函数的极值注意事项：函数的极值注意事项：(4)(4)函数的不可导点也可能是极值点函数的不可导点也可能是极值点; ;(5)(5)可导函数的极值点一定是使导函数为可导函数的极值点一定是使导函数为0 0的点的点; ;(2)(2)函数的极值是就函数在某一点附近的小函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的区间而言的, ,在函数的整个定义域可能有多在函数的整个定义域可