一轮复习配套讲义：第7篇第2讲空间几何体的表面积与体积

1、第2讲空间几何体的表面积与体积最新考纲1. 了解球体、柱体、锥体、台体的表面积的计算公式.2. 了解球体、柱体、锥体、台体的体积计算公由浅入深夯基固本»诊断.基础知识 式.知识梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S 侧=2 <hV= Sh= <2h圆锥S侧二出11 2V=-Sh=-<2h33=<2V12 r23圆台S 侧=兀 K +2)11 _T c J, 1,22V=-（S上 + S下+4 S上S下）h=4 Kr1 +2+ r12）h 33直棱柱S 侧=ChV= Sh正棱锥-1,S 侧=2Ch1 V=Sh 3正棱台1S侧= 2（C+C，）h，V=

2、3（S 上+ S 下+、/s上 Sr ）h球S球面=4 tR243v=-tR332.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等千侧面积与底面面积之 和.辨析感悟1 .柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 6.(X)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a, a, a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 3向2.(x)2 .柱体、锥体、台体的体积（3）（教材练习改编）若一个球的体积为45冗，则它的表面积为12 7t.0）（2013浙江卷改

3、编）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于 24 cm3（，）H- 4 T 13T倍视图（5）在4ABC中，AB = 2, BC = 3, /ABC=120°,使 ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9冗匹）3.柱体、锥体、台体的展开与折叠（6）将圆心角为穹，面积为3冗的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于 4冗.0） 3（2014青州模才H改编）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a,则三棱锥D ABC的体积为*a3（X）感悟提升两点注意 一是求几何体的体积，要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求

4、解.二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系 学生用书第109页突破高频考点以前求法举-反三考点一空间几何体的表面积【例11 （2014日照一模）如图是一个几何体的正视图和侧视图,其俯视图是面积为8啦的矩形.则该几何体的表面积是（A. 8B. 20+8V2C. 16D. 24+8亚解析 由已知俯视图是矩形，则该几何体为一个三棱柱，根据三视图的性质，俯视图的矩形宽为2f2,由面积8亚，得长为4,则该几何体的表面积为 S= 2X2X2X2 + 272X4+2X2X4 = 20+8/2.答案B规律方法（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行

5、恰当的分析，从三 视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理.（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面 积与底面圆的面积之和.【训练11 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 .解析如图所示：该几何体为长为4,宽为3,高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1,高为1的圆柱后剩下的部分. S 表=（4X 1 + 3X4+3X 1）X2+2 ttX 1X1-2ttX 12 = 38.答案 38考点二空间几何体的体积【例2】（1）（2013新课标全国I卷）某

6、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.A. 16+ 8 兀 B. 8 + 8 冗C. 16+ 16 兀 D. 8+16 几（2014福州,K拟）如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长均为1,且AA底面ABC,则三棱锥B1- ABC1的体积为（）.A.C.312612B.D.4,2,2,解析(1)由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成.其中长方体的长、宽、高分别为1_ 2圆柱的底面半径为2、图为4.所以V=2X2X4 + 2X2 X启4=16+ 8冗故选A.(2)三棱锥BiABCi的体积等于三棱锥 ABiBCi的体积，三棱锥ABiBCi的高为坐，底面积为2,故 其体积

7、为gx 1x=|.答案(i)A (2)A规律方法(i)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出， 则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.【训练2】 如图所示，已知E, F分别是棱长为a的正方体ABCD AiBiCiDi的棱AiA, CCi的中点， 求四棱锥Ci-BiEDF的体积.DA解 法一 连接AiCi, BiDi交于点Oi,连接BiD, EF, 过 Oi 作 OiHLBiD 于 H. EF/ AiCi,且 AiCi?平面 BiEDF,EF?平面 BiED

8、F.AiCi/平面 BiEDF.Ci到平面BiEDF的距离就是AiCi到平面BiEDF的距离.平面 BiDiDL平面 BiEDF,且平面 BiDiDA平面 BiEDF = BiD,OiHL平面 BiEDF,即OiH为棱锥的高.,.BiOiHABiDDiB1O1 DD16 01H= B1D - 6a.1彳 EF .二 1 1CrBEDF =于$ 四边形/EOF *= 01H=31V2a 小 a 甯a=1a3法二连接EF, BiD.设B1到平面C1EF的距离为h1, D到平面C1EF的距离为h2,则h1 + h2= B1D1=2a.由题意得，-BigEF人 ,、-3DJEF =3 § C

9、1EF （h + h2） = 6a .考点三球与空间几何体的接、切问题【例3】（1）（2013福建卷）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是（2）（2013辽宁卷）已知直三棱柱 ABC A1B1C1的6个顶点都在球。的球面上，若 AB=3, AC=4, AB!AC, AA1 = 12,则球。的半径为B, 210A513C万2D. 3710审题路线 （1）正方体内接于球？正方体的体对角线长等于球的直径 ？求得球的半径？代入球的表面积 公式（注意只算球的表面积）.（2）BC为过底面ABC的截面圆的

10、直径？取BC中点D,则球心在BC的垂直平分线上，再由对称性求解.解析（1）由三视图知，棱长为2的正方体内接于球，故正方体的体对角线长为273,即为球的直径.所以球的表面积为S= 4几(2)因为在直三棱柱中 AB = 3, AC=4, AAi = 12, ABXAC,所以BC = 5,且BC为过底面ABC的截面圆 的直径，取BC中点D,则ODL底面ABC,则O在侧面BCCiBi内，矩形BCCiBi的对角线长即为球的 直径，所以 2r二小22T52 =13,即 r=12r.答案 (1)12兀(2)C学生用书第110页规律方法解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系

11、和数量 关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之 问的关系)，达到空间问题平面化的目的.【训练3】(2013新课标全国I卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm,将 一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，().866 冗 3B-3- cm则球的体积为5003A.-3- cmD 2 048 -3解析 作出该球的轴截面，如图所示，依题意 BE = 2 cm, AE = CE = 4 cm,设DE = x,故AD = 2+x, 因为 AD2 = AE2+DE2,解得 x

12、= 3(cm),故该球的半径 AD = 5 cm,所以 V=4 Mcm3).33答案A考点四 几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去 AOB,将剩余部分沿OC, OD折叠，使OA, OB重合，则以A, B, C, D,。为顶点的四面体的体积为a AC = 4, BC = CCi =(2)如图所示，在直三棱柱 ABCAiBiCi中，ABC为直角三角形，/ ACB = 903.P是BCi上一动点，则CP+PAi的最小值为(中PAi表示P, Ai两点沿棱柱的表面距离).解析(i)折叠后的四面体如图所示.OA, OC, OD 两两相互垂

13、直，且 OA=OC = OD = 2V2,体积 V= 1 Saocd OA=(272)3=呼.33 23由题意知，把面BBiCiC沿BBi展开与面AAiBiB在一个平面上，如图所示，连接 AiC即可.则Ai、P、C三点共线时，CP+PAi最小，/ACB = 90°, AC = 4, BC = CiC=3,.AiBi = AB=M42 + 32 =5, .AiCi = 5+ 3=8,. AiC =82 + 32 =巾3.故CP+ PAi的最小值为巾3.答案/(2) . 73规律方法(i)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素问 的位置和数量关系

14、，哪些变，哪些不变.研究几何体表面上两点的最短距离问题， 常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距 离问题.【训练4】如图为一几何体的展开图，其中 ABCD是边长为6的正方形，SD= PD=6, CR= SC, AQ = AP,点S, D, A, Q共线，点P, D, C, R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使 P, Q, R, S四点重 合，则需要个这样的几何体，可以拼成一个棱长为 6的正方体.,4Q解析 由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P ABCD（如图所示）,i其中PD，平面 ABCD,因此该四棱锥的体积 V=,X 6X 6X6=72,3而棱长为6的正方

15、体的体积V=2i66X6X6 = 2i6,故需要 孑=3个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体.答案3I课堂小结Ii.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点 与平面几何知识来解决.2,求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们 就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积.3.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位 置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中 心，正方体的棱长等于球的直径；球外

16、接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.教你解题提升前培养解题能力方法优化5特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】（2012山东卷）如图，正方体ABCDAiBiCiDi的棱长为1, E, F分别为线段AAi, BiC上的点,则三棱锥Di-EDF的体积为一般解法三棱锥DiEDF的体积即为三棱锥F DDiE的体积.因为E, F分别为AA，B1C上的点,1所以在正方体 ABCD AiBiCiDi中AEDDi的面积为定值2, F到平面AAiDiD的距离为定值1,所以F-DDi£=3x2x1 = 1.J ji优美解法E点移到A点，F点移到C点，则1 D-EDF =

17、 DADC =3X2Xixixi = 6.反思感悟(i)一般解法利用了转化思想，把三棱锥Di EDF的体积转化为三棱锥F DDiE体体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易 理解、也简单易求.(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法.【自主体验】如图，在三棱柱ABCAiBiCi中，侧棱AAi与侧面BCCiBi的距离为2,侧面BCCiBi的面积为4,此三 棱柱ABC Ai Bi Ci的体积为.B解析 补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示.记Ai到平面BCCiBi的距离为d,则d=2.i.i则V三棱柱2V四棱柱=3 r 、工工 口 = 2X 4X 2=4.2/HL L. b1n答案

18、4c课时题组训练防排训练练出高分对应学生用书P309基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、选择题1. （2013广东卷）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是 （）.A. 4 B.y C.y D. 6解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形；下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V=1（12 + 7l2X22 +22）X2 = ；,故选B.33答案B积不可能等于（2. （2013湖南卷）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为 1的正方形，则该正方体的正视图的面).A. 1 B./ C.啦1/+12 D. 2解析由俯视图的面积为1可知，该

19、正方体的放置如图所示，当正视图的方向与正方体的侧面垂直时， 正视图的面积最小，其值为1,当正视图的方向与正方体的对角面 BDD1B1或ACC1A1垂直时，正视图的 面积最大，其值为 也，由于正视图的方向不同，因此正视图的面积SC 1, V2,故选C.答案C1的正方形，俯视图是3. （2014许昌模拟）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）.3A. 4兀B.2兀C. 3九D. 2九解析由三视图可知，该几何体是一个圆柱，S表=2x冗义Ttx ixi：34.如图,A AB解析在多面体 ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且a ADE

20、, zBCF均为正三角形,EF=2,则该多面体的体积为（）.343B.k C- D.- 332pEF如图，分别过点AB作EF的垂线，垂足分别为G, H,连接DG, CH,容易求得EG=HF1 =2,AG=GD = BH = HC*cc12 SaAGD = Sa BHC = 2X 2 *1=#X1=W.故选 A.2 V= Ve adg +Vf bhc+Vagd bhc = 2Ve adg 4、，11 c+ VaGD BHC = &X 4 X X 2 +342答案A5. （2012新课标全国卷）平面a截球。的球面所得圆的半径为1,球心O到平面a的距离为J2,则此球 的体积为（）.A.、/6

21、兀 B. 4、/3 兀 C. 4、/6兀 D. 6737t解析如图，设截面圆的圆心为 O' , M为截面圆上任一点，则OO'=也，O' M = 1, .OM=M24 = 品 即球的半径为 网v= 4兀3）3=4437t.3答案B二、填空题6. （2013辽宁卷）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为 2,高为4,故体 积为16呜正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,所以几何体的体积为16冗-16.答案 16几167. （2013陕西卷）某几何体的三视图如图所示，则具体积为 .俯视图

22、解析该几何体为一个半圆锥，故具体积为V=1x1x冗X 12X22=W3 23答案338. （2013江苏卷）如图，在三棱柱 A1B1C1ABC中，D, E, F分别是AB, AC, AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1 ABC的体积为V2,则V1:V2 =.11111解析 设二棱柱A1B1C1ABC的图为h,底面二角形ABC的面积为S,则V1=-X-S；加=Sh=豆V2, 3 4 22424即 V1 : V2= 1 : 24.答案 1 : 24三、解答题9 .如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm):正视图得祝图1西俯视图(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法

23、)； (2)求这个几何体的表面积及体积.解(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体 ACi及直三棱柱BiCiQ AiDiP的组合体.由PAi = PDi = V2 cm, AiDi=AD = 2 cm,可得PAi，PDi.故所求几何体的表面积S= 5X22 + 2X2X+2X2X (V2)2 = 22+4<2(cm2),体积 V = 23 +1X (V2)2 X 2 = i0(cm3).10 .有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水,使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.3r,解 如图所示，作出轴截面

24、，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为 水面半径BC的长为V3r,则容器内水的体积为V= V 圆锥一V球=：兀(3r)2 3r-3将球取出后，设容器中水的深度为 h,则水面圆的半径为 空h,从而容器内水的体积为 3V = 3 亨h 笳=9由3,由 V=V',得 h=浙5r.能力提升题组（建议用时：25分钟）一、选择题1 .已知球的直径 SC= 4, A, B是该球球面上的两点，AB=<3, /ASC= / BSC= 30°,则棱锥S-ABC 的体积为（）.A. 3M B. 2V3 C# D. 1c解析 由题意知，如图所示，在棱锥S- ABC中，ASAC, zSBC都是有一个角为30°的直角三角形，其 中 AB=，3, SC