排队论基础及模型ppt课件

1、 排队论排队论教学目的：了解排队论的经济含义；排队系统的普通概念和简单的排队系统；教学目的：了解排队论的经济含义；排队系统的普通概念和简单的排队系统；了解排队问题的计算机仿真。了解排队问题的计算机仿真。 1学习内容学习内容大纲内容大纲内容知识要点知识要点基本概念基本概念排队系统排队系统泊松分布、负指数分布泊松分布、负指数分布排队系统排队系统排队系统的一般指标排队系统的一般指标排队模型的运用排队模型的运用M/M/1、M/M/C排队问题的仿真排队问题的仿真Excel 仿真仿真2引导案例引导案例-1 银行排队系统银行排队系统3引导案例引导案例-2 医院排队系统医院排队系统4形形色色的排队系统形形色色

2、的排队系统达到的顾客达到的顾客要求服务的内容要求服务的内容服务的机构服务的机构出故障的机器出故障的机器修理技工修理技工病人病人电话呼叫电话呼叫进港货船进港货船入水库河水入水库河水达到机场上空的飞机达到机场上空的飞机刑事案件刑事案件达到路口的车辆达到路口的车辆来犯敌机来犯敌机修理修理领取修配零件领取修配零件诊断（或治疗）诊断（或治疗）通话通话装（卸）货装（卸）货放水、调整水位放水、调整水位降落降落侦破侦破通过路口通过路口截击截击修理技工修理技工发放发放修配零件修配零件的管理员的管理员医生（或治疗设备）医生（或治疗设备）交换台交换台装（卸）货码头（泊位）装（卸）货码头（泊位）水闸、管理员水闸、管理

3、员跑道跑道刑侦部门刑侦部门交通信号灯交通信号灯我防空部队我防空部队5为什么会出现排队景象？为什么会出现排队景象？假定每小时平均有假定每小时平均有4位顾客到达，效力人员为每位顾客的平均效力时间为位顾客到达，效力人员为每位顾客的平均效力时间为15分钟。假设分钟。假设顾客到达的间隔时间正好是顾客到达的间隔时间正好是15分钟，而效力人员为每位顾客的效力时间也正好是分钟，而效力人员为每位顾客的效力时间也正好是15分钟，分钟，那么，就只需求一名效力人员，顾客也根本用不着等待。那么，就只需求一名效力人员，顾客也根本用不着等待。 在以下情况将出现排队景象：在以下情况将出现排队景象： 平均到达率高于平均效力率平

4、均到达率高于平均效力率 顾客到达的间隔时间不一样随机顾客到达的间隔时间不一样随机 效力时间不一样随机效力时间不一样随机顾客分开顾客分开顾客顾客顾客排队顾客排队效力设备效力设备6到达数量到达数量时时 间间普通才干普通才干排队问题并不是系统的固定形状，它与系统设计与管理的控制有很大关系。如排队问题并不是系统的固定形状，它与系统设计与管理的控制有很大关系。如快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客留出特定的时间段；也可以经过快餐店只允许很短的队长，也可为特定的顾客留出特定的时间段；也可以经过运用更快的效力人员、机器或采用不同的设备规划和政策来影响顾客的到达时运用更快的效力人员、机器或采用不同的设备规

5、划和政策来影响顾客的到达时间和效力时间。间和效力时间。71 排队论的根本问题排队论的根本问题1.1 排队论的主要研讨内容排队论的主要研讨内容数量目的数量目的研讨主要数量目的在瞬时或平稳形状下的概率分布及其数字特征，了解系统的研讨主要数量目的在瞬时或平稳形状下的概率分布及其数字特征，了解系统的根本运转特征。根本运转特征。统计推断统计推断检验系统能否到达平稳形状；检验顾客到达间隔的独立性；确定效力时间分布检验系统能否到达平稳形状；检验顾客到达间隔的独立性；确定效力时间分布及参数。及参数。系统优化系统优化系统的最优设计和最优运营问题。系统的最优设计和最优运营问题。81.2 排队论的经济含义排队论的经

6、济含义排队问题的中心问题实践上就是对不同要素做权衡决策。管理者必需衡量为提排队问题的中心问题实践上就是对不同要素做权衡决策。管理者必需衡量为提供更快捷的效力如更多的车道、额外的降落跑道、更多的收银台而添加的供更快捷的效力如更多的车道、额外的降落跑道、更多的收银台而添加的本钱和相应的等待呵斥的费用之间的关系。本钱和相应的等待呵斥的费用之间的关系。9效力本钱与等待本钱的权衡本钱效益平衡效力本钱与等待本钱的权衡本钱效益平衡总本钱总本钱本钱本钱最正确才干最正确才干等待本钱等待本钱效力本钱效力本钱最小值最小值排队分析的目的是使顾客等待本钱与效力才干本钱这两项本钱之和最小排队分析的目的是使顾客等待本钱与效

7、力才干本钱这两项本钱之和最小102 排队论概述排队论概述2.1 根本概念根本概念概念概念在队列中，等待效力的顾客在队列中，等待效力的顾客customer和效力台和效力台server就构成了一个排队系统就构成了一个排队系统queuing system。本质本质研讨效力台与顾客之间效力与接纳效力的效率问题。研讨效力台与顾客之间效力与接纳效力的效率问题。总体目的总体目的以最少的效力台满足最多的客户需求。以最少的效力台满足最多的客户需求。 112.2 排队系统的普通方式排队系统的普通方式排队可以是有形的队列，也可以是无形的队列。排队可以是人，也可以是物。排队可以是有形的队列，也可以是无形的队列。排队可

8、以是人，也可以是物。 顾客源顾客源排队构造排队构造服服务务机机构构顾客到来顾客到来排队规那么排队规那么效力规那么效力规那么顾客离去顾客离去效力系统效力系统123 排队问题的特征排队问题的特征总体来源总体来源到达与效力方式到达与效力方式排队纪律效力顺序排队纪律效力顺序效力员数量通道效力员数量通道13有限顾客源有限顾客源例如：公司只需三台例如：公司只需三台机器时，需求维修的机器时，需求维修的数量数量潜在顾客数量潜在顾客数量无限顾客源无限顾客源例如：排队等候公共例如：排队等候公共汽车的乘客人数汽车的乘客人数3.1 总体来源总体来源分析排队问题所用方法取决于潜在顾客数量能否有限。分析排队问题所用方法取

9、决于潜在顾客数量能否有限。本章讨论的重点本章讨论的重点143.2 顾客到达与效力方式顾客到达与效力方式常用的模型假定顾客到达速度服从泊松分布，效力时间服从指数分布。常用的模型假定顾客到达速度服从泊松分布，效力时间服从指数分布。153.2.1 泊松分布泊松分布定义：设定义：设 Nt为时间为时间 0，t 内到达系统的顾客数，假设满足下面三个条件：内到达系统的顾客数，假设满足下面三个条件：平稳性：在平稳性：在 t ，t + t 内有一个顾客到达的概率与内有一个顾客到达的概率与t无关；无关；独立性：在恣意两个不相交时间区间内顾客到达相互独立；独立性：在恣意两个不相交时间区间内顾客到达相互独立；普通性：

10、在普通性：在 t ，t + t内多于一个顾客到达的概率极小，为内多于一个顾客到达的概率极小，为 ( t )，可以忽略。，可以忽略。那么称那么称 Nt，t 0 为为Poisson 过程，其对应的分布为泊松分布过程，其对应的分布为泊松分布 Poisson 分布。分布。16泊松分布的方式泊松分布的方式相对相对频度频度0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.200.180.160.140.120.100.080.060.040.020.00泊松分布泊松分布比率比率每单位时间顾客数每单位时间顾客数图图 泊松分布泊松分布17泊松分布的概率密度函数泊松分布的概率密度函数()( )!nTT

11、T eP nnTn：单位时间段； :到达率：单位时间段内到达的人数假设一个系统的平均到达率是每分钟有假设一个系统的平均到达率是每分钟有3个顾客到达个顾客到达 =3，求，求1分钟内有分钟内有5个人到达的概率个人到达的概率(5,1)nT53 15331(3 1)3(5)2.0250.1015!120eePe 183.2.2 指数分布指数分布当顾客以完全随机的方式到达效力实施时，相邻到达间隔时间服从指数分布，当顾客以完全随机的方式到达效力实施时，相邻到达间隔时间服从指数分布，但平均到达率不变；但平均到达率不变；随机效力时间服从指数分布，但平均效力率不变；随机效力时间服从指数分布，但平均效力率不变；1

12、9负指数分布的方式负指数分布的方式图图 负指数分布负指数分布指数分布指数分布时间时间相对频率相对频率0时间时间20负指数分布的概率密度函数负指数分布的概率密度函数tf(t)et：单位时间段内到达的顾客数量：时间间隔21（1）（2）（3）t（分钟）（分钟）下一个顾客在大于等于下一个顾客在大于等于t分钟内分钟内到达的概率到达的概率下一个顾客在小于等于下一个顾客在小于等于t分钟内分钟内到达的概率到达的概率01.0000.50.610.391.00.370.631.50.220.782.00.140.861备注：设 表表 下一个到达的顾客的时间间隔的概率下一个到达的顾客的时间间隔的概率223.2.3

13、泊松分布和指数分布的关系泊松分布和指数分布的关系泊松分布与指数分布可以相互推导得到。泊松分布的期望值和方差相等，都为泊松分布与指数分布可以相互推导得到。泊松分布的期望值和方差相等，都为 ；指数分布期望值为；指数分布期望值为1/ ,方差为方差为1/ 2 。相邻顾客到达时间间隔服从指数分布，单位时间段内到达的顾客数服从泊松分相邻顾客到达时间间隔服从指数分布，单位时间段内到达的顾客数服从泊松分布。布。233.3 排队纪律排队纪律/排队规那么排队规那么/效力顺序效力顺序排队规那么的排队规那么的3种类型种类型 损失制损失制 等待制等待制排队规那么排队规那么混合制混合制24等待制的四种类型等待制的四种类型

14、最短处置时间最短处置时间SPT随机效力随机效力RS后到先效力后到先效力LCFS先到先效力先到先效力FCFS253.4 效力员数量效力员数量排队系统中的常见变形排队系统中的常见变形Title in here多通道多通道单阶段单阶段Title in here单通道单通道多阶段多阶段Title in here单通道单通道单阶段单阶段Title in here多通道多通道多阶段多阶段排队系统排队系统26排队系统的四种变形排队系统的四种变形-1单通道单通道多阶段多阶段 效力台效力台单通道，单阶段单通道，单阶段 排队排队单通道、单阶段排队系统单通道、单阶段排队系统单通道、多阶段排队系统单通道、多阶段排队系

15、统 排队排队 效力台效力台 效力台效力台27多通道多通道单阶段单阶段多通道多通道多阶段多阶段多通道、单阶段排队系统多通道、单阶段排队系统多通道、多阶段排队系统多通道、多阶段排队系统排队系统的四种变形排队系统的四种变形-2284 排队模型排队模型4.1 排队问题的普通表达方式排队问题的普通表达方式普通方式：普通方式： X / Y / CX 顾客相继到达时间间隔的概率分布；顾客相继到达时间间隔的概率分布；Y 效力时间的概率分布；效力时间的概率分布；C效力台的个数；效力台的个数；294.2 一些特殊排队模型一些特殊排队模型模型模型分布分布服务服务阶段阶段顾客源顾客源到达到达分布分布排队排队规则规则服

16、务时间服务时间分布分布队列队列长度长度典型例子典型例子模型表示模型表示1单通道单通道单一单一无限无限泊松泊松FCFS指数指数无限无限只有一个出口只有一个出口的收费桥的收费桥M/M/12单通道单通道单一单一无限无限泊松泊松FCFS常数常数无限无限游乐园的游乐园的过山车过山车M/G/13多通道多通道单一单一无限无限泊松泊松FCFS指数指数无限无限银行柜台银行柜台服务服务M/M/C4多通道多通道单一单一有限有限泊松泊松FCFS指数指数无限无限工厂里故障机工厂里故障机器的维修器的维修指数分布指数分布常数分布常数分布304.3 模型符号定义无限顾客源模型符号定义无限顾客源符号符号代表代表 顾客到达速度（

17、到达率）；顾客到达速度（到达率）；1/ 代表相邻到达平均时间间隔代表相邻到达平均时间间隔,u服务速度（服务率）；服务速度（服务率）； 1/ 代表平均服务时间代表平均服务时间系统利用率，即到达率与服务率的比值系统利用率，即到达率与服务率的比值Lq等候服务的顾客平均数等候服务的顾客平均数Ls系统中的顾客平均数（正在等候的正在接受服务的）系统中的顾客平均数（正在等候的正在接受服务的）Wq顾客排队等候的平均时间顾客排队等候的平均时间Ws顾客在系统中花费的平均时间（排队等候时间服务时间）顾客在系统中花费的平均时间（排队等候时间服务时间）r正在接受服务的顾客平均数正在接受服务的顾客平均数n系统中的平均顾客

18、数系统中的平均顾客数C服务台（通道）数量服务台（通道）数量P0系统系统0个顾客概率个顾客概率Pn系统有系统有n个顾客的概率个顾客的概率Lmax队列中等候的最大期望值队列中等候的最大期望值31系统利用率 正在接受效力的顾客平均数系统中的平均顾客数系统中等待的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间rssLWuqsqsLLWLr1LqWqWsu1LsWsu4.4 模型参数计算模型参数计算-1 M/M/101P(1)(1)nnPn 32三种重要的关系三种重要的关系“管道原理: 稳定系统中平均输出= 平均输入率= 时间的可加性在系统中逗留的时间等于效力时间加排队利特尔法那么1WsWqussLWqqL

19、WLW334.4 模型参数计算模型参数计算-2 M/G/1 系统利用率 正在接受效力的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间1CC，L sL qr22 ()qLu uLqWqLsWsru 常数效力时间能将系统的平均顾客数砍掉一半常数效力时间能将系统的平均顾客数砍掉一半344.4 模型参数计算模型参数计算-3 M/M/C-1系统利用率 正在接受效力的顾客平均数系统中等待的平均顾客数系统中的平均顾客数顾客平均逗留时间顾客平均等待时间CL sL qr02!(1)cqrLpcLqWqLsWsr354.4 模型参数计算模型参数计算-3 M/M/C-21100!

20、(1)nccnrrPncnP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc36例例1一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负指数分布，平均到达一个码头，设待卸货船到达时间间隔服从负指数分布，平均到达 2 艘艘/小时；效小时；效力台是力台是1台吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每台吊车，卸货时间服从负指数分布，平均每 20 分钟可卸一艘货船，当分钟可卸一艘货船，当被占用时，新到货船只能停在码头等待。求在平稳形状下码头上货船的平均数；被占用时，新到货船只能停在码头等待。求在平稳形状下码头上货船的平均数；等待卸货船只的平均数；每艘货船在码头的平均停留时间；货船平均需等待多等待卸货船只的平均数

21、；每艘货船在码头的平均停留时间；货船平均需等待多长时间可以开场卸货。长时间可以开场卸货。37解：解：这是一个典型的M/M/1排队问题213r260320u 22()3 2sLu艘24233qsLLr(艘)423()23LqWq小时21()2LsWs小时38例例2某医院手术室根据病人就诊和完成手术时间的记录，恣意抽查某医院手术室根据病人就诊和完成手术时间的记录，恣意抽查100个任务小时，个任务小时，每小时来就诊的病人数每小时来就诊的病人数n的出现次数如表的出现次数如表6所示。又恣意抽查了所示。又恣意抽查了100个完成手术个完成手术的病例，所用时间的病例，所用时间t出现的次数如下表所示。试分别用公

22、式、出现的次数如下表所示。试分别用公式、excel和仿真求解：和仿真求解：39 到达病人数到达病人数 n出现次数出现次数 f n0101282293164105661合计合计100到达病人数到达病人数为病人完成手术为病人完成手术时间时间t/小时小时出现次数出现次数 ft 0.00.2380.20.4250.40.6170.6 1.890.81.061.01.251.20合计合计100手术时间手术时间40解：解：这也是一个M/M/1排队问题1计算平均到达率2.1(/)100nnf人 时 平均手术时间平均手术时间0.4()100ttfT 时/人 平均效力率平均效力率12.5()0.4u 人/时41

23、2取=2.1，=2.5，经过统计检验方法以为病人到达数服从参数为2.1的泊松分布，手术时间服从参数为2.5的指数分布。3效力设备利用率效力设备利用率2.10.842.5这阐明效力机构手术室有这阐明效力机构手术室有84%的时间是忙碌的被利用，有的时间是忙碌的被利用，有16%的时间是的时间是空闲的。空闲的。420.84ru2.12.5u 2.15.25()2.5 2.1sLu人5.250.844.41qsLLr(人)4.412.1()2.1LqWq小时5.252.5()2.1LsWs小时4依次带入公式，算出各目的得：依次带入公式，算出各目的得：43单通道仿真视频单通道仿真视频44排队系统仿真软件排

24、队系统仿真软件Flexsim-1Flexsim是建立在系统实际、控制实际、数理统计、信息技术和计算机技术等实是建立在系统实际、控制实际、数理统计、信息技术和计算机技术等实际根底之上的仿真软件，它是系统模型规范化和数字化相结合的过程。际根底之上的仿真软件，它是系统模型规范化和数字化相结合的过程。45排队系统仿真软件排队系统仿真软件Flexsim-2Flexsim在排队系统中的运用主要是利用仿真模型来研讨排队系统，首先经过仿真在排队系统中的运用主要是利用仿真模型来研讨排队系统，首先经过仿真模型的运转，便于更好的观测排队系统过程中出现的一系列复杂变化和动态过程；模型的运转，便于更好的观测排队系统过程

25、中出现的一系列复杂变化和动态过程；其次经过仿真模型稳定后的相关值与排队系统实际值的比较，得出他们的值正好相其次经过仿真模型稳定后的相关值与排队系统实际值的比较，得出他们的值正好相等。等。Flexsim在排队系统中的运用有助于我们进一步了解排队系统的相关概念和加深对在排队系统中的运用有助于我们进一步了解排队系统的相关概念和加深对排队系统的全面认识，从而对改良排队系统做出正确的举措。排队系统的全面认识，从而对改良排队系统做出正确的举措。46单通道单通道Excel求解求解47例例3-1Robot公司在全美运营把加油和汽车冲洗合并在一同的业务。公司在全美运营把加油和汽车冲洗合并在一同的业务。Robot

26、公司对加满公司对加满油的车辆提供免费冲洗，对于不加油只冲洗的车收费油的车辆提供免费冲洗，对于不加油只冲洗的车收费0.5美圆。以往的阅历阐明：美圆。以往的阅历阐明：加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利加油并且洗车的顾客数和单独洗车的顾客数大致相等。平均加一次油可盈利0.7美圆，洗一次车的本钱是美圆，洗一次车的本钱是0.1美圆，公司每天营业美圆，公司每天营业14小时。小时。Robot有三档功率和清洗组合不同的设备。选择有三档功率和清洗组合不同的设备。选择I档功率时，可以每档功率时，可以每5分钟洗分钟洗1辆辆车，每天的本钱是车，每天的本钱是12美圆。美圆。II档功率高于

27、档功率高于I档，每档，每4分钟洗分钟洗1辆车，但每天的本钱辆车，但每天的本钱是是16美圆；选择美圆；选择III档功率时，每洗档功率时，每洗1辆车需辆车需3分钟，但每天的本钱是分钟，但每天的本钱是22美圆。美圆。48例例3-2Robot公司估计，每个顾客洗公司估计，每个顾客洗1辆车不愿等待的时间不超越辆车不愿等待的时间不超越5分钟，假设等待的分钟，假设等待的时间过长，公司将失去顾客。时间过长，公司将失去顾客。假设估计每小时有假设估计每小时有10名顾客前来洗车，那么该选择哪档功率的设备？名顾客前来洗车，那么该选择哪档功率的设备？49解：解：这是一个典型的M/G/1排队问题1选择功率I时22102.

28、08333(2 ()2 12 (12 10)qLu u小时)10112r1012u 顾客平均等待时间顾客平均等待时间2.083330.208()10LqWq小时 ，即12.5(分钟)502选择功率II时22100.667(2 ()2 12 (15 10)qLu u小时)10115r1015u 顾客平均等待时间顾客平均等待时间0.6670.0667()10LqWq小时 ，即4(分钟)假设等待时间是独一规范，那么应选择功率假设等待时间是独一规范，那么应选择功率II的设备，但在我们做出最后结论之前，的设备，但在我们做出最后结论之前，还必需看一下二者的利润差别。还必需看一下二者的利润差别。51 (3)

29、对于功率I，由于等待时间为12.5分钟，部分顾客会放弃接受效力。虽然这将使数学分析复杂化，我们仍可以估计出选择功率I时营业额的减少量。我们可以经过假设Wq=5分钟1/12小时，并从中解得 ，这将是最有效的顾客到达率。2/2 ()2 ()Lqu uWqu u2212()(12)2128(/)11212()(12)12qqW uW u人 小时52因此，既然因此，既然 的最初估计是的最初估计是10人人/小时，那么每小时将失去小时，那么每小时将失去2名顾客。名顾客。每天的损失每天的损失(S)：12 14(0.70.4)15.4(/)2S 美元 天而选择功率而选择功率II，本钱只添加了，本钱只添加了4美

30、圆美圆/天，显然，相比较于损失的天，显然，相比较于损失的15.4美圆，我们都美圆，我们都会选择功率会选择功率II设备。设备。功率功率II能满足最初设定的能满足最初设定的5分钟等待最大限制，因此功率分钟等待最大限制，因此功率III可不予思索，除非可不予思索，除非 变变大。大。53例例4 Disneyland乐园中的排队乐园中的排队在游乐园中的频频排队会极为败兴，在游乐园中的频频排队会极为败兴，Disneyland中的中的FastPass (QuickPass)系统就是系统就是想处理这个问题的。其任务原理如下：想处理这个问题的。其任务原理如下：到达的顾客将本人的票插入到达的顾客将本人的票插入Fas

31、tPass的的slot中；中；FastPass计算出建议顾客前往的时间间隔或时间点或时间窗；计算出建议顾客前往的时间间隔或时间点或时间窗；顾客无需排队，在指定的时间前往就可持票进入。顾客无需排队，在指定的时间前往就可持票进入。54思索思索QuickPass对排队系统的那些特征参数做了改动？对排队系统的那些特征参数做了改动？改动顾客到达方式，是如何影响系统绩效？改动顾客到达方式，是如何影响系统绩效？55解：解：泊松分布到达泊松分布到达常数分布到达常数分布到达平均达到率平均达到率11人人/分钟分钟11人人/分钟分钟平均服务率平均服务率12人人/分钟分钟12人人/分钟分钟排队长度排队长度5.040系

32、统队长系统队长5.960平均排队时间平均排队时间0.460系统利用率系统利用率91.70%91.70%56Disneyland问题处理了吗？问题处理了吗？假设游客不按时间前往？假设游客不按时间前往？能否让游客等待时间太久了？能否让游客等待时间太久了？过山车是按时间开还是人数一够就开？过山车是按时间开还是人数一够就开？57例例5某售票一切三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均到达速率某售票一切三个窗口，顾客的到达服从泊松分布，平均到达速率 = 0.9人人/min；售票时间服从负指数分布，平均效力速率售票时间服从负指数分布，平均效力速率= 0.4人人/min 。现设顾客到达后排成。现设顾客到达后排

33、成一队，依次向空闲的窗口购票，如下图。试分别用公式、一队，依次向空闲的窗口购票，如下图。试分别用公式、excel和仿真求解：和仿真求解：(1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率(2) 平均队列长和平均队长平均队列长和平均队长(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间(4)顾客到达后必需等待的概率顾客到达后必需等待的概率n3)58顾客到达和效力图顾客到达和效力图59解：解：这是一个典型的M/M/C 排队问题0.90.7513 0.4C0.90.4u (1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率0.92.250.4r1100!(1)nccnrrPnc012312.252.252.252

34、.2510!1!2!3!10.750.074860(2) 平均排队长度和平均队列长平均排队长度和平均队列长02!(1)cqrLpc322.250.750.07481.703!(10.75)1.702.253.95sqLLr(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间1.701.890.9qqLW111.894.390.4sqWWu61(4)顾客到达后必需等待的概率顾客到达后必需等待的概率n3)331nnPP nP 0!nrpn(0)nc01!nncr pccg()nc00.0748P 230(1)(12.252.531) 0.07480.4322nrPrP31 0.4320.568nP

35、62M/M/3仿真视频仿真视频63M/M/3 Excel求解求解64例例6 银行取号系统有用吗？银行取号系统有用吗？就例就例5，假设其他条件不变，顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列，假设其他条件不变，顾客到达后在每个窗口前各排一队，且进入队列后坚持不换，就构成后坚持不换，就构成3个队列，如以下图所示。试分别用公式、个队列，如以下图所示。试分别用公式、excel求解：求解：(1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率(2) 平均队列长度和平均队长平均队列长度和平均队长(3) 平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间(4)顾客到达后必需等待的概率顾客到达后必需等待的概率n3)65顾客到

36、达和效力图顾客到达和效力图66解：解：这是3个M/M/1同时效力的排队问题0.30.7510.4r0.30.4u (1) 整个售票所空闲概率整个售票所空闲概率(每个窗口空闲每个窗口空闲)011 0.750.25p (4)顾客到达必需等待的概率每个窗口顾客到达必需等待的概率每个窗口n1)1011 0.250.75npP 67(2) 平均排队长度和平均队列长平均排队长度和平均队列长0.30.752.250.40.3qLu2.250.753sqLLr(3)平均等待时间和逗留时间平均等待时间和逗留时间2.257.50.3qqLW3100.3ssLW3 3 9 系统（3个窗口）队长683个个M/M/1

37、Excel求解求解69结论：银行取号系统是有效的结论：银行取号系统是有效的指标指标数值数值排队长度排队长度1.70系统队长系统队长3.95平均排队时间平均排队时间1.89服务台空闲概率服务台空闲概率0.075顾客必须等待的概率顾客必须等待的概率0.57指标指标数值数值排队长度排队长度2.25系统队长系统队长9平均排队时间平均排队时间7.5服务台空闲概率服务台空闲概率0.25顾客必须等待的概率顾客必须等待的概率0.7570结论：银行取号系统是有效的结论：银行取号系统是有效的从这两个系统的主要目的比较可以看出混合排队比独立排队具有显著的优越性，从这两个系统的主要目的比较可以看出混合排队比独立排队具

38、有显著的优越性，这一点是在排队系统的排队方式的设计时应该留意的。这一点是在排队系统的排队方式的设计时应该留意的。71普遍结论：集中运用优于分散运用普遍结论：集中运用优于分散运用将资源组合在一同为一切的顾客提供效力，可以在等待时间不变的条件下，减少将资源组合在一同为一切的顾客提供效力，可以在等待时间不变的条件下，减少所需求的资源总量。假设是两列独立排队，那么客户能够要等那位指定的效力人所需求的资源总量。假设是两列独立排队，那么客户能够要等那位指定的效力人员提供效力，这位效力人员能够当时正忙得抽不开身，而另一位效力人员却闲着员提供效力，这位效力人员能够当时正忙得抽不开身，而另一位效力人员却闲着没事

39、干。在集中运用的系统中就不会出现这种景象。没事干。在集中运用的系统中就不会出现这种景象。大规模制造或效力设备的规模经济学大规模制造或效力设备的规模经济学在坚持同样利用率的情况下减少平均等待时间在坚持同样利用率的情况下减少平均等待时间 在坚持同样平均等待时间的情况下提高利用率在坚持同样平均等待时间的情况下提高利用率725 排队系统最优设计排队系统最优设计本钱分析本钱分析5.1 概述概述排队系统的最优设计和最优控制，即排队系统的最优化问题，其目的在于使排排队系统的最优设计和最优控制，即排队系统的最优化问题，其目的在于使排队系统到达最大效益或者说在一定目的下使排队系统最为经济。队系统到达最大效益或者

40、说在一定目的下使排队系统最为经济。73效力本钱与等待本钱的权衡本钱效益平衡效力本钱与等待本钱的权衡本钱效益平衡总本钱总本钱本钱本钱最正确才干最正确才干等待本钱等待本钱效力本钱效力本钱最小值最小值排队分析的目的是使顾客等待本钱与效力才干本钱这两项本钱之和最小排队分析的目的是使顾客等待本钱与效力才干本钱这两项本钱之和最小745.2 M/M/1模型中的最优效力率模型中的最优效力率u -1最正确效力才干是使总本钱最小化：最正确效力才干是使总本钱最小化：总本钱总本钱=顾客等候本钱顾客等候本钱+效力才干本钱效力才干本钱1wswssCuC uC LCz为时服务机构单位时间的费用为每个顾客在系统中逗即：留时间的费用/1SM MLu模型中 swzC uCu所以：755.2 M/M/1模型中的最优效力率模型中的最优效力率u -2swzC uCu0dzdu令20()swCCu即：所以所以M/M/1模型的最优效力率为：模型的最优效力率为：wsCuC76例例7设某效力机构，单效力台，顾客到达率为每小时设某效力机构，单效力台，顾客到达率为