2.1.一阶线性微分方程.ppt课件

1、 第七章第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程 1. 齐次微分方程的解法齐次微分方程的解法 2. 非齐次微分方程的解法非齐次微分方程的解法 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一阶线性微分方程标准形式:d( )( )dyP x yQ xx假设 Q(x) 0, 假设 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .称为齐次方程 ;一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程 ddyyxxx解解: 先解先解d,dyyxxddyxyx例例1. 解方程解方程分离变量得 积分得 1lnlnyxC即 yCx而非齐次方程的通解为 2yCxx 目录 上页 下页 返回 结束高等数

2、学高等数学 d( )0dyP x yx1. 解齐次方程分离变量d( )dyP xxy 两边积分得ln( )dlnyP xxC 故通解为 deP xxyC一阶线性微分方程标准形式:d( )( )dyP x yQ xx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 xxPCyd)(e对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解xxPCd)(e2. 解非齐次方程d( )( )dyP x yQ xx用常数变易法:,e)()()(xxPxuxyd那么xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作变换

3、xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(两端积分得 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解d20 ,d1yyxx即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即21yC x用常数变易法. 21yu xx那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为3222(1)(1)3yxxC令 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2. 解方程解方程 22d2cos.d11yxxyxxx解解: 先解先解2d2

4、,d1yxyxx 即2d2 d1yx xyx 积分得2lnln1ln,yxC 即21Cyx用常数变易法.2( )1u xyx代入非齐次方程得cosux 解得sinuxC故原方程通解为2sin1xCyx令 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 sincosexyyx解解: 先解先解dcos,dyyx yx 即dcos dyx xy 1lnsinyxC sinexyC sinexyu x代入非齐次方程得sinsineexxu解得uxCsinexCyx令练习练习 7-4 1.(3) 两端积分得 整理得 再用常数变易法求非齐次方程的通解， 故原方程通解为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高

5、等数学 2d222dyxyxx解解: 先解先解d,d2yyxx分离变量得dd2yxyx1lnln2yxC2yC x 2yu xx代入非齐次方程得2222u xx解得24uxxC224yxxxC令7-4 1.(9) 两端积分得 整理得 再用常数变易法求非齐次方程的通解， 故原方程通解为 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2d620dyyxyx解解:d13,d2xxyyy分离变量得dd3xyxy1ln3lnxyC3xCy 3xu y y代入非齐次方程得312u yy 解得12uCy2312xyCy令7-4 1.(10) 两端积分得 整理得 再用常数变易法求非齐次方程的通解， 故原方程通

6、解为 先变形为 一阶线性微分方程 先解 d3dxxyy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 d,dxxyy分离变量得ddxyx1ln xyCeyxC eyxu y代入非齐次方程得eyuy解得e dyuyy1eyxyC 令两端积分得 整理得 再用常数变易法求非齐次方程的通解， 故原方程通解为 d1.dyxxy例例3. 解方程解方程 解解: （法一）（法一） 变形为 先解 此为一阶线性微分方程 d,dxxydeyy ee dyyyy eeyyyC 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 ,xyu左右两端分别积分即可 d1.dyxxy例例3. 解方程解方程 解解: （法二）（法二）

7、设 分离变量得 此为可分离变量的微分方程 dd ,1uuxu那么 1,yu则原方程变为 11,uu 即 1uuu 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 d11dyxxy111,uu1uu ddu ux 212uxC 212xyxC 练习练习 7-4 7.(2) 分离变量得 两边积分得 u 代入得原方程通解为 ,xyu设 那么 1,yu 解解: 则原方程变为 即 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 lnlnxyyyxy7-4 7.(3) ln ,uuux ddlnuxuuxlnxyyxy原方程变形为 设 ,xyu解解: 则原方程变为 分离变量得 lnxyxyx可分离变量 两端积

8、分得 1ln lnlnuxC即 lnuCx即 ln xyCx1eCxyx或 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1. 一阶线性方程)()(ddxQyxPxy方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式CxxQyxxPxxPde)(e)()(dd2. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如, 解方程yxxy1ddyxyxdd, yxu, xuy1ddddxuxy法法1. 取取 y 作自变量作自变量: 线性方程 法法2. 作变换作变换 那么 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)

9、1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxy提示提示:xxyyydd1 可分离 变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 备用题备用题1. 求一连续可导函数求一连续可导函数)(xf使其满足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0提示提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f线性方程)esin(cos21)(xxxxf利用公式可求出 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2. 设有微分方程

10、设有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解: 1) 先解定解问题先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xyde1dde2Cxx)e2(e1CxxxCe21利用00 xy得21C故有) 10(e22xyx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2) 再解定解问题1,0 xyy11e22) 1 ( yyx此齐次线性方程的通解为) 1(e2xCyx利用衔接条件得) 1(e22C因此有) 1(e) 1(e2xyx3) 原问题的解为y10),e1 (2xx1,e) 1(e2xx) 10(e22xyx 目录 上页

11、下页 返回 结束高等数学高等数学 伯努利方程的标准形式:d( )( )0,1dnyP x yQ x ynxny以1d( )( )dnnyyP x yQ xx令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则d(1) ( )(1) ( )dzn P x zn Q xx求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 二、伯努利二、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1 yz2(ln )12ayx Cxxxd1(ln )eaxxxd1Cx d2(ln )2ax Cx代入, 得原方程通解: ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方