系统工程理论及方法_系统模拟

1、系统仿真系统仿真内容简介：内容简介： 系统模拟系统模拟（亦称系统仿真）是指通过建立和运行系统的数学（亦称系统仿真）是指通过建立和运行系统的数学模型，来模仿实际系统的运行状态及其随时间变化的规律，模型，来模仿实际系统的运行状态及其随时间变化的规律，以实现在计算机上进行试验的全过程。这是近以实现在计算机上进行试验的全过程。这是近30年来发展起年来发展起来的一门新兴技术学科。公共管理的对象通常是社会、经济、来的一门新兴技术学科。公共管理的对象通常是社会、经济、军事等复杂系统，一般都不能通过真实的实验来进行分析、军事等复杂系统，一般都不能通过真实的实验来进行分析、研究。因此，系统模拟技术就成为十分重要

2、甚至必不可少的研究。因此，系统模拟技术就成为十分重要甚至必不可少的工具。三种基本的模拟方法及其模型，即工具。三种基本的模拟方法及其模型，即蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法、排队排队模型、模型、系统动力学系统动力学模拟。通过蒙特卡洛（模拟。通过蒙特卡洛（Monte Carlo）模拟可以具体了解管理系统模拟的基本原理及方法，模拟可以具体了解管理系统模拟的基本原理及方法，排队模型体现了排队模型体现了离散事件系统模拟离散事件系统模拟的特点与规律，而系统动的特点与规律，而系统动力学模拟则是一种可以广泛应用于公共管理决策及政策分析力学模拟则是一种可以广泛应用于公共管理决策及政策分析的连续系统模拟方法的连续

3、系统模拟方法。 系统仿真概述系统仿真概述系统仿真概念系统仿真概念:又称系统模拟又称系统模拟,是用实际系统结合模拟的是用实际系统结合模拟的环境条件环境条件,或者用系统模型结合实际的环境条件或者用系统模型结合实际的环境条件,或者用系统或者用系统模型结合模拟的环境条件模型结合模拟的环境条件,利用计算机对系统的运行进行实利用计算机对系统的运行进行实验研究和分析的方法。验研究和分析的方法。目的：是力求在实际系统建成之前，取得近似于实际的目的：是力求在实际系统建成之前，取得近似于实际的结果。结果。作用：可以估计系统的行为和性能；可以了解系统各个作用：可以估计系统的行为和性能；可以了解系统各个组成部分之间的

4、相互影响，以及各个组成部分对于系统整体组成部分之间的相互影响，以及各个组成部分对于系统整体性能的影响；可以比较各种设计方案，以便获得最佳设计；性能的影响；可以比较各种设计方案，以便获得最佳设计；可以对一些新建系统的理论假设进行检验；可以训练系统的可以对一些新建系统的理论假设进行检验；可以训练系统的操作人员。操作人员。o 系统仿真根据模型不同：可以分为物理仿真、数学仿真和系统仿真根据模型不同：可以分为物理仿真、数学仿真和物理物理数学仿真（半实物仿真）；数学仿真（半实物仿真）；o 根据计算机的类别：可以分为模拟仿真、数字仿真和混合根据计算机的类别：可以分为模拟仿真、数字仿真和混合仿真；仿真；o 根

5、据系统的特性：可以分为连续系统仿真、离散系统仿真；根据系统的特性：可以分为连续系统仿真、离散系统仿真；o 根据仿真时钟与实际时钟的关系：可以分为实时仿真、欠根据仿真时钟与实际时钟的关系：可以分为实时仿真、欠实时仿真（实时仿真（比实际时钟慢比实际时钟慢 ）和超实时仿真等。）和超实时仿真等。 系统仿真分类系统仿真分类模型的分类模型的分类（1）物理模型）物理模型o 指不以人的意志为转移的客观存在的实体，如：飞指不以人的意志为转移的客观存在的实体，如：飞行器研制中的飞行模型；船舶制造中的船舶模型等。行器研制中的飞行模型；船舶制造中的船舶模型等。（2）数学模型）数学模型o 是从一定的功能或结构上进行相似

6、，用数学的方法是从一定的功能或结构上进行相似，用数学的方法来再现原型的功能或结构特征。来再现原型的功能或结构特征。 （3）仿真模型）仿真模型o 指根据系统的数学模型，用仿真语言转化为计算机指根据系统的数学模型，用仿真语言转化为计算机可以实施的模型。可以实施的模型。仿真模型仿真模型仿真方法仿真方法1、物理模拟：、物理模拟： 对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。对实际系统及其过程用功能相似的实物系统去模仿。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。例如，军事演习、船艇实验、沙盘作业等。 具有效果逼真，精度高等优点，但造价高或耗时长，大具有效果逼真，精度高等优点，但造价高或耗时长，大多在一些特

7、殊场合下采用（如导弹、卫星一类飞行器的动态多在一些特殊场合下采用（如导弹、卫星一类飞行器的动态仿真，发电站综合调度仿真与培训系统等），具有实时性、仿真，发电站综合调度仿真与培训系统等），具有实时性、在线的特点。在线的特点。 物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上物理模拟通常花费较大、周期较长，且在物理模型上改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物改变系统结构和系数都较困难。而且，许多系统无法进行物理模拟，如社会经济系统、生态系统等。理模拟，如社会经济系统、生态系统等。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常

8、需要作许多简化假设，与面临的实用分析方法建模常常需要作许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用。这时，这时，计算机模拟几乎成为唯一的选择。计算机模拟几乎成为唯一的选择。 在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计算机上进行的，称为计算机模拟。行的，称为计算机模拟。数学模拟数学模拟 计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和系数都比较容易。都比较容易。计算机

9、仿真的三要素及基本步骤计算机仿真的三要素及基本步骤1、三要素、三要素（1）系统：研究的对象）系统：研究的对象（2）模型：系统的抽象）模型：系统的抽象（3）计算机：工具与手段）计算机：工具与手段系统模型计算机建立仿真模型建立数学模型仿真实验结果分析图1 .1 计 算机仿真三要素关系图仿真技术的应用与发展仿真技术的应用与发展一、仿真技术在工程中的应用一、仿真技术在工程中的应用1、航空与航天工业、航空与航天工业n飞行器设计中的三级仿真体系：纯数学模拟（软件）、半飞行器设计中的三级仿真体系：纯数学模拟（软件）、半实物模拟、实物模拟或模拟飞行实验。实物模拟、实物模拟或模拟飞行实验。n飞行员及宇航员训练用

10、飞行仿真模拟器。飞行员及宇航员训练用飞行仿真模拟器。2、电力工业、电力工业n电力系统动态模型实验：电力系统负荷分配、瞬态稳定性电力系统动态模型实验：电力系统负荷分配、瞬态稳定性以及最优潮流控制等。以及最优潮流控制等。n电站操作人员培训模拟系统。电站操作人员培训模拟系统。3、原子能工业、原子能工业n模拟核反应堆模拟核反应堆n核电站仿真器用来训练操作人员以及研究异常故障的核电站仿真器用来训练操作人员以及研究异常故障的排除处理。排除处理。4、石油、化工及冶金工业、石油、化工及冶金工业5、非工程领域、非工程领域n医学医学n社会学社会学n宏观经济与商业策略的研究宏观经济与商业策略的研究应用仿真技术的意义

11、应用仿真技术的意义1、经济、经济n大型、复杂系统直接实验是十分昂贵的，如：空间飞行器的一大型、复杂系统直接实验是十分昂贵的，如：空间飞行器的一次飞行实验的成本约在次飞行实验的成本约在1亿美元左右，而采用仿真实验仅需其成亿美元左右，而采用仿真实验仅需其成本的本的1/101/5，而且设备可以重复使用。，而且设备可以重复使用。2、安全、安全n某些系统（如载人飞行器、核电装置等），直接实验往往会有某些系统（如载人飞行器、核电装置等），直接实验往往会有很大的危险，甚至是不允许的，而采用仿真实验可以有效降低很大的危险，甚至是不允许的，而采用仿真实验可以有效降低危险程度，对系统的研究起到保障作用。危险程度，

12、对系统的研究起到保障作用。3、快捷、快捷n提高设计效率：比如电路设计，服装设计等等。提高设计效率：比如电路设计，服装设计等等。4、具有优化设计和预测的特殊功能、具有优化设计和预测的特殊功能n对一些真实系统进行结构和参数的优化设计是非常困难的，这对一些真实系统进行结构和参数的优化设计是非常困难的，这时仿真可以发挥它特殊的优化设计功能。时仿真可以发挥它特殊的优化设计功能。n在非工程系统中（如社会、管理、经济等系统），由于其规模在非工程系统中（如社会、管理、经济等系统），由于其规模及复杂程度巨大，直接实验几乎不可能，这时通过仿真技术的及复杂程度巨大，直接实验几乎不可能，这时通过仿真技术的应用可以获得

13、对系统的某种超前认识。应用可以获得对系统的某种超前认识。离散事件系统仿真离散事件系统仿真n排队论排队论2022-5-4142022-5-4152022-5-4162022-5-4172022-5-418性态分布：性态分布：各排队系统的概率规律性（队长分各排队系统的概率规律性（队长分布，等待时间分布，忙期分布）布，等待时间分布，忙期分布）最优化问题：最优化问题：静态最优静态最优-最优设计最优设计 动态最优动态最优-排队系统的最优运营排队系统的最优运营排队系统的统计推断：排队系统的统计推断：判断排队系统属于哪一判断排队系统属于哪一种类型，以采用相应的理论进行分析种类型，以采用相应的理论进行分析20

14、22-5-41920 1）顾客源顾客源：有限有限/ /无限无限 2）顾客顾客到达：到达：成批成批/ /单单独独 3）顾客到达间隔时间顾客到达间隔时间：随机随机/ /确定确定 4）顾客到达顾客到达：相互独立即：相互独立即以前顾客的到达对以以前顾客的到达对以后顾客的到达无影响。后顾客的到达无影响。 5）输入过程输入过程：平稳的（平稳的（stationarystationary）或说是对）或说是对时间齐次的（时间齐次的（Homogeneous in timeHomogeneous in time），输入过程平输入过程平稳的指顾客相继到达的间隔时间分布和参数（均值、稳的指顾客相继到达的间隔时间分布和参

15、数（均值、方差）与时间无关。方差）与时间无关。 顾客的到达顾客的到达21(1)(1)损失制。损失制。服务台都已被先来的顾客占用，那么他服务台都已被先来的顾客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。们就自动离开系统永不再来。( (打电话打电话) ) 等待制。等待制。先到先服务先到先服务( (FCFSFCFS)/)/后到先服务后到先服务( (LCFSLCFS)/)/随机服务随机服务( (RANDRAND)/)/优先权服务优先权服务( (PRPR) )(2)(2)容量有限容量有限/ /无限无限(3)(3)队列单列队列单列/ /多列多列( (只讨论队列之间不互相转移，不只讨论队列之间不互相转移，不中途退

16、出中途退出) )服务台从队列中选取顾客进行服服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序务的顺序2022-5-4222022-5-4232022-5-4242022-5-42526 2)2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)3)服务时间分为确定型和随机型。服务时间分为确定型和随机型。 4)4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。27 上述特征中最主要的、影响最大的是：上述特征中最主要的、影响最大的是：n顾客相继到达的间隔时间分布顾客相继到达的间隔时间分布n服务时间的分布服务时间的分布n服务台数服务台数 D.G.

17、KendallD.G.Kendall，19531953提出了分类法，称为提出了分类法，称为KendallKendall记号记号( (适用于并列服务台适用于并列服务台) )即：即： X/Y/Z:d/e/f X/Y/Z:d/e/f28 X/Y/Z:d/e/f X到达间隔时间的分布。到达间隔时间的分布。 Y服务时间分布服务时间分布 Z并列的服务台数并列的服务台数 d排队系统容量限制排队系统容量限制 e顾客源数量顾客源数量 f排队规则排队规则 M负指数分布负指数分布(无记忆性，无记忆性，Markov性) D确定型分布确定型分布 EkK阶爱尔朗分布阶爱尔朗分布Erlang GI一般相互独立随机分布一般相

18、互独立随机分布(General Independent) G 一般随机分布。一般随机分布。如如 即为顾客到达为泊松过程，服务时间为即为顾客到达为泊松过程，服务时间为负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队负指数分布，单台，无限容量，无限源，先到先服务的排队系统模型。系统模型。29 求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统求解一般排队系统问题的目的主要是通过研究排队系统运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系运行的效率指标，估计服务质量，确定系统的合理结构和系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统参数的合理值，以便实现对现有系统合理改进和对新建系统

19、的最优设计等。统的最优设计等。 排队问题的一般步骤：排队问题的一般步骤： 1. 1. 队长队长系统中顾客数系统中顾客数期望值期望值LsLs 排队长排队长队列长度队列长度LqLq 系统中顾客数系统中顾客数( (队长队长)=)=队列中等待顾客数队列中等待顾客数( (排队长排队长)+)+（正（正被服务的顾客数）被服务的顾客数） LsLs，LqLq越大，服务率越低。越大，服务率越低。30 2 2. . 逗留时间逗留时间一个顾客在系统中停留时间一个顾客在系统中停留时间 期望值期望值 WsWs 等待时间等待时间一个顾客在系统中排队等待时间一个顾客在系统中排队等待时间 期望值期望值WqWq 逗留时间逗留时间

20、= =等待时间等待时间+ +服务时间服务时间 3 3. . 忙期忙期顾客到达空闲系统到系统再次空闲的时间长度顾客到达空闲系统到系统再次空闲的时间长度 服务人员的工作强度服务人员的工作强度 4.4.系统状态系统状态系统中顾客数系统中顾客数 31 状态概率状态概率Pn(t)：瞬态，过渡状态，表示在：瞬态，过渡状态，表示在t时刻系统状时刻系统状态为态为n的概率的概率nttnp)(plim 稳态的物理意义图，系稳态的物理意义图，系统的稳态一般很快都能统的稳态一般很快都能达到，但实际中达不到达到，但实际中达不到稳态的现象也存在。要稳态的现象也存在。要注意的是求稳态概率注意的是求稳态概率Pn并不一定求并不

21、一定求t的极限的极限,只需求只需求Pn(t)=0 。 过渡状态过渡状态 稳定状态稳定状态 pn t 排队系统状态变化示意图排队系统状态变化示意图称为稳态称为稳态(steady state)解，或称统计平衡状态解，或称统计平衡状态 (Statistical Equilibrium State)的解。的解。32 一个排队系统的最主要特征参数是一个排队系统的最主要特征参数是顾客的顾客的到达间隔时间分布与服务时间分布到达间隔时间分布与服务时间分布。要研。要研究到达间隔时间分布与服务时间分布需要究到达间隔时间分布与服务时间分布需要首先根据现存系统原始资料统计出它们的首先根据现存系统原始资料统计出它们的经

22、验分布，然后与理论分布拟合。经验分布，然后与理论分布拟合。33l经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进经验分布是对排队系统的某些时间参数根据经验数据进行统计分析行统计分析l依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合依据统计分析结果假设其统计样本的总体分布，选择合适的检验方法进行检验适的检验方法进行检验l当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假当通过检验时，我们认为时间参数的经验数据服从该假设分布。设分布。l分布的拟合检验一般采用分布的拟合检验一般采用2检验。若样本量检验。若样本量n充分大充分大(n50)，则当假设则当假设H0为真时，统计量总是近似地服从自为真时，统计量总

23、是近似地服从自由度为由度为k-r-1的的2分布，其中分布，其中k为分组数，为分组数，r为检验分布中为检验分布中被估计的参数个数。被估计的参数个数。34 式中：式中：fi实际频数实际频数 ni理论频数理论频数 *注意注意n要要足够大，足够大，npi不能太小。一般地不能太小。一般地n要大于要大于50，而分组的，而分组的npi应不小于应不小于5。n例题：某公共汽车站，统计来站的乘客流，规定例题：某公共汽车站，统计来站的乘客流，规定每隔每隔1 1分钟统计一次乘客到达情况，共统计分钟统计一次乘客到达情况，共统计100100次，次，其结果如表所示，问顾客是否服从普阿松流。其结果如表所示，问顾客是否服从普阿

24、松流。kiiiinpnpf122)() 1(22rk 当当 时，在显著水平时，在显著水平 下接受假设下接受假设H H0 035状 态 i012345678910 11 12实 际 频 数 fi1516 17 26 119921210 解：先估计分布的参数解：先估计分布的参数，由极大似然估计法得：，由极大似然估计法得：2 . 4x!ieixPi , ,并根据公式并根据公式 可计算出理论频率、理论频数及项可计算出理论频率、理论频数及项iinpf iiinpnpf2)( 见下页表所示见下页表所示2815. 6592.12) 6() 1(05. 0rk 查表知查表知: : 故可接受泊松分布假设。故可接

25、受泊松分布假设。36fipinpifi-npi(fi-npi)2/npi10.0151.550.0636.3-1.80.415160.13213.22.80.594170.18518.5-1.50.122260.19419.46.62.245110.16316.3-5.31.72390.11411.4-2.40.50590.0696.92.10.63920.0363.610.0171.720.0070.710.0030.300.0020.2-0.50.0385 =6.2815=6.2815 K-r-1=K-r-1= 8-1-18-1-12022-5-43738tnnenttP !)( 式中式中

26、为常数为常数(0)0)，称，称X X服从参数为服从参数为的泊松分布，的泊松分布，若在上式中引入时间参数若在上式中引入时间参数t t，即令，即令tt代替代替，则有：，则有： 在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变在概率论中，我们曾学过泊松分布，设随机变量为量为X，则有：，则有：!nenxPn n=0,1,2, （1） 与时间有关的随机变量的概率与时间有关的随机变量的概率，是一个，是一个随机过程随机过程，即即泊松过程泊松过程。 t0，n=0,1,2, （2）39)()(,1221ntNtNPttPn （t2t1，n0） 若设若设N(t)N(t)表示在时间区间表示在时间区间0,t)0,t)内到达的

27、顾客数内到达的顾客数(t0),P(t0),Pn n(t(t1 1,t,t2 2) )表示在时间区间表示在时间区间tt1 1,t,t2 2)(t)(t2 2tt1 1) )内有内有n(0)n(0)个顾客到达的概率。即：个顾客到达的概率。即： 在一定的假设条件下在一定的假设条件下 顾客的到达过程就是顾客的到达过程就是一个泊松过程。一个泊松过程。 当当P Pn n(t(t1 1,t,t2 2) )符合下述三个条件时，顾客到达过程符合下述三个条件时，顾客到达过程就是泊松过程就是泊松过程( (顾客到达形成普阿松流顾客到达形成普阿松流) )。40 无后效性：不相重叠的时间区间内顾客到达数无后效性：不相重叠

28、的时间区间内顾客到达数相相互独立互独立 平稳性：平稳性：即对于足够小的即对于足够小的tt，有：，有：)()(tttttP ，1普阿松流具有如下特性：普阿松流具有如下特性： 在在t,t+tt,t+t内有一个顾客到达的概率与内有一个顾客到达的概率与t t无关无关, ,而与而与tt成正比。成正比。 0 0 是常数，它是常数，它表示单位时间到达的顾客数，称表示单位时间到达的顾客数，称为概率强度。为概率强度。41 普通性：普通性：对充分小的对充分小的t,t,在时间区间（在时间区间（t,t+tt）内有内有2 2个或个或2 2个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小个以上顾客到达的概率是一高阶无穷小. . 由此知

29、，在由此知，在(t，t+t)t)区间内没有顾客到达的概率为：区间内没有顾客到达的概率为：)(-1),(0tottttP2)(),(nntotttP 即即42 在在00，t+tt+t内到达内到达n n个顾客应是上面三种互不相个顾客应是上面三种互不相容的情况之一，所以有：容的情况之一，所以有：)()()(1tPtPdttdPnnn)()()1)()(1tOttPttPttPnnnttOtPtPttPttPnnnn)()()()()(1(0)0nP （n n个顾客到达的概率）个顾客到达的概率）tnnenttP !)()(44 随机变量随机变量N(t)=N(s+t)-N(s)服从泊松分布。它的数学服从

30、泊松分布。它的数学期望和方差为：期望和方差为：ttNE)(tar)t(N(V 期望和方差相等是期望和方差相等是poisson分布的重要特性，可以利分布的重要特性，可以利用它对经验分布是否符合用它对经验分布是否符合poisson分布进行初步识别。分布进行初步识别。45 其概率密度函数为：其概率密度函数为：tTTedtdF)t(f t0t0 当输入过程是泊松流时当输入过程是泊松流时 两顾客相继到达的时间间隔独立两顾客相继到达的时间间隔独立且服从负指数分布且服从负指数分布 设设T为时间间隔，分布函数为为时间间隔，分布函数为FT（t），则：），则：FT（t）=PTt 此概率等价于在此概率等价于在0，t

31、）区间内至少有）区间内至少有1个顾客到达的概率。个顾客到达的概率。tTetPtF 1)(1)(0 t0t0tetP)(0 没有顾客到达的概率为：没有顾客到达的概率为：46 表示单位时间内顾客平均到达数。表示单位时间内顾客平均到达数。 1/表示顾客到达的平均间隔时间。表示顾客到达的平均间隔时间。 可以证明，间隔时间可以证明，间隔时间T T独立且服从负指数分布与独立且服从负指数分布与顾客到达形成泊松流是等价的。顾客到达形成泊松流是等价的。对顾客的服务时间对顾客的服务时间 ：系统处于忙期时系统处于忙期时两顾客相继离两顾客相继离开系统的时间间隔开系统的时间间隔，一般也服从负指数分布，设：，一般也服从负

32、指数分布，设： 即即T服从负指数分布，它的期望及方差为：服从负指数分布，它的期望及方差为： 1TE21 TVar服务时间的分布：服务时间的分布：47其中：其中：表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均表示单位时间内能被服务的顾客数，即平均 服务率。服务率。 1/ 1/表示一个顾客的平均服务时间。表示一个顾客的平均服务时间。tetF 1)(tetf )( ，则，则 令令 ，则，则称为服务强度称为服务强度。性质：性质：PTt+s | Ts=P Tt ,称为无记忆性或马尔称为无记忆性或马尔科夫性。即若科夫性。即若T表示排队系统中顾客到达的时间间隔，表示排队系统中顾客到达的时间间隔，则说明不管系统等待顾

33、客时间过了多久，剩余的等待则说明不管系统等待顾客时间过了多久，剩余的等待时间仍符合负指数分布。时间仍符合负指数分布。48 设设v1, v2，, vk是是k个独立的随机变量，服从相同参数个独立的随机变量，服从相同参数 k 的负的负指数分布，那么：指数分布，那么：kT 21011 te)!k()kt(k)t (ftkkk 则称则称T服从服从k阶阶爱尔朗分布。其特征值为：爱尔朗分布。其特征值为： 1TE21 kTVar ,其概率密度是其概率密度是1/ k1/ k表示一个顾客一个服务台的平均服务时间。表示一个顾客一个服务台的平均服务时间。49 串列串列k k个服务台个服务台，每台服务时间相互独立，服从

34、，每台服务时间相互独立，服从相同负指数分布（参数相同负指数分布（参数k k ），那么一顾客走完），那么一顾客走完k k个服个服务台总共所需要服务时间服从上述务台总共所需要服务时间服从上述k k阶阶ErlangErlang分布。分布。50 例例: :有易碎物品有易碎物品500500件件, ,由甲地运往乙地由甲地运往乙地, ,根据以根据以往统计资料往统计资料, ,在运输过程中易碎物品按普阿松流发在运输过程中易碎物品按普阿松流发生破碎生破碎, ,其概率为其概率为0.002,0.002,现求现求:1.:1.破碎破碎3 3件物品的概件物品的概率率;2.;2.破碎少于破碎少于3 3件的概率和多于件的概率和

35、多于3 3件的概率件的概率;3.;3.至至少有一件破损的概率少有一件破损的概率. . 解解: : =0.002500=1 1 1破碎破碎3 3件物品的概率为件物品的概率为: : P(k=3)=( P(k=3)=( 3 3/3/3！)e)e- - =(1=(13 3/3/3！)e)e-1-1=0.0613=0.0613 即物品破碎即物品破碎3 3件的概率为件的概率为6.136.13 2. 2.破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率件的概率: :51 破碎物品少于破碎物品少于3 3件的概率为件的概率为91.9791.97 破碎物品多于破碎物品多于3 3件的概率为件的概率为: : 02. 098.

36、01!1330 kkekp 3.3.至少有一件破碎的概率为至少有一件破碎的概率为 Pk Pk 1=1-(11=1-(1k k/k!)e/k!)e- - =1-(1=1-(10 0/0!)e/0!)e-1-1=0.632=0.632 9197. 021112120 eeknp52单服务台负指数分布排队系统的分析单服务台负指数分布排队系统的分析n输入过程是Poisson过程，服务时间服从负指数分布，单服务台排队系统：qM/M/1/qM/M/1/N/ 系统容量有限qM/M/1/m 顾客源有限2022-5-4532022-5-4542022-5-4552022-5-4562022-5-4572022-

37、5-458二、二、M/M/1/ NM/M/1/ N 模型模型 ：顾客相继到达时间服从参数为顾客相继到达时间服从参数为 的负指数分布；的负指数分布； 服务时间服从参数为服务时间服从参数为 的负指数分布；的负指数分布； 服务台数为服务台数为1 1； 系统的空间为有限，最大容量系统的空间为有限，最大容量N N。2022-5-4591 1、 稳定状态下，系统中有稳定状态下，系统中有n n个顾客的概率个顾客的概率nP012N-1N。1110111,)(NNnnnppNnppppp2022-5-460由由 及上述差分方程可解得：及上述差分方程可解得： 10NnnP) 1(/,1111110nNnNPP单位

38、时间内的平均到达率单位时间内的平均到达率 )1 (NeP单位时间内的平均单位时间内的平均有效到达率有效到达率 系统中有系统中有N N个顾客时，到达率为个顾客时，到达率为0 0，只有在少于，只有在少于N N个顾客时个顾客时到达率才有意义。到达率才有意义。 还可验证还可验证 )1 (0Pe2022-5-4612 2、系统运行指标系统运行指标1N1NN1nns1) 1N(1nPL)1 () 1(01PLPnLSNnnq)P1 (LLW0SeSs1WWsq2022-5-462例、例、单人理发店有六张椅子接待客人排队理发，当单人理发店有六张椅子接待客人排队理发，当6 6张椅张椅子坐满时，后来的顾客就不进店，随即离开，顾客平子坐满时，后来的顾客就不进店，随即离开，顾客平均到达率均到达率3 3人人/ /小时，理发平均需时小时，理发平均需时1515分钟，求：分钟，求： 1 1、求顾客一到达就能理发的概率；、求顾客一到达就能理发