函数极限与连续性 - 22 函数的极限(上)

1、第二章第二章 函数与极限函数与极限2.2函数的极限（上）一、函数的极限一、函数的极限( ),yf x对0(1) xx0(2) xx0(3) xx(4) x (5) x (6) x 自变量变化过程的六种形式:二、函数极限存在的性质二、函数极限存在的性质本节内容本节内容 :三、函数极限运算法则三、函数极限运算法则一、函数的极限的定义一、函数的极限的定义1. 0 xx时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:0;x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求2xA确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx定义定义1 .1 . 设函数( )f x在点0 x的某去心邻域内

2、有定义 ,0,0,当00 xx时, 有( )f xA则称常数 A 为函数( )f x当0 xx时的极限,0lim( )xxf xA或0( )()f xAxx当即0,0,当0(,)xU x时, 有若记作( )f xA0lim( )xxf xA极限存在函数局部有界(P47定理3) 这表明: AA几何解释几何解释:OAx0 xy( )yf x例例1. . 证明1lim(21)1.xx证证:( )f xA(21)1x21x欲使0,取,2则当01x时, 必有( )(21)1f xAx因此( ),f xA只要1,2x1lim(21)1xx例例2. . 证明211lim2.1xxx证证:( )f xA212

3、1xx12x 故0,取,当01x时, 必有2121xx因此211lim21xxx1x例例3. 证明: 当00 x 证证:( )f xA0 xx001xxx欲使0,且0.x 而0 x 可用0 xx因此( ),f xA只要00,xxx00limxxxx00lim.xxxx时00 xxxx故取00min,xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有Ox0 xx2. 左极限与右极限：单侧极限左极限 :0()f x0lim( )xxf xA0,0,当00(,)xxx时, 有( ).f xA右极限 :0()f x0lim( )xxf xA0,0,当00(,)xxx时, 有( ).f xA定理定理 1 .

4、0lim( )xxf xA00lim( )lim( )xxxxf xf xAXXAAOxy( )yf xA定义定义2 . 设函数( )f xx当大于某一正数时有定义,若0,X,( ),xXf xA当时 有则称常数时的极限,lim( )xf xA)()(xAxf当或几何解释几何解释:( )Af xAxXxX 或记作直线 y = A 为曲线( )yf x的水平渐近线 .0,( )f xx 当A 为函数3. 时函数的极限x 例例4. . 证明1lim0.xx证证:10 x1x取1,X,xX当时10 x因此1lim0 xx注注:就有故0,欲使10,x只要1,x10.yyx为的水平渐近线Oxy1yxOx

5、y1x11x11( ),( )1f xg xxx直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .另外两种情况另外两种情况 :单侧极限单侧极限lim( )xf xA0,0,X当时, 有( )f xA0,0,X当xX 时, 有( )f xA几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线0;y ( )12 ,( )12xxf xg x 都有水平渐近线1.y 又如，Oxy12x12xxXlim( )xf xA二、函数极限的相关性质二、函数极限的相关性质定理定理 2 . （唯一性）若极限 存在， 则它的极限是唯一的。0 x000,xxx 其中lim( )xf x定理定理3. （局部有界性）若 存在

6、，则 0lim( )xxf x0,M00,0 |xx当时， 有|( )|.f xM推论推论2. 若推论推论1. （保号性）若定理定理4. （保序性）若00lim( ), lim( ),xxxxf xabg xab且00,0 |xx当且时， 有( )( ) ,f xg x0lim( ),0,xxf xaa且00,0 |xx则当时， 有(.0)f x 00lim( ), lim( ),xxxxf xag xb00,0 |xx则当时， 有( )( ).f xg x.ab则思考与练习思考与练习1. 若极限0lim( )xxf x存在,00lim( )()xxf xf x2. 设函数( )f x 且1l

7、im( )xf x存在, 则 .a 3是否一定有2,121,1axxxx？三、三、函数极限运算法则函数极限运算法则定理定理5: （四则运算法则）00lim( ), lim( ),xxxxf xag xb设则000(1) lim( )( );(2) lim( )( );( )(3)0, lim.( )xxxxxxf xg xabf xg xabf xabg xb当时说明说明: 定理 5 可推广到有限个函数的情形 .推论推论 1 .lim( )lim( )C f xCf x( C 为常数 )推论推论 2 .lim ( )lim( )nnf xf x( n 为正整数 )例例5. 设 n 次多项式01( ),nnnP xaa xa x试证00lim( )().nnxxP xP x证证:0lim( )nxxP x0a01limxxax0limnnxxax0()nP x例例6. 求222lim.4xxx解解:22211=limlim(2)(2)(2)4xxxxxx原式定理定理6: （复合运算法则）00lim ( ),(, ) ( ),lim( )( ),xxuaxaxU xfxf uAxa设当时有定义且若则有0lim ( )lim( ).xxuafxf uA证证: lim( )uaf uA0, 0,当0ua时, 有( )f uAaxxx)(lim00,