一般课程函数的极限

1、 牛牛文库第一章 函數的導數與微分§1-1函數的極限與連續(甲)函數極限的概念(1)以求瞬時速度為例：位移函數：，求v(2)=？ 2秒與(2+t)秒的平均速度= = = =t+4 2秒與(2+t)秒的瞬時速度=當t趨近於0時，2秒與(2+t)秒平均速度的極限值 = =(t+4)=4=v(2)(2)以函數圖形為例：(2,4)(2,6)設f(x)=，求f(x)=？觀察點(2,4)附近y=f(x)的圖形上的點P(x,f(x)，當點P逐漸靠近(2,4)時，y會接近4因此f(x)=4，但此時f(2)¹4。此時可以得知極限值與函數值並不相關。例題1 f(x)之圖形如右：求f(x)=例題

2、2 設g(x)= (x¹0)，試問：當x趨近0時，函數值g(x)是否會趨近一個定值？例題3 設h(x)= (x¹0)，試問當x趨近0時，函數值h(x)是否會趨近一個定值？ y=f(x) l a(3)函數極限值的定義：(a)設f(x)為一函數，若x從a的左右兩邊趨近a(但x¹a)時， 則函數f(x)非常趨近一確定的實數l，就稱x趨近a時(x®a)時 ， 函數f(x)的極限為l(f(x)®l)。符號記為：。 不一定存在，但若存在，其值必唯一。由圖形來說：考慮點P(x,f(x)，當x趨近a時，點P(x,f(x)會趨近點(a,l)，則(b)理論上的定義

3、： Û 給定一個正數e，可以找到一個正數d=d(e)，使得當x滿足0<|x-a|<d，|f(x)-l|<e(4)函數值與極限值：在中(a)函數f(x)在x=a處不一定有意義。(b)即使f(a)有定義，當x®a時，f(x)也不一定趨近於f(a)。 換句話說，當x®a時，f(x)之極限值並不依賴函數f在點x=a的函數值。例題4 請用理論上的定義證明：=4。(練習1) 請利用理論上的定義，證明：=。(練習2) 設f(x)=(1)請問f(0)是否有意義？ (2)f(x)是否存在？Ans：(1)無意義 (2)1(乙)函數極限的四則運算若，c為一常數，則(1

4、)s+t(2)c×s(3)st(4)若， = 注意：即使存在，但不一定存在。例如：f(x) =，g(x)= (f(x)+g(x)=0但f(x)，g(x)不存在。用理論的定義證明：例題5 若(f(x)+g(x)=6，f(x)- g(x)=2，求f(x)g(x)=？Ans：8(丙)極限的求法(1)直接代入法：假定我們要計算f(x)，其中的f(x)是由多項式、有理式或根式經過加、 減、乘、除等四則運算而成的函數，只要把f(x)中的x以a代入，不會出現分母為0 這種無意義的情形則f(x)=f(a)。例題6 (1)(2)(3)=? (4)Ans：(1) 1 (2)1 (3) (4)5(2)若代

5、入出現、0´¥這種沒意義的結果，則必須將函數作適當的變形，變形的目的，就是要使它不再出現的結果。通常以下列兩種方法求極限：(a)把分子分母的公因式約去，再代入。(b)把分子或分母有理化，約去使分母為0 的式子，再代入。例題7 (1) =？(2)=？(3)=？ Ans：5， ，6(練習3) (1)x-x=？ (2)(x-1)(x-3)=？ (3)=？Ans：(1)0 (2)-1 (3)-2(練習4) (1)(2)(3) Ans：-3，12，-10例題8 (分式合項再約公因式)(+)=？ Ans：例題9 (分母、分子有理化，再代入)(1)(2) (3) Ans：(練習5) 求下

6、列函數的極限：(1)(-) (2)() (3) (4) (-) Ans：(1) (2) (3) (4)(練習6) (1)若，則求a=?,b=? Ans：a=3,b=2(2)若，則a=?,b=? Ans：a=3,b=-10(練習7) 試定a,b之值：(1)=3 (2) =2 Ans：(1)a=,b= (2)a=4,b=8(3)夾擊原理：設c是開區間(a,b)內的一個定點，如果f(x)、g(x)、h(x)在(a,b)內滿足下列條件： (1°)f(x)£g(x)£h(x) (2°)f(x)=L=h(x)則g(x)=L。證明：例題10 設f(x)=xsin (x

7、¹0)，請求出f(x)=？ Ans：0(練習8) 請求出(x2+1)sin=？ (丁)左右極限與連續(3,5)(3,1)(3,7)(1)左右極限： x®a+：x>a且x®a x®a-：x<a且x®a f(x)在x=a 的右極限為；f(x)在x=a 的左極限為 左右極限與極限的關係：例如：如右圖： f(x)=5，f(x)=1，f(x)=5¹1=f(x)，故f(x)不存在。(2)連續的定義：(1°)若下列三個條件都滿足：(a)f(a)有定義 (b) f(x)存在 (c) f(x)=f(a)則稱f 在點a連續。(2&#

8、176;)若f在(a,b)內的每一點都連續，則稱f(x)在(a,b)上連續。(3°)設f定義在閉區間a,b， 若f在(a,b)上連續；f(x)=f(a)；f(x)=f(b) 則稱f在a,b上連續。例題11 (1)說明f(x)在x=3連續，且為一個連續函數。(2)，說明f(x)在x=a，連續，在x=1不連續。例題12 (1) ，試問f(x)在x=0是否連續?(2)，試問f(x)在x=,x=1兩處是否會連續?(3)f(x)= ，請問f(x)在x=0連續嗎？一個函數f(x)在x=a處不連續，其不連續點概略可分成以下幾類：(1)函數f 在x=a處未定義。(2)函數值f(x)在x=a處的極限不

9、存在。(例題12(1)(3)(3)函數值f(x)在x=a處的極限存在，但其極限值不等於f(a)。(例題11(2)(練習9) 設，試求，並問f(x)在x= -2處是否連續。Ans：12，連續(練習10) 有一函數f(x)=，若f(x)在x= -3連續，則a=？Ans：a=-6(練習11) 設f(x)=，請問f(x)是連續函數嗎？ Ans：連續函數(3)連續函數的性質：(a)若函數f(x)、g(x)在x=a處連續，b是常數，則下面的四則運算： (1°)f(x)±g(x) (2°)f(x)×g(x) (3°) (g(a)¹0) (4

10、6;)b×f(x) 在x=a處連續。(b)若設函數g(x)在x=a連續，且函數f(x)在g(a)點連續， 則合成函數(fg)(x)=f(g(x)在x=a也連續。(戊)基本初等函數的連續性這裡所稱的基本函數可以分成以下五類：冪函數：y=xa，(a是實數)指數函數：y=ax (a>0，且a¹1)對數函數：y=logax (a>0，且a¹1)三角函數：y=sinx，y=cosx,y=tanx,y=cotx，y=secx,y=cscx反三角函數：y=sin-1x，y=cos-1x,y=tan-1x,y=cot-1x，y=sec-1x,y=csc-1x將基本函數

11、和常數經過有限次四則運算、合成而得出的函數，統稱為初等函數。(1)一個重要極限的證明：(a)先證明，則。證明：(1°)先設是正數，在右圖中，有向角ÐAOB=x弧度，直線AC與圓相切於A，O,B,C共線。由圖形：DABC<扇形AOB<DAOC故sinx<x<tanx，因為sinx,tanx均為正，故。(2°)若<x<0，則0<-x<，由上面的證明：sin(-x)<-x<tan(-x) 故。(b)由(a)，因為，且。 故 ，且。 因為，故又，故。由夾擠原理：，因此可得例題13 求下列極限：(1) (2) An

12、s：(1)1 (2)(練習12) 求下列極限：(1) (2) (3) (4) Ans;(1) (2) (3)1 (4)2 (2)sinx、cosx的連續性： 設f(x)=sinx，a為任意實數，|f(x)-f(a)|=|sinx-sina|=|2cossin|£2|sin| 當x很接近a時，|f(x)-f(a)|£ 2|sin|£2×=|x-a| 根據夾擠原理 Þ|f(x)-f(a)|=0 Þf(x)=f(a)。 所以f(x)=sinx為連續函數。 利用類似的方法亦可證明，g(x)=cosx為連續函數。例題14 (1)請證明：=(a為

13、正數)。(2)請證明：f(x)=為R上的連續函數。(練習13) 利用函數f(x)在x=a連續的定義證明：f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0在R中的每一點都連續。(用極限的四則運算)(練習14) 請證明：四個三角函數(y=tanx,y=cotx，y=secx,y=cscx)在其定義域上均為三角函數。(練習15) 請利用函數的基本性質說明下列兩函數在其定義域是連續的：(1)f(x)= ，(-1,1) (2)g(x)=|x2-1|，R結論：基本初等函數在其定義域上是連續的。(己)中間值定理 11f(b)kc1=c2c3若函數y=f(x)是一個連續函數，其圖形y=f(x)是一條連續

14、函數。反過來說，當f是一個定義在a,b上的連續函數，對於任一個介於f(a)與f(b)之間的實數k而言，在區間a,b內是否存在一個數c，使得f(c)=k？答案是：YES！中間值定理：設f是a,b上的連續函數，且f(a)¹f(b)，若k是任意一個介於f(a)與f(b)之間的實數，則在a,b內至少有一點c，使得f(c)=k。例題15 利用中間值定理證明勘根定理：設f是a,b上的連續函數，若f(a)f(b)<0，則至少存在一個cÎa,b，使得f(c)=0。(練習16) 設f(x)=x，因為f(1)=1，f(3)=3，所以1,3內存在一個c使得f(c)=2.5。此說法是否正確？

15、試說明之！(練習17) 請證明：方程式x3+2x-1=0在0,1內恰有一實根。綜合練習1. 請利用理論上的定義證明：若f(x)=L，則|f(x)|=|L|。2. 利用理論上的定義證明以下兩個函數的極限：(1) = (2) =3Oaabf(a)OO3. 於下列各函數圖形中，求f(x)(1) (2) (3) Ans：(1)f(a) (2)b (3)不存在4. 求下列各函數的極限：(1) (2)(-1) (3)() Ans：(1)不存在 (2)11 (3)1-5. 求下列各函數的極限：(1)? (2)?(3)? (4)?Ans：(1)3 (2) (3) (4)-276. 求下列各函數的極限：(1) (m,n正整數) (2) (3) (4) Ans：(1) (2) (3)1 (4)cosa7. (1)若，則a=?，b=?(2)若，則a=?，b=? Ans：(1)-3,-2 (2)3,18. 設x表示高斯函數，求下列各極限值(1)x (2) (3) Ans：(1)3 (2)1 (3)09. 設試求f(x)，並問f(x)在x=-2處是否連續? Ans：(1)12