精品课件 1.5定积分概念

1、1.5.1 定积分概念定积分概念一.引例曲边梯形面积曲边梯形:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？abxyo? A1 1 面积问题面积问题曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法

2、解决了相当复杂的图形的面积的计非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题算问题。思想方法（想象圆的面积的求法）abxyoabxyo用矩形面积用矩形面积近似取代近似取代曲边梯形面积曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思路解决问题的基本思路：变变“曲曲”为为“直直”思想方法（想象圆的面积的求法）（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条在区间a,b中任取若干分点：bxxxxxxxannii11210把曲边梯形的底a,b等等分成n个小区间：), 3 , 2 ,

3、1(1nixxxii的长度记为小区间,1iixx 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为iAxy0y=f(x)0 xa1x3x1ixix1nxbxn2x（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形xfAfxfxxxxiiiiiiiii)()(,).(),11曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小的小矩形长用相应的宽为它所对应的函数值是上任取一点底在第i个小曲边梯形的为（xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式xfnii)(1它

4、就是曲边梯形面积A的近似值，即.)(1xfAniixy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。小区间长度最大值趋近于零，即 0 xfnii)(1xxfnii)(1和式 的分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积A，当极限就是A，即xfAniix)(lim10可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()例例2 2 路程问题路程问题 设某质点作直线运动，速度设某质点作直线运动，速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21TT上上t的一个连续函数，求物

5、体在这的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程段时间内所经过的路程. . 把整段时间分割成若干小时间段，每小段把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值对于匀速运动，我们有公式对于匀速运动，我们有公式路程路程= =速度速度X X时间时间解决变速运动的路程的基本思路解决变速运动的路程的基本思路（1 1）分割）分割212101TtttttTnn 1iittttvsii)(（3 3）作和）作和t

6、vsini)(1（4 4）取极限）取极限tvsniit)(lim10路程的精确值路程的精确值(2) (2) 取点取点ti三、定积分的定义三、定积分的定义定义：定义： 设函数设函数y=f(x)在区间在区间a,b上有定义。在区间上有定义。在区间 a,b中任取分点中任取分点,113210bxxxxxxxxannii将区间将区间a,b等分成等分成n个小区间个小区间 ，其长度为，其长度为1iixx，的和式：乘积作上，任取一点，在每个小区间), 2 , 1()()(11nixfxxxxiiiiiii1iixxx), 2 , 1ni（.)(1xfnii,)(dxxfbadxxfxfbaniix)()(lim

7、10如果不论对区间如果不论对区间a,b采取何种分法及采取何种分法及 如何选取，当如何选取，当n个小区间的长度最大的趋于零，即个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和时，和式（式（1）的极限存在，则称函数）的极限存在，则称函数f(x)在区间在区间a,b上上可积可积，并称此极限值为函数并称此极限值为函数f(x)在区间在区间a,b上的上的定积分定积分，记作，记作0 xi即即（1）注意注意 baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有ba

8、babaduufdttfdxxf)()()(4规定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfbadxxf)(是一个和式的极限 是一个确定的常数注：2 .当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)a,bx曲边梯形由连续曲线曲边梯形由连续曲线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成. . badxxfAbaxfA)( ,)(即即上上的的定定积积分分，在在区区间间等等于于函函数数其其面面积积abxyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积 baAdxxf)(, 0)( xf baAdxx

9、f)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值abxyooyabx几何意义几何意义 积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)(1A2A3A321)(AAAdxxfba xyo badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1 babadxxfkdx

10、xkf)()( (k为为常常数数).性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.注意注意：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立.cba,性质性质3 3性质：性质：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf补充:与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关 )(xfy 在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.223sin tdt中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2. 及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为 12 xy与直线3, 1xx 由曲线举例dxx)

11、 1(2312-2-2,20A222) 1(dxx3.定积分应用例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(0)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(21)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1积为义，可得阴影部分的面根据定

12、积分的几何意上连续，且，在）在图中，被积函数（, 0)(1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1ab拓展：拓展：)(abkkdxba可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图中，被积函数（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例2

13、：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数, 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1xdxxdxcos, 1cos2220求已知练习：证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中令中令tx , 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：0sin20 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x21 20

14、xy=f(x)y=g(x)aby例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等等分分，分分点点为为nixi ，(ni, 2 , 1 ) 小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，( (ni, 2 , 1 ) ) 取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx (1) 分割分割（2）取点取点（3）求和求和nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nnnx0dxx 102xinix210lim nnn121161lim.31 （4）求极限求极限例例2dxx 102

15、1计计算算积积分分义义知知，该该积积分分值值等等于于解解：由由定定积积分分的的几几何何意意的的面面积积（见见下下图图）所所围围及及轴轴，曲曲线线10,12 xxxxyx1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的4141102 dxx所所以以 定积分的实质定积分的实质 ：和式的极限：和式的极限 定积分的思想方法：定积分的思想方法：求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限取点、求和取点、求和积零为整积零为整分割分割化整为零化整为零取极限取极限精确值精确值定积分定积分小结dxxfxfbaniix)()(lim10是一个确定的是一个确定的常数，常数，只只与与区间和函数区间和函数有有关关dxxfba)(. 1A-A0)(xf0)(xfA A表示以表示以y=f(X)y=f(X)为曲边的曲边梯形面积为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0 xxyy00AA3.3.几何意义几何意义321)(AAAdxxfba则2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图3.结论：的代数和表示积的值都可用曲边梯形面dxxfba)(几何意义abxyy=f(x)2A1A3A0