模糊数学建模方法

1、123模糊数学的概念l处理现实对象的数学模型确定性数学模型:确定性或固定性,对象间有必然联系.随机性数学模型:对象具有或然性或随机性模糊性数学模型:对象及其关系均具有模糊性.l随机性与模糊性的区别随机性:指事件出现某种结果的机会.模糊性:指存在于现实中的不分明现象.l模糊数学:研究模糊现象的定量处理方法.4 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的没有价值的. . 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好要好. . 例如例如, ,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子大胡子高个

2、子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”. . 尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他男人，而其他信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人脑的综合分析判断，就可以接到这个人. . 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学

3、、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用应用. .5模糊数学研究和处理模糊性现象的数学 （概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题（一）模糊分类问题已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确模糊相似选择 按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比较的性质具有边界不分明的模糊性6模糊聚类分析根据研究对象本身的属性构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系 模糊层次分析法两两比较指标的确定模糊综合评判综合评判就是对受到多个因素制约的事物或对象作出一

4、个总的评价，如产品质量评定、科技成果鉴定、某种作物种植适应性的评价等，都属于综合评判问题。由于从多方面对事物进行评价难免带有模糊性和主观性，采用模糊数学的方法进行综合评判将使结果尽量客观从而取得更好的实际效果 7经典集合经典集合 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明, ,即一个元素即一个元素x要么属要么属于集合于集合A( (记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合( (记作记作x A) )，二者必居其一二者必居其一. . 集合的表示法：集合的表示法： (1)(1)枚举法，枚举法，A= x1 ,

5、 x2 , xn ； (2)(2)描述法，描述法，A= x | P(x). A B 若若x A，则则x B； A B 若若x B，则则x A； A=B A B且且 A B. .8 集合集合A的所有子集所组成的集合称为的所有子集所组成的集合称为A的幂集，的幂集，记为记为 (A).并集并集AB = x | x A或或x B ；交集交集AB = x | x A且且x B ；余集余集Ac = x | x A . .集合的运算规律集合的运算规律 幂等律：幂等律： AA = A， AA = A； 交换律：交换律： AB = BA， AB = BA； 结合律：结合律：( AB )C = A( BC )， (

6、 AB )C = A( BC )； 吸收律：吸收律： A( AB ) = A，A( AB ) = A；9分配律：分配律：( AB )C = ( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；0-10-1律：律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ；还原律：还原律： (Ac)c = A ；对偶律：对偶律： (AB)c = AcBc，(AB)c = AcBc； 排中律：排中律： AAc = U， AAc = ；U 为全集，为全集， 为空集为空集.集合的直积：集合的直积： X Y = (x , y )| x X , y Y .10模糊子集与隶属函数模糊

7、子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的的隶属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的隶属程度的隶属程度. 使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点最的过渡点，此点最具模糊性具模糊性. 当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典子可见经典子集就是模糊子集的特殊情形集就是模糊子集的特殊情形.11 例例 设论域设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (1

8、60), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为140190140)(xxA100200100)(xxB也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxB12还可用向量表示法：还可用向量表示法：A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1). 另外，还可以在另外，还可

9、以在U上建立一个上建立一个“矮个子矮个子”、“中等个子中等个子”、“年轻人年轻人”、“中年人中年人”等模糊等模糊子集子集. . 从上例可看出：从上例可看出： (1) (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集一个有限论域可以有无限个模糊子集, ,而经典子集是有限的；而经典子集是有限的； (2) (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的主观的. . 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法的方法. .13 例例 设论域设论域U =

10、x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身高，表示人的身高，那么那么U上的一个模糊集上的一个模糊集“高个子高个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA也可用也可用Zadeh表示法：表示法：65432118 . 06 . 04 . 02 . 00 xxxxxxA6543219 . 08 . 06 . 042. 02 . 015. 0 xxxxxxA14 如：考虑年龄集如：考虑年龄集U=0,100U=0,100，A=“A=“年

11、老年老”，A A也是一个年龄集，也是一个年龄集，u = 20 u = 20 A A，40 40 呢？呢？查德给出了查德给出了 “ “年老年老” ” 集函数刻画集函数刻画: :10050)550(1 (5000)(12uuuuA10U5010015再如，再如，B= “= “年轻年轻”也是也是U的一个子集，只是不的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：德给出它的隶属函数：10025)525(1 (2501)(12uuuuB102550UB（u）16模糊集的运算模糊集的运算相等相等：A = B A(x) = B(x)；包含

12、包含：A B A(x)B(x)；并并：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac的隶属函数为的隶属函数为Ac (x) = 1- - A(x).17 例例 设论域设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集： A =“商品质量好商品质量好”， B =“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好

13、”, Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见可见Ac B, Bc A. 又又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .18模糊集的并、交、余运算性质模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA = A， AA = A；交换律：交换律：AB = BA，AB = BA；结合律：结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A( AB)= A

14、； 分配律：分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)；0-10-1律：律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；还原律：还原律： (Ac)c = A ；19对偶律：对偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； 对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的 x U (论域论域)， (AB)c(x) = 1 - - (AB)(x) = 1 - - (A(x)B(x) = (1 - - A(x)(1 - - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x) 模糊集的运算性质基本上与经典集合一模糊集的运算性质基本上与经典

15、集合一致，除了排中律以外，即致，除了排中律以外，即AAc U， AAc . 模糊集不再具有模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，的特点，这正是模糊性带来的本质特征这正是模糊性带来的本质特征. .20模糊集合的运算和隶属函数的参数化模糊集合的运算和隶属函数的参数化包含或子集包含或子集：并（析取并（析取）交（合取）交（合取）补补)()(xxBABA)()()(),(max(xxxxBACBABACBABACxxBAC)(),(min()(1)( ,xxAAAAC2122(A) = A = x | A(x) - -截集：截集： 模糊集的模糊集的 - -截集截集A 是一个经典集合，由隶属是一个经典

16、集合，由隶属度不小于度不小于 的成员构成的成员构成. . 例：论域例：论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6( (学生集学生集) )，他们的成绩依次为他们的成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学学习成绩好的学生习成绩好的学生”的隶属度分别为的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.950.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者) = u5 , u6,A0.6 (60分以上者分以上者) = u2, u3, u4 , u5 , u6.23 定理定理1 1 设设A,

17、B (U ) (A, B是论域是论域U 的的两个模糊子集两个模糊子集)， , ,0,1，于是有，于是有 - -截集截集的性质：的性质：(1) A B A B ；(2) A A ；(3) (AB) = A B ，(AB) = A B .定理定理2 (分解定理分解定理)设设A (U )， x A，则，则A(x) = ，0,1，x A 定义定义 ( (扩张原理扩张原理) )设设映射映射 f ：X Y，定义，定义f (A) ( y ) = A(x)， f (x) = y 24 模糊集的数积模糊集的数积 设设A (U ) (A是论域是论域U 的的模糊子集模糊子集)，0,1，称，称 A为为 与与A数积，数

18、积， x A, ( A)(x)= A(x)性质：性质：(1) A B A B；(2) A A ；定理定理3 (分解定理分解定理2)设设A (U )，则则AA1 , 0 251. 模糊统计方法模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为统计比喻为“变动的点变动的点”是否落在是否落在“不动的不动的圈圈”内，则把模糊统计比喻为内，则把模糊统计比喻为“变动的圈变动的圈”是否盖住是否盖住“不动的点不动的点”.2. 指派方法指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。析表达式。3. 借用已有的借用已有的“客观客观”

19、尺度尺度26隶属函数参数化隶属函数参数化1. 1. 三角形隶属函数三角形隶属函数xccxbbxaaxcbaxtrigbcxcabax 0 0),;( ; , , )max(min(,),0)x a c xtrig x a b cb a c bl参数参数a,b,c确定了三角形确定了三角形MF三个顶点的三个顶点的x坐标坐标。27l参数参数a,b,c,d确定了梯形四个角的确定了梯形四个角的x坐标。坐标。当当b=c时，梯形就退化为三角形时，梯形就退化为三角形。2. 梯形隶属函数梯形隶属函数0 ( , , ,)1 0 xabadxdcxaaxbtrap x a b c dbxccxddx( ; , ,

20、, )max(min(,1,),0)x adxtrap x a b c db adc283. 高斯形隶属函数高斯形隶属函数的宽度。决定的中心；代表MFMFcecxgcx ),;(2)(21l高斯高斯MF完全由完全由c和和决定，决定，c代表代表MF的的中心；中心；决定了决定了MF的宽度的宽度。294. 一般钟形隶属函数bacxcbaxbell211),;(l参数完全由b通常为正；如果b0,钟形将倒置。钟形MF实际上是概率中柯西分布的推广，因此又称为柯西MF。30trig(x;20,60,80)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)31cc-ac+

21、a斜率=-b/2a隶属函数的参数化举例隶属函数的参数化举例：以钟形函数为例，bacxcbaxbell211),;(a,b,c,的几何意义如图所示。改变a,b,c,即可改变隶属函数的形状。323334模型识别模型识别 已知某类事物的若干标准模型，现有这类事已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别就是模型识别. . 模型识别在实际问题中是普遍存在的模型识别在实际问题中是普遍存在的. .例如，例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员哪一纲

22、哪一目；投递员( (或分拣机或分拣机) )在分拣信件时在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别要识别邮政编码等等，这些都是模型识别. .模糊模型识别模糊模型识别 所谓模糊模型识别所谓模糊模型识别, ,是指在模型识别中是指在模型识别中, ,模型模型是模糊的是模糊的. .也就是说也就是说, ,标准模型库中提供的模型是标准模型库中提供的模型是模糊的模糊的. .35 为了能识别待判断的对象为了能识别待判断的对象x = (x1, x2, xn)T是是属于已知类属于已知类A1, A2, Am中的哪一类？中的哪一类？ 事先必须要有一个一般规则事先必须要有一个一般规则, 一旦知道了一旦知道了x的的值值

23、, 便能根据这个规则立即作出判断便能根据这个规则立即作出判断, 称这样的一称这样的一个规则为个规则为判别规则判别规则. 判别规则往往通过的某个函数来表达判别规则往往通过的某个函数来表达, , 我们我们把它称为把它称为判别函数判别函数, 记作记作W(i; x). 一旦知道了一旦知道了判别函数并确定了判别函数并确定了判别规则，最判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回回代检验代检验，以便检验你的，以便检验你的判别函数和判别函数和判别规则是否判别规则是否正确正确.36模糊向量的内积与外积模糊向量的内积与外积 定义定义 称向量称向量a = (a1,

24、 a2, , an)是模糊向量是模糊向量, 其其中中0ai1. 若若ai 只取只取0或或1, 则称则称a = (a1, a2, , an)是是Boole向量向量. 设设 a = (a1, a2, , an), b = (b1, b2, , bn)都是模都是模糊向量，则定义糊向量，则定义 内积内积： a b = (akbk) | 1kn； 外积外积：a b = (akbk) | 1kn.内积与外积的性质内积与外积的性质(a b )c = a c b c ; (a b ) c = a c b c.37 设设A1, A2, , An是论域是论域X上的上的n个模糊子集个模糊子集, ,称称以模糊集以模糊

25、集A1, A2, , An为分量的模糊向量为为分量的模糊向量为模糊模糊向量集合族向量集合族，记为，记为A = (A1, A2, , An). . 若若X 上的上的n个模糊子集个模糊子集A1, A2, , An的隶属函的隶属函数分别为数分别为A1(x), A2(x) , , An(x),则定义模糊向量则定义模糊向量集合族集合族 A = (A1, A2, , An)的隶属函数为的隶属函数为A(x) = A1 (x1), A2 (x2) , , An(xn) 或者或者A(x) = A1 (x1) + A2 (x2) + + An(xn)/n.其中其中x = (x1, x2, , xn)为普通向量为普

26、通向量.38 最大隶属原则最大隶属原则 设论域设论域X =x1, x2, , xn 上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, , Am( (即即m个模型个模型),),构构成了一个标准模型库成了一个标准模型库, ,若对任一若对任一x0X, ,有有k1, 2, , m , ,使得使得Ak(x0)=A1(x0), A2(x0), , Am(x0)，则认为则认为x0相对隶属于相对隶属于Ak . . 最大隶属原则最大隶属原则 设论域设论域X上有一个标准模上有一个标准模型型A, ,待识别的对象有待识别的对象有n个：个：x1, x2, , xnX, 如果如果有某个有某个xk满足满足A(xk)=A(x1)

27、, A(x2), , A(xn), 则应优先录取则应优先录取xk . .39 例例1 1 在论域在论域X=0,1000,100分数上建立三个表示分数上建立三个表示学习成绩的模糊集学习成绩的模糊集A=“优优”, ,B =“良良”, ,C =“差差”. .当一位同学的成绩为当一位同学的成绩为8888分时分时, ,这个成绩这个成绩是属于哪一类？是属于哪一类？.100901,9080,1080,800, 0)(xxxxxAA(88) =0.840;10095, 0,9585,1095,8580, 1,8070,1070,700, 0)(xxxxxxxxBB(88) =0.741.100800,8070

28、,1080,700, 1)(xxxxxCA(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0. 根据最大隶属原则根据最大隶属原则,88,88分这个成绩应隶属分这个成绩应隶属于于A, ,即为即为“优优”. . 例例2 论论域域 X = x1(71), x2(74), x3(78)表示三表示三个学生的成绩个学生的成绩, ,那一位学生的成绩最差？那一位学生的成绩最差？C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,根据最大隶属原则根据最大隶属原则， x1(71)最差最差.42例例3 3 细胞染色体形状的模糊识别细胞染色体形状的模糊识别 细胞染色体形状的模糊识别就是几

29、何图形的细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别模糊识别, ,而几何图形常常化为若干个三角图形而几何图形常常化为若干个三角图形, ,故设论域为三角形全体故设论域为三角形全体. .即即X= (A,B,C )| A+B+C =180, ABC 标准模型库标准模型库=E( (正三角形正三角形),),R( (直角三角形直角三角形), ), I( (等腰三角形等腰三角形),),IR( (等腰直角三角形等腰直角三角形),),T( (任意三任意三角形角形).). 某人在实验中观察到一染色体的几何形状，某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为测得其三个内角分别为94,50,36,94,

30、50,36,即待识别对象即待识别对象为为x0=(94,50,36).=(94,50,36).问问x0应隶属于哪一种三角形？应隶属于哪一种三角形？43先建立标准模型库中先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数各种三角形的隶属函数. 直角三角形的隶属函数直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列应满足下列约束条件：约束条件： (1) (1) 当当A=90时时, R(A,B,C)=1; (2) (2) 当当A=180时时, R(A,B,C)=0; (3) (3) 0R(A,B,C)1. 因此，不妨定义因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - - |A - - 90|/90. 则则R(x0)=0

31、.955. 或者或者. 0, 1, 0,901),(1pppCBARp其中其中 p = | A 90| 则则R(x0)=0.54.44 正三角形的隶属函数正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约应满足下列约束条件：束条件：(1) 当当A = B = C = 60时时, E(A,B,C )=1;(2) 当当A = 180, B = C = 0时时, E(A,B,C)=0;(3) 0E(A,B,C)1. 因此，不妨定义因此，不妨定义E(A,B,C ) = 1 (A C)/180.则则E(x0) =0.677. 或者或者. 0, 1, 0,1801),(1pppCBAEp其中其中 p = A

32、C 则则E(x0)=0.02.45 等腰三角形的隶属函数等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约应满足下列约束条件：束条件：(1) (1) 当当A = B 或者或者 B = C时时, I(A,B,C )=1;(2) (2) 当当A = 180, B = 60, C = 0时时, I(A,B,C ) = 0;(3) (3) 0I(A,B,C )1. 因此，不妨定义因此，不妨定义I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60.则则I(x0) =0.766. 或者或者. 0, 1, 0,601),(1pppCBAIp p = (A B)(B C)则则I(x0)=0.10.46等腰直角

33、三角形的隶属函数等腰直角三角形的隶属函数(IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.任意三角形的隶属函数任意三角形的隶属函数T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.T(x0) =(0.7660.9550.677)c = (0.955)c = 0.045. 通过以上计算通过以上计算, ,R(x0) = 0.955最大最大, ,所以所以x0应隶应隶属于直角三角形属于直角三角形. 或者或者(IR)(x0) =0.10; T(x0)= (0.54)c = 0.46. 仍仍然是然是R(x0) = 0.54最大最大, ,

34、所以所以x0应隶属于直角三角形应隶属于直角三角形.47 设论域设论域X =x1, x2, , xn 上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, , Am( (即即m个模型个模型),),构成了一个标准模构成了一个标准模型库型库, ,若对任一若对任一x0X, ,取定水平取定水平 0,1. 若存在若存在 i1, i2, , ik, ,使使Aij(x0) ( j =1, 2, , k),则判决为：则判决为： x0相对隶属于相对隶属于.21kiiiAAA 若若Ak(x0)| k =1, 2, , m , ,则判决为：不则判决为：不能识别能识别, ,应当找原因另作分析应当找原因另作分析. 该方法也适用于

35、判别该方法也适用于判别x0是否隶属于是否隶属于标准模型标准模型Ak. .若若Ak(x0) , ,则判决为：则判决为：x0相对隶属于相对隶属于Ak; 若若Ak(x0) , ,则判决为：则判决为： x0相对不隶属于相对不隶属于Ak. .48 设在论域设在论域X =x1, x2, , xn上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, , Am( (即即m个模型个模型),),构成了一个标准模型构成了一个标准模型库库. . 被识别的对象被识别的对象B也是也是X上一个模糊集上一个模糊集, ,它与标它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊识别问题识别问题.

36、. 先将模糊向量的内积与外积的概念扩充先将模糊向量的内积与外积的概念扩充. . 设设A(x), B(x)是论域是论域X上两个模糊子集的隶属上两个模糊子集的隶属函数函数, ,定义定义 内积：内积： A B = A(x) B(x) | xX ； 外积：外积：AB = A(x)B(x) | xX . 49(1) (1) (A B )c = AcBc; (2) (2) (AB )c = Ac Bc;(3) (3) A Ac 1/2; (4) (4) AAc 1/2.证明证明(1) (1) (A B)c = 1- -A(x) B(x) | xX = 1- - A(x)1- - B(x) | xX = A

37、c(x)Bc(x) | xX = AcBc.证明证明(3) (3) A Ac =A(x) 1- - A(x) | xX 1/2 | xX 1/2.50 下面我们用下面我们用 (A, B)表示两个模糊集表示两个模糊集A, B之间之间的贴近程度的贴近程度( (简称简称贴近度贴近度),),贴近度贴近度 (A, B)有一些有一些不同的定义不同的定义. . 0(A, B) = A B + (1 - -A B)/2 (格贴近度格贴近度) 1(A, B) = (A B )(1- - A B)择近原则择近原则 设在论域设在论域X = x1, x2, , xn上有上有m个模糊子集个模糊子集A1, A2, , A

38、m构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库, ,B是待识别是待识别的模型的模型. .若有若有k1,2, m, 使得使得 (Ak , B) = (Ai , B) | 1im,则称则称B与与Ak最贴近最贴近, ,或者说把或者说把B归于归于Ak类类. .这就是这就是择择近原则近原则. .51213 . 07 . 3exp)(xxA223 . 09 . 2exp)(xxA233 . 06 . 5exp)(xxA243 . 09 . 3exp)(xxA252 . 07 . 3exp)(xxA228. 043. 3exp)(xxB52 设在论域设在论域X =x1, x2, , xn上有上有n个模糊子集个模

39、糊子集A1, A2, , An构成了一个标准模型库构成了一个标准模型库, ,每个模型又每个模型又由个特性来刻划：由个特性来刻划：Ai =(Ai1, Ai2, , Aim), i = 1,2, n, 待识别的模型待识别的模型B=(B1, B2, , Bm). . 先求两个模糊向量集合族的贴近度：先求两个模糊向量集合族的贴近度：si = (Aij , Bj) | 1jm, i = 1,2, n, 若有若有k1,2, n, ,使得使得 (Ak , B) =si | 1in, ,则称则称B与与Ak最贴近最贴近, ,或者说把或者说把B归于归于Ak类类. . 这就是这就是多个特性的择近原则多个特性的择近原

40、则. .53格贴近度的不足之处是一般格贴近度的不足之处是一般 0(A, A)1.定义定义 (公理化定义公理化定义)若若 (A, B)满足满足 (A, A)=1; (A, B)= (B, A); 若若ABC, 则则 (A, C) (A, B) (B, C).则称则称 (A, B)为为A与与B的贴近度的贴近度. 显然显然, ,公理化定义显得自然、合理、直观公理化定义显得自然、合理、直观, ,避免了避免了格贴近度的不足之处格贴近度的不足之处, ,它具有理论价值它具有理论价值. .但是公理化定但是公理化定义并未提供一个计算贴近度的方法义并未提供一个计算贴近度的方法, ,不便于操作不便于操作. . 于是

41、于是, ,人们一方面尽管觉得格贴近度有缺陷人们一方面尽管觉得格贴近度有缺陷, ,但还但还是乐意采用易于计算的格贴近度来解决一些实际问题；是乐意采用易于计算的格贴近度来解决一些实际问题；另一方面另一方面, ,在实际工作中又给出了许多具体定义在实际工作中又给出了许多具体定义(P145).(P145).54离散型离散型,)()()()(),(111nkkknkkkxBxAxBxABA连续型连续型,d)()(d)()(),(1xxBxAxxBxABA55离散型离散型,)()()()(2),(112nkkknkkkxBxAxBxABA连续型连续型,d)()(d)()(2),(2xxBxAxxBxABA5

42、6离散型离散型, )()(11),(13nkkkxBxAnBA连续型连续型.d)()(11),(3xxBxABA57 事实上事实上, ,择近原则的核心就是最大隶属原则择近原则的核心就是最大隶属原则. .如在小麦品种的模糊识别如在小麦品种的模糊识别( (仅对百粒重考虑仅对百粒重考虑) )中中, ,可重新定义可重新定义“早熟早熟”、“矮秆矮秆”、“大粒大粒”、“高肥丰产高肥丰产”、“中肥丰产中肥丰产”的隶属函数的隶属函数. .重新定义重新定义“早熟早熟”的隶属函数为的隶属函数为13 .07 .3exp21),(21A重新定义重新定义“矮秆矮秆”的隶属函数为的隶属函数为13 .09 .2exp21)

43、,(22A58例例4 4 大学生体质水平的模糊识别大学生体质水平的模糊识别. . 陈蓓菲等人在福建农学院对陈蓓菲等人在福建农学院对240240名男生的体名男生的体质水平按质水平按中国学生体质健康调查研究中国学生体质健康调查研究手册上手册上的规定的规定, ,从从1818项体测指标中选出了反映体质水平项体测指标中选出了反映体质水平的的4 4个主要指标个主要指标( (身高、体重、胸围、肺活量身高、体重、胸围、肺活量),),根根据聚类分析法据聚类分析法, ,将将240240名男生分成名男生分成5 5类：类：A1( (体质体质差差),),A2( (体质中下体质中下),),A3( (体质中体质中),),A

44、4( (体质良体质良),),A5 ( (体质优体质优),),作为论域作为论域U( (大学生大学生) )上的一个标准模上的一个标准模型库型库, ,然后用最大隶属原则然后用最大隶属原则, ,去识别一个具体学生去识别一个具体学生的体质的体质. 5. 5类标准体质的类标准体质的4 4个主要指标的观测数据个主要指标的观测数据如下表所示如下表所示. .59身高身高(cm)体重体重(kg)胸围胸围(cm)肺活量肺活量(cm3)A1158.43.047.98.484.22.43380184A2163.44.850.08.689.06.23866800A3166.93.655.39.488.37.0412852

45、6A4172.64.657.78.289.26.44349402A5178.44.261.98.690.98.04536756 现有一名待识别的大学生现有一名待识别的大学生x = x1, x2, x3, x4 = 175, 55.1, 86, 3900，他应属于哪种类型？，他应属于哪种类型？6061 定义定义1 设设R = (rij)mn，若，若0rij1，则称，则称R为为模模糊矩阵糊矩阵. 当当rij只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔布尔(Boole)矩阵矩阵. 当模糊方阵当模糊方阵R = (rij)nn的对角线上的元素的对角线上的元素rii都为都为1时，称时，称R为为模糊自反矩阵模糊自

46、反矩阵.定义定义2 设设A=(aij)mn, ,B=(bij)mn都都是模糊矩阵，是模糊矩阵，相等相等：A = B aij = bij；包含包含：AB aijbij；并并：AB = (aijbij)mn；交交：AB = (aijbij)mn；余余：Ac = (1- - aij)mn.62幂等律：幂等律：AA = A，AA = A；交换律：交换律：AB = BA，AB = BA；结合律：结合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)

47、；0-10-1律：律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A；还原律：还原律：(Ac)c = A；对偶律：对偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.1.11.1E63 设设A = (aik)ms，B = (bkj)sn，定义模糊矩阵，定义模糊矩阵A 与与B 的合成为：的合成为：A B = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks .模糊方阵的幂模糊方阵的幂 定义：若定义：若A为为 n 阶方阵，定义阶方阵，定义A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak- -1 A.7 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 0

48、3 . 01 . 07 . 04 . 03 . 03 . 07 . 04 . 03 . 01 . 0364性质性质1：(A B) C = A (B C)；性质性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性质性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性质性质4：O A = A O = O，I A=A I =A；性质性质5：AB，CD AC B D.注：合成注：合成( )运算关于运算关于()的分配律不成立，即的分配律不成立，即( AB ) C ( A C )( B C )2 . 03 . 01 . 05 .

49、0,2 . 03 . 01 . 02 . 0,1 . 02 . 03 . 01 . 0CBA652 . 03 . 01 . 05 . 0,2 . 03 . 01 . 02 . 0,1 . 02 . 03 . 01 . 0CBA( AB ) C 1 . 02 . 01 . 01 . 02 . 03 . 01 . 05 . 01 . 02 . 01 . 01 . 0( A C )( B C )1 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 01 . 02 . 01 . 02 . 02 . 03 . 0( AB ) C ( A C )( B C )66 定义定义 设设A = (aij)mn

50、, 称称AT = (aijT )nm为为A的转的转置矩阵，其中置矩阵，其中aijT = aji.转置运算的性质：转置运算的性质：性质性质1：( AT )T = A；性质性质2：( AB )T = ATBT， ( AB )T = ATBT；性质性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n ；性质性质4：( Ac )T = ( AT )c ；性质性质5：AB AT BT .67证明性质证明性质3：( A B )T = BT AT；( An )T = ( AT )n .证明证明：设：设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn, 记记(

51、A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns , 由转置的定义知由转置的定义知, cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji . BT AT= (bikTakjT )nm =(bkiajk)nm =(ajkbki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T . 68 定义定义7 设设A = (aij)mn,对任意的对任意的 0, 1，称，称A = (aij( )mn,为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 - - 截矩阵截矩阵, 其中其中 当当aij 时，时，aij( ) =1；当；当aij

52、 时，时，aij( ) =0. 显然，显然，A的的 - - 截矩阵为布尔矩阵截矩阵为布尔矩阵. 1110110010110011,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 013 . 0AA69对任意的对任意的 0, 1，有，有性质性质1：AB A B ；性质性质2：(AB) = A B ，(AB) = A B ；性质性质3：( A B ) = A B ；性质性质4：( AT ) = ( A )T.下面证明性质下面证明性质1： AB A B 和性质和性质3.性质性质1的证明：的证明： AB aijbij；当当 aijbij时，时

53、， aij( ) =bij( ) =1；当当aij bij时，时， aij( ) =0, bij( ) =1；当当aijbij 时，时， aij( ) = bij( ) =0；综上所述综上所述aij( )bij( )时，时， 故故A B .70性质性质3的证明：的证明：设设A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,cij( ) =1 cij (aikbkj) k, (aikbkj) k, aik , bkj k, aik( ) =bkj( ) =1 (aik( )bkj( )=1cij( ) =0 cij (aikbkj) k, (aikbkj) k, aik

54、或或 bkj k, aik( ) =0或或bkj( ) =0 (aik( )bkj( )=0所以所以, cij( ) =(aik( )bkj( ).( A B ) = A B .71 与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广系是普通关系的推广. . 设有论域设有论域X，Y，X Y 的一个模糊子集的一个模糊子集 R 称称为从为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系. 模糊子集模糊子集 R 的隶属函数为映射的隶属函数为映射R : X Y 0,1.并称隶属度并称隶属度R (x , y ) 为为 (x , y )关于模糊关系关于模糊关系 R 的的相

55、关程度相关程度. 特别地，当特别地，当 X =Y 时，时，称之为称之为 X 上各元素之上各元素之间的间的模糊关系模糊关系.72 由于由于模糊关系模糊关系 R就是就是X Y 的一个模糊子集，的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质的运算及性质.设设R，R1，R2均为从均为从 X 到到 Y 的的模糊关系模糊关系.相等相等：R1= R2 R1(x, y) = R2(x, y)；包含包含： R1 R2 R1(x, y)R2(x, y)；并并： R1R2 的隶属函数为的隶属函数为 (R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；交交： R1R

56、2 的隶属函数为的隶属函数为(R1R2 )(x, y) = R1(x, y)R2(x, y)；余余：Rc 的隶属函数为的隶属函数为Rc (x, y) = 1- - R(x, y).73 (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊关系对模糊关系“R1或者或者R2”的相关程度，的相关程度， (R1R2 )(x, y)表示表示(x, y)对模糊对模糊关系关系“R1且且R2”的相关程度，的相关程度，Rc (x, y)表示表示(x, y)对对模糊关系模糊关系“非非R”的相关程度的相关程度.模糊关系的矩阵表示模糊关系的矩阵表示 对于有限论域对于有限论域 X = x1, x2, , xm和和Y =

57、 y1, y2, , yn，则，则X 到到Y 模糊关系模糊关系R可用可用mn 阶模糊阶模糊矩阵表示，即矩阵表示，即R = (rij)mn，其中其中rij = R (xi , yj )0, 1表示表示(xi , yj )关于模糊关系关于模糊关系R 的相关程度的相关程度. . 又若又若R为布尔矩阵时为布尔矩阵时, ,则关系则关系R为普通关系为普通关系, ,即即xi 与与 yj 之间要么有关系之间要么有关系(rij = 1), ,要么没有关系要么没有关系( rij = 0 ).74 例例 设身高论域设身高论域X =140, 150, 160, 170, 180 (单位：单位：cm), 体重论域体重论

58、域Y =40, 50, 60, 70, 80(单位：单位：kg), ,下表给出了身高与体重的模糊关系下表给出了身高与体重的模糊关系. .405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.8175 设设 R1 是是 X 到到 Y 的关系的关系, R2 是是 Y 到到 Z 的关系的关系, 则则R1与与 R2的合成的合成 R1 R2是是 X 到到 Z 上的一个关系上的一个关系.(R1 R2) (x, z) = R1 (x, y)R2 (y, z)| yY 当论域为有限时，模糊关系的合

59、成化为模糊当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成矩阵的合成. 设设X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z= z1, z2, , zn，且，且X 到到Y 的的模糊模糊关系关系R1 = (aik)ms，Y 到到Z 的的模糊模糊关系关系R2 = (bkj)sn，则，则X 到到Z 的的模糊模糊关关系可表示为系可表示为模糊模糊矩阵的合成：矩阵的合成：R1 R2 = (cij)mn，其中其中cij = (aikbkj) | 1ks.76模糊关系合成运算的性质模糊关系合成运算的性质性质性质1：(A B) C = A (B C)； 性质性质2：A ( BC )

60、 = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )；性质性质3：( A B )T = BT AT；性质性质4：A B，C D A C B D.注：注：(1) 合成合成( )运算关于运算关于()的分配律不成立的分配律不成立, ,即即( AB ) C ( A C )( B C ) (2) 这些性质在有限论域情况下这些性质在有限论域情况下, ,就是模糊矩就是模糊矩阵合成运算的性质阵合成运算的性质.77模糊等价关系模糊等价关系 若模糊关系若模糊关系R是是X上上各元素之间的各元素之间的模糊关系，模糊关系，且满足：且满足： (1)(1)自反性：自反性：R(x, x)