高二数学异面直线所成的角

1、2022-5-42.判定异面直线的方法：判定异面直线的方法：（1）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。）根据异面直线的定义；应用反证法来证明。（2）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这）连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面不经过此点的直线是异面直线。个平面不经过此点的直线是异面直线。1.异面直线的画法：异面直线的画法：ababab画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。（1 1）“a a，b b是异面直线是异面直线”是指是指 a ab b=且且a a不平行于不平行于b b； a a 平面平面 ，b b 平面平面 且且a ab

2、b= a a 平面平面 ，b b 平面平面 不存在平面不存在平面 ，能使，能使a a 且且b b 成立成立上述结论中，正确的是上述结论中，正确的是（ ） （A A）（B B） （C C） （D D） （2 2）两条直线）两条直线a a, ,b b分别和异面直线分别和异面直线c c, ,d d 都相交，则直都相交，则直线线a a，b b的位置关系是（的位置关系是（ ） A A、一定是异面直线一定是异面直线 B B、一定是相交直线、一定是相交直线 C C、可能是平行直线、可能是平行直线 D D、可能是异面直线，也可能、可能是异面直线，也可能是相交直线是相交直线（3 3）一条直线和两条异面直线中的一

3、条平行）一条直线和两条异面直线中的一条平行, ,则它和则它和另一条的位置关系是另一条的位置关系是( )( ) （A A）平行）平行（B B）相交）相交 （C C）异面）异面 （D D）相交或异面）相交或异面 3.异面直线所成的角异面直线所成的角: 已知两条异面直线已知两条异面直线a、b, 经过空间任一点经过空间任一点O, 分别作分别作直线直线a a，b b，把，把a与与b所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)叫做异叫做异面直线面直线a、b所成的角所成的角(或夹角或夹角).ObaaO如果两条异面直线所成的角是直角如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直那么就说两条直线互相垂直线互相垂直.ab

4、ab ,(20 异面直线不具有传递性异面直线不具有传递性.1、若、若a、b是异面直线是异面直线, b、c也是异面直线也是异面直线, 则则a、c位位置关系是置关系是( )A. 相交、平行或异面相交、平行或异面 B. 平行平行 C. 异面异面 D. 平行或异面平行或异面A2 2两条直线互相垂直，它们一定相交吗？两条直线互相垂直，它们一定相交吗？ 3.3.垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？答：答：不一定，还可能异面不一定，还可能异面答：答：三种：相交，平行，异面三种：相交，平行，异面长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D

5、 D1 1，ABAB=AA=AA1 1= =2 cm2 cm， ADAD= =1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。解法一：解法一：O1MDB1A1D1C1ACB方法归纳：方法归纳：平移法解法二：解法二：方法归纳：方法归纳：补形法补形法F1EFE1BDB1A1D1C1AC例例2.A为正三角形为正三角形BCD所在平面外一点，且所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱分别是棱AD、BC的中的中点，连结点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。所成角的余弦值。 A

6、BCDEFG解法一：解法一：例例2.A为正三角形为正三角形BCD所在平面外一点，且所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱分别是棱AD、BC的的中点，连结中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。所成角的余弦值。 ABCDEFP解法二：解法二：例例3.如图，如图，a、b为异面直线，直线为异面直线，直线a上的线段上的线段AB=6cm，直线，直线b上的线段上的线段CD=10cm， E、F分别为分别为AD、BC的中点，的中点，且且EF=7cm，求异面直线，求异面直线a与与b所成所成的角的度数的角的度数 ABCDEFPab求两异面直线

7、所成角的步骤：求两异面直线所成角的步骤：1、构造：用平移法作出角、构造：用平移法作出角;2、证明：作出的角就是所要求的角、证明：作出的角就是所要求的角;3、计算：常利用三角形来求、计算：常利用三角形来求.练习练习:如图，如图，P为为ABC所在平面外一点，所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为分别为PA和和BC的中点。的中点。 （1）求证：）求证：EF与与PC为异面直线；为异面直线；（2）求）求EF与与PC所成的角；所成的角；（3）求线段）求线段EF的长。的长。ABCPEFG（1）平移法（常用方法）平移法（常用方法）1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，角，体现了化归的数学思想。体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：范围： （1） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （2） 当当 cos 0 时，所成角为时，所成角为 （3）