因子設計的集區劃分與交絡

1、第7章 2k因子設計的集區劃分與交絡Chap 7. Blocking and Confounding in the 2k Factorial Design7-1 简介 (Introduction)有多种情况实验者无法在均一的条件下进行2k因子实验的所有试验，如原料不足、或故意改变实验条件，以确保处理于实际上可能遇到的状况能一样地有效(i.e., 即稳健的)。此种情况用到的设计技巧是集区划分(Blocking)，本章集中于2k因子设计的一些特殊的集区划分技巧。7-2 集区划分一个反复的2k因子设计(Blocking a Replicated 2k Factorial Design)假设2k因子设

2、计反复n次，此情况与第5章讨论的完全相同，每一种不同的条件就是一个集区，而每个反复就在集区内，在各个集区(或反复)的试验以随机顺序进行。*范例 7-115% (低)a = 10036+32+32B因子A因子1 lb(低)25% (高)2 lb(高)ab = 9031+30+29b = 6018+19+23(1) = 8028+25+27考虑在6-2节所描述一反应浓度(Reaction Concentration)和触媒量(Catalyst)对化学反应过(制)程合格率效果的研究。假设单一批原料只容纳4次试验，所以，需要3批原料来进行3次反复，其中每一原料批对应到一个集区，集區1集區2(1)=28

3、a=36b=18ab=31集區3(1)=27a=32b=23ab=29(1)=25a=32b=19ab=30B1=113B2=106B3=111SSblock= Bi2/4 - y2/12 = 6.50由ANOVA分析，集区效果不显著。*7-3 2k因子设计的交络(Confounding in the 2k Factorial Design)许多情况是在一个集区里进行一次完整的2k因子设计是不可能的。交络(Confounding)是一个设计技巧，可安排一个完整的因子实验到数个集区，其中集区的大小是小于一次反复中处理组合的个数，此技巧造成某些处理效果(通常指高阶交互作用)的信息成为无法区分于(I

4、n-distinguishable from)或交络于(Confounded with)集区效果。本章集中于2k因子设计的交络系统。7-4 2k因子设计交络于2个集区(Confounding the 2k Factorial Design in Two Blocks)假设进行一个未反复的2k因子设计，22= 4种处理组合均需要一些原料，而每一批原料只够试验2个处理组合，因此共需2批原料，倘将原料批视成集区，则须指订4种处理组合中的2种到每一个集区里。=集區1試驗A+B-+-=集區2試驗集區1集區2(1)abab(a) 几何上视之(b) 置于2集区里的4个试验图7-1 2集区之2k因子设计上图(

5、a)显示相对对角的处理组合被安置到不同的集区，图(b)视出集区1包含处理组合(1)与ab、集区2包含处理组合a与b，当然，在集区里处理组合的试验顺序是随机决定的，且随机决定集区顺序。则A与B的主效果(与似无发生集区般)为，A = ab+a-b-(1)/2B = ab+b-a-(1)/2A与B均无受到集区划分的影响，因为上式中各有来自每个集区的一个正的与一个负的处理组合，亦即，集区1与集区2之间的任何差异均被抵消矣。续考虑AB交互作用效果AB = ab+(1)-a-b/2因2个正号的处理组合ab与(1)在集区1里、而2个负号的处理组合a与b在集区2里，集区效果与AB交互作用效果是完全相等的，亦即

6、，AB是交络于集区。此理由可从2k设计的正负符号表明显视出，处理组合因子效果IABAB(1)+-+a+-b+-+-ab+这作法可用来交络任何效果(A，B或AB)于集区。如(1)与b指订到集区1及a与ab指订到集区2，则A的主效果将被交络于集区。一般是将最高阶交互作用效果交络于集区。上述作法可用来交络任何2k设计于2个集区。建构集区的其它方法(Other Methods for Constructing the Blocks)此为利用线性组合，L = a1x1+ a2x2 + + akxk(7-1)其中xi是出现在处理组合中第i个因子的水准，与ai是要被交络的效果中第i个因子的幂次(Expone

7、nt)。对2k系统，ai = 0或1，及xi= 0 (低水准)或xi= 1 (高水平)。式(7-1)称之为定义对比(Defining Contrast)，会产生相同L(Mod 2)的可能值只有0与1，如此指订2k个处理组合正好到2个集区里。兹考虑23设计而且交络ABC于集区，在此x1对应A、x2对应B、x3对应C，与a1 = a2 = a3 =1，因此，对应于ABC的定义对比为，L = x1+ x2 + x3因此处理组合(1)在(0,1)的符号表示下为000；所以，L = 1(0)+1(0)+1(0)= 0 = 0 (Mod 2)同理，处理组合a为100；所以，L = 1(1)+1(0)+1(

8、0)= 1 = 1 (Mod 2)故(1)与a将分属不同的集区。对于其它的处理组合，b:L = 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (Mod 2)ab:L = 1(1)+1(1)+1(0)= 2 = 0 (Mod 2)c: L = 1(0)+1(0)+1(1)= 1= 1 (Mod 2)ac: L = 1(1)+1(0)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)bc: L = 1(0)+1(1)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)abc: L = 1(1)+1(1)+1(1)= 3 = 1 (Mod 2)所以，(1), ab, ac, bc属于集区1；a, b, c, abc属于集区2

9、，这与用正负符号表所产生的设计完全相同。另一种建构这些设计的方法，包含处理组合(1)的集区称之为主集区(Principal Block)，在此集区里的处理组合有一个很有用的群理论性质(Group-Theoretic Property)，即它们以乘法Mod 2的运算而形成之一”群”(Group)，此意谓着主集区内的任何元素除(1)外可由主集区内任2个元素(处理组合)相乘法的Mod 2得到，如ABC交络之23设计在2个集区的主集区，ab ac = a2bc = bc；ab bc = ab2c = ac；ac bc = abc2 = ab因此主集区的元素为(1), ab, ac, bc。而另一集区，

10、可由一个非主集区的元素(处理组合)乘以主集区的每一个元素Mod 2产生。其中，b是在另一集区里，故另一集区的元素为，b (1) = b；b ab = ab2 = a；b ac = abc；b bc = b2 c = c其结果与先前得到的一致。误差的估计(Estimation of Error)当因子数目很小时(2k，LevelFactor)，如k = 2或3，通常有必要反复实验以获得一个误差估计值。如23因子实验必须以2个集区来进行且ABC被交络，实验者决定反复设计4次，如下图，集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆1集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆2集區1集區2(1)a

11、cabbcabcabc反覆3集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆4图7-3 反复4次ABC被交络之23设计此设计总共32个观测值和31个自由度，有8个集区即7个自由度，此7个自由度分解为FA= FB= FC= FAB= FBC= FAC= FABC= 1，而误差平方为反复与因子效果(A, B, C, AB, AC, BC)之二者交互作用。考虑视交互作用为零且将其均方作为误差估计值的作法是成立的，此均方误差可以检定主效果与2-因子交互作用效果。ANOVA-反复4次且交络ABC之23设计变源自由度反复3集区(ABC)1ABC的误差(反复集区)3A, B, C, AB, AC, BC各1误

12、差(反复效果)18总和31倘实验资源允许反复的交络设计，较佳方式是稍微以不同方式来设计各个反复的集区，此方式包括在每个反复中交络不同的效果，使得所有的效果都能有一些信息，此法称之为部分交络(Partial Confounding)。倘k 不算太小，即k 4，且只一次反复时，实验者常假设高阶交互作用效果是可忽略的，并将其平和合并为误差。范例7-2回顾再续范例6-2，一个化学产品于一压力槽内生产，在实验工厂进行因子实验来研究产品的过滤比率(Filtration Rate)，4个因子为温度(A)、压力(B)、甲醛浓度(C)、与搅拌速度(D)，各因子均有2水准，单次反复。有兴趣于极大化过滤比率。用此实

13、验来说明一个未反复设计集区划分与交络的概念，假设24 = 16种处理组合无法利用一批原料进行所有的试验，实验者由一批原料可以试验8个处理组合，所以一个24交络于2个集区的设计是适当的，且交络最高阶交互作用效果(ABCD)于集区。-+DABC集區1集區2(1)=25ab=45ac=40bc=60ad=80bd=25cd=55abcd=76a=71b=48c=68d=43abc=65bcd=70acd=86abd=1044*假设二批原料中有一批的品质低劣，造成所有的反应值均比用另一批原料所得值低20，即原始反应值减去20，低劣品质原料是集区1与良好品质原料批为集区2。计算结果， 4个主效果、6个2

14、-因子交互作用效果、4个3-因子交互作用效果的估计值均与无集区效果的例6-2所得之效果估计值完全相同。当划出这些效果估计值的常态机率图时，因子A、C、D与AC、AD交互作用为显著重要效果。 ABCD交互作用效果的估计值原为1.375，但在此实验其估计值为-18.625，因ABCD交络于集区，ABCD交互作用效果的估计值是原1.375加上区集效果(-20)，即ABCD = 1.375+(-20)= -18.625。集区效果亦可由二个集区平均反应差得之，即集区效果 = =406/8 555/8 = -18.625所以，此效果真正估计= 集区 + ABCD 此实验倘非以集区方式进行，且前8次试验均减

15、去20，则结果可能会非常不同。7-5 2k因子设计交络于4个集区(Confounding the 2k Factorial Design in Four Blocks)建构一个交络于4个集区而每个集区有2k-2个观测值的2k因子设计是有可能的，这种设计对于因子个数k 4而集区大小却相当小时特别有效。兹考虑25设计，如每个集区只能容纳8次试验，则需要4个集区，选出2个效果交络于集区，如ADE与BCE，此二个效果所对应之定义对比为，L1 = x1+ x4 + x5L2 = x2+ x3 + x5则每一个处理组合会产生一个L1 (Mod 2)与L2 (Mod 2)的特定成对值，即(L1 , L2)=

16、 (0, 0), (0, 1), (1, 0),或(1, 1)，产生相同的(L1 , L2)值的处理组合将被指订至同一集区，如，L1 = 0, L2= 0 (1), ad, bc, abcd, ab, ace, cde, bdeL1 = 1, L2= 0 a, d, abc, bcd, be, abde, ce, acdeL1 = 0, L2= 1 b, abd, c, acd, abce, ae, bcde, deL1 = 1, L2= 1 e, ade, bce, ab, abcde, bd, ac, cdL1 = 0L2 = 0(1) abcad acebc cdeabcd bdeabe

17、d abdeabc ce bcd acdeBlock 1L1 = 1L2 = 0Block 2L1 = 1L2 = 1b abceabd aec bcdeacd dee abcdeade bdbce ac ab cdBlock 4L1 = 0L2 = 1Block 3图7-5 交络ADE, BCE与ABCD之4个集区之25设计仔细思量，除了ADE与BCE外，尚有另一个效果被集区交络，因4个集区有3个自由度，而ADE与BCE各有1个自由度，明显地另有一个1个自由度的效果亦被交络矣，此即ADE与BCE的广义交互作用(Generalized Interaction)，其定义为ADE与BCE的乘积Mo

18、d 2，因此，ADE与BCE的广义交互作用为(ADE)(BCE) = ABCDE2 = ABCD ，且亦交络于集区。注意，对某个特定集区里的任何2个效果的符号相乘(e.g., ADE与BCE)带来该集区另一个效果的符号(即ABCD)。因此，ADE，BCE与ABCD都是交络于集区。由25设计的正负符号，可知处理组合被指派至集区如下处理组合在ADE的符号BCE的符号ABCD的符号集区1-+集区2+-集区3-+-集区4+在上节7-4中提及之主集区的群理论性质仍成立，主集区里的2个处理组合的乘积产生主集区里的另一个元素，亦即，如，ad bc = abcd；abe bde = ab2de2 = ad要建

19、构另一集区，则选一个不在主集区里之处理组合(如b)与主集区里的处理组合乘以b，则，b (1) = b；b ad = abd；b bc = c；b abcd = acd如此会产生集区3里之8个处理组合。实务上，主集区可以从定义对比与群理论性质得到，而其它集区之处理组合由上述方法决定。建构一个4集区的2k设计的一般步骤： 选择2效果与集区交络，自然会有第3个效果(即是前2个的广义交互作用)与集区交络， 利用2个定义对比(L1 , L2)与主集区的群理论性质来建构所要的设计， 在选择交络于集区之效果时务必谨慎，以免有兴趣的效果被交络。牺牲3因子交互作用的信息比牺牲2因子交互作用更合意(ADE 与BC

20、E ABCD；ABCDE与ABD CE)7-6 2k因子设计交络于2p个集区(Confounding the 2k Factorial Design in 2p Blocks)上述方法可扩至建构一个交络于2p( p k )个集区，而其中每个集区恰有2k-p个处理组合的2k因子设计，实验者选出p个独立要交络之效果，此处独立意指所选出的效果非其中任2个效果之广义交互作用，这些集区可以利用所对应的p个定义对比产生。另外，恰有2p-p-1个其它效果亦被交络，即初选之p个独立效果的广义交互作用，当然，选出p个独立交络效果时须谨慎，以免一些有兴趣之效果被交络矣。这些设计之统计分析，即所有效果平方和的计算如

21、无集区划分般，而集区平方和则为被交络效果平方和之和。假设建构一个26设计而交络在23 = 8个集区，且每个集区有8个试验，兹选ABEF, ABCD, 与ACE作为p = 3个独立将被集区交络之效果，同时亦有2p-p-1=23-3-1=4效果被交络，即这些为3个(ABEF, ABCD, 与ACE)之广义交互作用，则为，(ABEF)(ABCD)= A2B2CDEF= CDEF(ABEF)(ACE)= A2BCE2F = BCF(ABCD)(ACE) =A2BC2DE = BDE(ABEF)(ABCD)(ACE)=A3B2CDE2F = ADF7-7 部份交络(Partial Confounding

22、)除非实验者有一个误差的事先估计值，或假设某些交互作用可忽略，否则必须反复设计以得到一个误差的估计值，如23因子实验必须以2个集区来进行且ABC被交络，实验者决定反复设计4次，如下图，集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆1集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆2集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆3集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆4图7-3 反复4次的ABC被交络之23设计由上图(7-3)与其ANOVA表知，交互作用ABC的信息是完全丧失，因每次反复中ABC均与集区交络，此称之为完全交络(Completely Confounded)。交絡ABC(1)abacbcabcabc反覆1交絡AB(1)cababcabacbc反覆2交絡BC(1)abcabcbcabac反覆3交絡AC(1)bacabcacabbc反覆4图7-6 部份交络之23设