华北电力大学工程电磁场课件6月14日

1、2互感互感在线性媒质中，线圈在线性媒质中，线圈h对线圈对线圈k的互感定义为线圈的互感定义为线圈k上交链的上交链的互磁链互磁链 kh（由（由 Ih 产生）与线圈产生）与线圈h的电流的电流 Ih 之比，即之比，即hkhkhIM线圈线圈k对线圈对线圈h的互感定义为的互感定义为 khkhkIM我们将证明我们将证明 Mkh = Mhk两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质的磁导率。质的磁导率。 （例（例3-21）：计算图示两对输电线间的互感。）：计算图示两对输电线间的互感。图 两对传输线间的互感P162，图3-39解解：设导线之间的距离：设

2、导线之间的距离DAC、DAD、DBC和和DBD均远大于导线半径。设在均远大于导线半径。设在导线导线AB（回路（回路1）通有电流）通有电流I，在导，在导线线CD（回路（回路2）交链的互磁通穿过）交链的互磁通穿过面积面积CD和面积和面积CD，即，即BCADACBD0000ADADACACBS22 (lnln)(lnln)22DDMSDDBCBCBDBDIlIldddIlDIlDDDDDDD互感为互感为0ADBCACBDln2MlDDMIDD3.电感计算的一般公式电感计算的一般公式MLLLoi电感（1）自感：设电流集中在回路）自感：设电流集中在回路的轴线上。利用矢量磁位的轴线上。利用矢量磁位A计计算

3、外磁链。回路的内周界算外磁链。回路的内周界l 为为积分路径，外磁链为积分路径，外磁链为图 回路外磁链的计算用图dldlllrl l0lrdd4IdlllAol l0rdd4Lllo当线圈由当线圈由N匝细导线密绕组成时，则单匝回路上的磁通增匝细导线密绕组成时，则单匝回路上的磁通增大大N倍，而该磁通又与倍，而该磁通又与N匝回路相交链，故外自感为匝回路相交链，故外自感为 l l02rdd4NINILllooo可见，此时外自感可见，此时外自感Lo与与N2正比，为单匝回路外自感的正比，为单匝回路外自感的N2倍。倍。 对于内自感，一般均采用近似计算法。对于内自感，一般均采用近似计算法。80ilL一般而言，

4、回路的内自感远小于外自感，一般而言，回路的内自感远小于外自感，所以回路的自感为所以回路的自感为L=Li+LoLo220000001,N BNBNNLN L （2）互感：）互感： 图 两个回路间互感的计算dl1l1dl2l2I2rP设回路设回路2中通电流中通电流I2，在回路，在回路1的轴线的轴线上任一点处产生的矢量磁位为上任一点处产生的矢量磁位为 2l220rd4IlAP121l l1220l112rdd4IdlllAP12l l12021212rdd4IMll回路回路2对回路对回路1的互感为的互感为 21l l21012121rdd4IMll同理可得同理可得多匝线圈多匝线圈12l l12021

5、2112rdd4NNMMll诺以曼公式诺以曼公式 37 磁场能量磁场能量1 1载流回路系统中的磁场能量载流回路系统中的磁场能量单个载流回路的磁场能量单个载流回路的磁场能量： 设回路电流设回路电流i从零缓慢增长到终值从零缓慢增长到终值I，回路磁通链随之由零，回路磁通链随之由零值缓慢增长到终值，并在载流回路产生感应电压值缓慢增长到终值，并在载流回路产生感应电压u，在，在dt内电源作功为内电源作功为dW = uidt，且全部转换为磁场能量储存在磁，且全部转换为磁场能量储存在磁场中，即场中，即dWm = dW = uidt = id = iLdi (u = d /dt)在线性媒质中，单个载流回路的磁场

6、能量为：在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为：I21LI21iLdidWW2I0mm2m2IWL n个载流回路的磁场能量个载流回路的磁场能量： 设设k=1n，令各个回路电流均按比例系数为，令各个回路电流均按比例系数为m(0m1)由由零值缓慢增长到终值，在线性媒质中，在某一时刻，各回零值缓慢增长到终值，在线性媒质中，在某一时刻，各回路电流路电流 ik(t) = m(t)Ik，磁链（无论是其中的自感还是互感），磁链（无论是其中的自感还是互感） k(t) = m(t) k。这是因为：。这是因为： knkjjjkjkknkjjjkjkkktmIMILmtiMtiLt11在在dt内电源在内电源在n个载

7、流回路中作功为：个载流回路中作功为： nkkknkkknkkknkkkdmmImdmItdtidttutidWdW1111m该该n个载流回路的磁场能量为个载流回路的磁场能量为n1kkkn1k10kkI21mdmIdWWmm在线性媒质中，以在线性媒质中，以k号载流回路为例，其磁链号载流回路为例，其磁链 k 可表示可表示为自感磁链和互感磁链之和，为自感磁链和互感磁链之和， nkhhhkhkknknkkKkkMkLkIMILIMIMIMIL12211各载流系统各载流系统内的互有能内的互有能 各载流系统各载流系统内的固有能内的固有能 nnnnnThkkhkhnknhnkkknnn)n(nnI.IIL.

8、M.LMM.MLI.IILIIIIMILIIMIIMIIMILILILW211221112121111211311321122222211m21212121212121I为各载流回路电流列向量，为各载流回路电流列向量，L为载流回路电感矩阵。为载流回路电感矩阵。2磁场能量密度磁场能量密度设各载流回路均为单匝回路，且设载流回路为体电流分布，设各载流回路均为单匝回路，且设载流回路为体电流分布，则元电流则元电流Ikdlk=JdV。注意到求和式化为体积分，则有。注意到求和式化为体积分，则有 A不是一个物理量，而且可以继续化简。将不是一个物理量，而且可以继续化简。将 J=H 代入上代入上式，并利用矢量恒等

9、式式，并利用矢量恒等式 (H A) = A (H) - H (A)（附录二，式（附录二，式(6)）及散度定理，得）及散度定理，得 VSVVVdV21d21dV21dV21dV21WBHSAHAHAHHAm)(VlkknkkdVdIWkJA21lA211mn1kkkn1k10kkI21mdmIdWWmm设场域无界，即设场域无界，即S为无限大球面，因为无限大球面，因Hr -2（毕），（毕），Ar -1（亥），而亥），而Sr2，当，当r时第一项积分应等于零。因而，有时第一项积分应等于零。因而，有VdV21WBHm磁场能量分布于整个磁场空间中。（静态）磁场能量的体密度为磁场能量分布于整个磁场空间中。（

10、静态）磁场能量的体密度为 BH 21mw22122mBHwVSVVVdV21d21dV21dV21dV21WBHSAHAHAHHAm)(例：设圆柱导体的半径为例：设圆柱导体的半径为a，计算其单位长度的内自感。（，计算其单位长度的内自感。（在例在例3-19中已求过。）中已求过。）解解：（：（IHiwmWmL）设圆柱导体电流为）设圆柱导体电流为I，由安培环路定理，得圆柱导体中的磁场强度为由安培环路定理，得圆柱导体中的磁场强度为2i2 aIH12212022202i0mIddaIdVHWaV8IW2L02m38 磁场力磁场力洛仑兹力洛仑兹力：运动电荷受到的磁场力运动电荷受到的磁场力dF = dqv

11、B；安培力安培力：元电流：元电流Idl受到的磁场力受到的磁场力dF=Idl B（即为宏观的（即为宏观的洛仑兹力，当洛仑兹力，当qI，Idldqdl/dtdqv）。）。 借助磁场能量来计算磁场力。借助磁场能量来计算磁场力。对于恒定磁场，能量平衡方程为对于恒定磁场，能量平衡方程为dW = dgWm+Fdg 式中，式中，dW=Ikd k表示电源提供的能量，表示电源提供的能量，dgWm为广义坐标为广义坐标变化变化dg而引起的磁场能量增量，而引起的磁场能量增量，Fdg为在为在dg方向上，磁场力方向上，磁场力作的功。作的功。常电流系统常电流系统（恒流源）（恒流源） m11122kngkkIkd WI dd

12、W常量这表明电源提供的能量一半作为磁场能量的增量，另一这表明电源提供的能量一半作为磁场能量的增量，另一半作为克服磁场力的作功，即半作为克服磁场力的作功，即常量kIgWgFmdd常量常量kkIIggWdgWdFmm常磁链系统：常磁链系统：设定载流回路的磁链保持不变，设定载流回路的磁链保持不变， k =常量，常量，d k=0，dW=Ikd k=0 （外电源不提供能量）（外电源不提供能量）有有常量kWgFgmdd磁场力作功所需能量取自于系统磁场能量的减少。得磁场力作功所需能量取自于系统磁场能量的减少。得 常量常量kkgWdgWdFgmm尽管上述计算方式不同，但其值相同，即尽管上述计算方式不同，但其值

13、相同，即常量常量kkgWgWFmm（例（例3-26）：求图示电磁铁对衔铁的吸力。设铁心截面积为）：求图示电磁铁对衔铁的吸力。设铁心截面积为S，空气隙长度为，空气隙长度为l，并忽略空气隙处边缘效应，认为气隙，并忽略空气隙处边缘效应，认为气隙中磁场均匀分布。中磁场均匀分布。 图 电磁铁的起重力解解：（常磁链系统）应用虚位：（常磁链系统）应用虚位移法。由于铁磁材料的相对磁导移法。由于铁磁材料的相对磁导率远大于气隙，故该电磁铁系统率远大于气隙，故该电磁铁系统的磁场能量可近似认为存储在两的磁场能量可近似认为存储在两气隙内，气隙内，lSSlBSlBW020202m22有限值0220221BHwm22102

14、2mBwHBB 22m00CWBFSlS 式中，负号表示磁场力的方向与气隙增加的方向相反，式中，负号表示磁场力的方向与气隙增加的方向相反，也就是说，磁场力是电磁铁作用于衔铁的吸力。也就是说，磁场力是电磁铁作用于衔铁的吸力。图 电磁铁的起重力第四章第四章 动态电磁场动态电磁场I：基本理论与准静态电磁：基本理论与准静态电磁场场41 动态电磁场的基本方程与边界条件动态电磁场的基本方程与边界条件时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合的时变电磁场通常被称为用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场动态电磁场。当动态。当动态电

15、磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波电磁波。 1. 动态电磁场的基本方程动态电磁场的基本方程tcDJHt BE0 BDEDHBEJc一般而言，反映媒质特性的三个参数一般而言，反映媒质特性的三个参数 、 和和 与动态电磁场的与动态电磁场的工作频率有关。如在工作频率有关。如在200MHz以下时，水的相对介电常数约为以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频，而在光频(1015Hz)时则减小到时则减小到1.75。本书假设它们在一定。本书假设它们在一定频率范围内均为常数。频率范围内均为常数。2动态电磁场的边界条件动态电磁场的边界条件类似于静态电磁

16、场中边界条件的推导，只要类似于静态电磁场中边界条件的推导，只要 D/ t和和 B/ t在媒在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。相同。 H1t -H2t= Ks ， en (H2 -H1) = KE1t=E2t ， en ( E2 - E1) = 0B1n=B2n ， en ( B2 - B1) =0D2n-D1n = ， en ( D2 - D1) =（1）媒质分界面上的边界条件：）媒质分界面上的边界条件：B=0，有，有B1n= B2nH=Jc设分界面上存在面电流设分界面上存在面电流K=Kes(该面电流密度的单该面电

17、流密度的单位矢量位矢量es=et en，且与矩形回路，且与矩形回路l符合右手定则符合右手定则) 11211HlttldHlHlK l H1t-H2t =KP1etK=KesB2,H2B1,H1l1l2en2l21在理想导体内，在理想导体内， 且且Jc是有限的，可知是有限的，可知E0。再由。再由 - - B/ t=E=0， D/ t=0。可见，在理想导体内也不存在随。可见，在理想导体内也不存在随时间变化的磁场和电场（退化为恒定电流场，即时间变化的磁场和电场（退化为恒定电流场，即静态电磁场静态电磁场）在理想导体在理想导体(设为媒质设为媒质1)与介质与介质(设为媒质设为媒质2)交界面上的边界条件为交

18、界面上的边界条件为 H2t =- K ， en H2 = KE2t= 0 ， en E2 = 0B2n= 0 ， en B2 =0D2n = ， en D2 =电力线垂直于理想导体表面（电力线垂直于理想导体表面（en E = 0），而磁力线沿着理），而磁力线沿着理想导体表面分布（想导体表面分布（en B =0）。）。 例例4-1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为电磁场的磁场强度为H = ， 为常数。试为常数。试求：求：(1)板间电场强度；板间电场强度；(2)两导体表面的面电流密度和电荷面密两导体表面的面电流密度

19、和电荷面密度。度。 )cos(cosxtzdH0ye图 两无限大理想导体平板解解：(1)由麦克斯韦方程第一式，得由麦克斯韦方程第一式，得xHzH11tyzyxeeHE eeee1 ee1000 xtzdxtzddHdtxtzdHxtzdHddtxHzHEzxzxyzyx coscossinsinsincoscossin图 两无限大理想导体平板(2)由边界条件，在由边界条件，在z0的导体表面上的导体表面上xtH0 xzncoseHeHeKxtH0zncosDeDe在在zd的导体表面上的导体表面上xtH0 xzncoseHeHeK)cos(xtH0znDeDe0esinsinecoscos xzH

20、Eztxztxddd0ecoscos()yHHztxd42 时谐电磁场时谐电磁场1时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示在大量工程问题中，场源及其所产生的电场和磁场都随时间在大量工程问题中，场源及其所产生的电场和磁场都随时间作正弦变化。即使是非正弦的变化，也可通过傅立叶级数或作正弦变化。即使是非正弦的变化，也可通过傅立叶级数或傅立叶变换将其分解为随时间作正弦变化的分量的迭加来进傅立叶变换将其分解为随时间作正弦变化的分量的迭加来进行研究。行研究。随时间作正弦变化的时变电磁场简称为随时间作正弦变化的时变电磁场简称为时谐电磁场时谐电磁场 rrerrerrerEmmmzzzyyyxxxtEtEtEt

21、coscoscos),(（三要素）（三要素） 是角频率，是角频率，Exm、Eym、Ezm及及 x、 y、 z 分别是电分别是电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量相量)，即，即)()()()(rerererEzmzymyxmxmEEE rjmmerxxxErE rjmmerryyyEE rjmmerrzzzEE 瞬时矢量被复矢量表示如下瞬时矢量被复矢量表示如下 tttjjme2ReeRe,rErErE rrerrerrerEmmmzzzyyyxxxtEtE

22、tEtcoscoscos),(采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如采用复矢量表示时谐电磁场后，麦克斯韦方程组可写为如下复数形式（频域形式）下复数形式（频域形式）mcmmjDJHmmjBE0mBmmD不再含有场量对时间不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得以简化。以简化。 例例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值有效值)或瞬时矢量，或瞬时矢量，)sin()cos(xtExtEzzyymmeeEsin)coscos(sinz0 xexjHHj解解： j(x )ymj(x )zm2j(x )j(x

23、)yzEEee22E ejE eyzyzE reeee )sinsin()coscos(sin)sincos()coscos(sin,ztxH22ztxH2tH00 x r2有损媒质的复数表示有损媒质的复数表示在实际中上，媒质非理想，一方面导体的电导率是有限的；在实际中上，媒质非理想，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的另一方面介质是有损耗的(如电极化损耗、磁化损耗、或欧姆如电极化损耗、磁化损耗、或欧姆损耗等损耗等)。对于时谐电磁场中介电常数为。对于时谐电磁场中介电常数为 的导电媒质，的导电媒质， EDjDEHjjj这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成这类有损媒质

24、的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。方程中。类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下定义如下复介电常数复介电常数： j为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下复磁导率复磁导率： j通常的介电常数通常的介电常数表征电介质中的表征电介质中的电极化损耗电极化损耗通常的磁导率通常的磁导率 表征磁介质中的表征磁介质中的磁化损耗磁化损耗 在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数 当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电当电介质同

25、时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为常数可写为 je为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切 tan和和 是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。 tan工程上，称工程上，称 1的媒质的媒质被称为良导体。在微波炉中，微波频率为被称为良导体。在微波炉中，微波频率为2.45GHz，面食的损，面食的损耗角的正切约为耗角的正切约为0.073，菜和肉的损耗角的正切更高，而包装用，菜和肉的损耗角的正切更高，而包装用的聚苯乙烯泡沫材料的损耗角的正切仅为的聚苯乙烯泡沫材料的损耗角的正切仅

26、为310-5，所以包装盒，所以包装盒中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。 tantantantan43 电磁场能量电磁场能量 坡印廷定理坡印廷定理1坡印廷定理坡印廷定理电磁能量以电场和磁场的形式存储在场域空间中，导电媒质电磁能量以电场和磁场的形式存储在场域空间中，导电媒质吸收的电功率体现为焦耳热形式。吸收的电功率体现为焦耳热形式。动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为 E

27、 (H)cDDpEJEHEtt )()()(HEHEHEcDpEJEH(E)(EH)t H)(EtBHtDEH)(EE)(HtDEJEpce1111t2t2t2t2twttDDDDEEEEED1ED2 twttm21BHBHemwwtDBpEH(EH)(EH)tt emwwtcEHEJ 将上式两边对任意闭合曲面将上式两边对任意闭合曲面S包围的体积包围的体积V积分，并由散度定积分，并由散度定理，得理，得PWWdtddVdVwwdtdmeVVmeScJEdSHEPWWdtddSmeSHEemwwtDBpEH(EH)(EH)tt PWWdtddSmeSHE令令S=EH，对上式分析可知，对上式分析可知

28、，S(W/m2)表征了单位时间内穿表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S流入体积流入体积V的电磁能量等于该体积内电磁场能量的电磁能量等于该体积内电磁场能量W(=We+Wm)的增加的增加率和电磁能量的消耗率。率和电磁能量的消耗率。 上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被称为坡印廷定理的积分形式，称为坡印廷定理的积分形式，坡印廷定理的坡印廷定理的微分形式为微分形式为 cJEHEmewwt2坡印廷矢量坡印廷矢量矢量矢量S不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定

29、地描不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动方向。这一电磁功率流面密度述了该电磁功率流的空间流动方向。这一电磁功率流面密度矢量，被称为坡印廷矢量。矢量，被称为坡印廷矢量。 HES（W/m2） 3. 时谐电磁场时谐电磁场的坡印廷定理的坡印廷定理)j(DHEJEc导电媒质吸收的复功率体密度为导电媒质吸收的复功率体密度为时谐电磁场坡印廷定理的微分形式时谐电磁场坡印廷定理的微分形式 时谐电磁场坡印廷定理的积分形式时谐电磁场坡印廷定理的积分形式 )()(DEHBJEHEjVcSdVjd)()(DEHBJESHE对于有损媒质对于有损媒质 V22222SdVEHjHEEd)()()(SHE欧姆损耗欧姆损耗媒质的电媒质的电极化损耗极化损耗媒质的磁媒质的磁化损耗化损耗磁场磁场(感性感性)无功功率无功功率电场电场(容性容性)无功功率无功功率在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为HES其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。 电磁功率流面